高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究

[摘要]文章以高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的重要性为分析点，依次对高中数学抽象函数的单调性与奇偶性学习中存在的问题和高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究进行了详细的阐述。

[关键词]抽象函数 单调性 奇偶性

1 前言

高中数学课程中抽象函数的单调性与奇偶性是非常重要的章节，数学学习中对函数的单调性与奇偶性掌握的要求也越来越高。因此，在学习过程中我们要不断进行抽象函数的单调性与奇偶性的研究，才能对单调性与奇偶性的掌握更加娴熟。

2 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的重要性

函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点。

3 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性学习中存在的问题

3.1 学生没有掌握数形结合的学习方法。数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。但大部分学生并没有这种习惯和意识，没有掌握数形结合的正确方法。而函数的单调性仅依靠学生的想象是难以理解的，没有这种正确的学习方法会极大地阻碍学生的学习。

3.2 对定义域的理解较为抽象。定义域作为函数中非常重要的一个组成部分，在函数单调性中的作用不可忽视。定义域往往决定了函数的单调性，但学生对定义域的理解较为抽象，没有深刻领悟到定义域的内涵和其对于函数单调性的重要作用。例如：已知函数f（x2）的定义域为-1≤x≤1，求函数f（x）的定义域。在这种复合函数中，学生难以理解定义域，难以得到正确的答案，也就无法进一步确定函数的单调性。

3.3 奇偶性的判断。若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系，f（-x）=±f（x）怎样成立？若，f（-x）=f（x）成立，则为偶函数；若，f（-x）=-f（x）成立，则为奇函数；若，f（-x）=±f（x）成立，则为既是奇函数也是偶函数；若f（-x）=±f（x）都不成立，则为非奇非偶函数。

4 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究

4.1 判断单调性和奇偶性。

4.1.1 判断单调性。根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例1：如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是（ ）。

A、增函数且最小值为B、增函数且最大值为

C、减函数且最小值为D、减函数且最大值为

分析：画出满足题意的示意图，易知选B。

4.1.2 判断奇偶性。根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f（x）与，（-x）的关系。

例2：若函数y=f（x）（f（x）≠0）与y=-f（x）的图象关于原点对称，判断：函数y=f（x）是什么函数。

解：设y=f（x）图象上任意一点为P（x0，y0），y=f（x）与y=-f，（x）的图象关于原点对称，P（x0，y0）关于原点的对称点（-x0，-Y0）在y=f（x）的图象上，-Y0=-f（-x0） y0=f（-x0），又Y0=-f（x0）f（-x0）=f（x0）。即对于函数定义域上的任意x都有f（-x）=f（x），所以y=f（x）是偶函数。

4.2 求参数范围。这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f’符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

4.3 不等式。①解不等式。这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f’，转化为代数不等式求解。②讨论不等式的解。求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

4.4 比较函数值大小。利用函数的奇偶性、对称性等性质，将自变量转化到函数的单调区间内，然后，利用其单调性使问题获解。

4.5 综合问题求解。解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号‘f’前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。

通过对高中数学的学习，进一步明确了函数的单调性与奇偶性在数学学习中的重要性，单调性与奇偶性的掌握和研究为数学学习奠定了坚实的基础，也给之后的数学学习做了很好的铺垫。