整体把握高中数学的“主线”:函数

函数是高中数学的核心内容,在整个中学数学课程中充当着联系各部分代数知识的“纽带”。要想学好函数,要想对函数概念有更多的感悟,学生就要放在数学的大框里整体把握函数内容。

一、从高中数学知识链中认识函数

函数是必修1的重点内容,也是中学数学的基本概念之一。新课程数学从必修到选修,函数是其中一条主线,主要体现在必修1:函数概念和性质与基本初等函数I(指数、对数、幂函数);必修数学4:基本初等函数II(三角函数);必修数学5:数列(离散型函数);选修系列1-1(2-2):用导数研究函数的性质。

函数是研究方程、不等式、数列、线性规划、算法、微积分的基本思想,函数模型是实际问题和几何问题中研究最值的常用模型。

二、从高中数学内容和结构中认识函数

必修1中主要是:函数的概念、图像和性质三种函数模型(指数、对数、幂函数)函数与方程函数模型及其数据应用。

必修4中主要是:角的概念及表示三角公式及应用三角函数的图像三角函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)三角函数模型的应用。

必修5中主要是:数列的概念及表示方法两种数列模型(等差、等比)a,S的研究数列模型的应用。

选修1-1(2-2)主要是:导数的概念及其几何意义常见函数的求导公式及求导法则用导数刻画单调性极大值、极小值最大值、最小值实际应用。

从高中所研究的初等函数来看,函数的研究的结构都遵循着以下几种结构。

三、从高中数学的思维方式认识函数

1.两条线索

一是抽象的数学研究,主要研究对象是符号y=f(x),符号化、形式化是数学的重要特征,如所有的函数关系都可以用抽象符号y=f(x)来表示,这种表示不仅形式简单,而且可以加深对函数概念本质的理解。

二是具体的实例研究,主要研究对象是y=a,y=logax,y=x,y=sinx,y=cosx,y=tanx,以及初中学的y=kx+b,y=,y=ax+bx+c等函数,通过研究这些函数图像,掌握这些函数的性质,对了解和掌握函数的性质具有形象直观的优势。

2.两个角度

对高中函数的研究是从两个角度进行的,一是从符号语言对函数进行精确的刻画;二是从图形语言对函数进行直观的描述。这两种角度贯穿了函数的学习的全过程,具体体现在以下几个方面。

(1)函数的概念

在函数的概念中定义域的定义为所有输入值x组成的集合,值域的定义为所有输出值y组成的集合。其本质就是由符号的取值构成的集合,而这两个函数基本概念用图形语言描述为函数y=f(x)的图像在x轴上的射影构成的集合即为定义域,在y轴上的射影构成的集合即为值域。如图1,值域用图形语言描述。

(2)函数的表示方法

函数有三种表示方法:列表法、图像法、解析式法。

解析式即用一个关于x、y的二元方程f(x,y)=0来表示两个变量之间的关系。图像即把二元方程f(x,y)=0解构造为一个点集{(x,y)|f(x,y)=0},然后建立平面直角坐标系画出函数的图像。前者是通过式子用代数的方法刻画了两个变量之间的关系便于通过等式研究函数的性质,而后者是通过图形用几何的方法刻画了两个变量之间的关系能够直观反映函数值随自变量值变化的趋势。

如方程x+y=1(y≥0),根据函数定义可得,该二元方程即为函数y=,而该方程的解构造为一个点集{(x,y)|y=},画出图像如图2所示。

(3)函数的性质

①单调性

符号语言:“>0”就是对自然语言“随着x增大,y也增大”的精确刻画。

图形语言:

从左向右观察,曲线在逐渐上升,这样就是对自然语言“随着x增大,y也增大”的直观反映。

②奇偶性

符号语言:“?坌x∈D,f(x)=±f(-x),”就是对奇偶性的精确刻画。

图形语言:通过图形关于y轴对称和关于原点对称直观反映了函数奇偶性。

③周期性

符号语言:“?坌x∈R,f(x)=f(x+T)”就是对自然语言“周而复始”的精确刻画。

图形语言:通过图形的不断重复,直观地反映了函数的周期性。

从函数的概念到函数表示与函数性质,我们可以发现高中函数的研究是从代数角度用符号语言和几何角度用图形语言这两个角度来进行研究。

四、从高中数学感受与应用认识函数

1.函数与方程之间的关系

代数:ax+b=0相当于函数y=ax+b,当x=?时y=0?

ax+bx+c=0相当于函数y=ax+bx+c,当x=?时y=0?

f(x)=0相当于函数y=f(x)当x=?时y=0?

几何:方程f(x)=0的根即为y=f(x)的零点。

2.函数与不等式之间的关系

代数:y=ax+b>0,y=ax+bx+c>0,即解不等式的解的问题就是函数值大于零或小于零时对应自变量的值。

几何:如:x-5x>0的解集即为函数y=x-5x在x轴上方所对应图像在x上投影的集合。

3.函数模型的应用

日常生活中有着太多的变量与变量之间的关系,如何用数学的方法来研究它们,而函数作为一个重要的模型之一,其发挥着巨大的作用。

用数学的方法来研究实际问题,其本质就是建立数学模型和数学方法的运用,其过程如下图:

高中新课程对实际的应用进一步加大,其目的是想通过对函数的应用,使得以前我们对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视,使得学生对数学的兴趣日趋减少,认为数学就是做题,学数学没用、升学有用等现象得到避免,通过数学应用的教学活动符合社会需要,有利于激发同学们学习数学的兴趣,有利于增强同学们的应用意识,有利于拓宽学生的视野。

综上所述,函数是高中数学课程的一条主线,从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学知识编织在一起,所以学好函数也就顶住了高中内容的“半边天”。

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