怎样变换几何题

我们所使用的数学教材中的很多几何题都是由基本元素（基本题或基本图形（特别是例题！））组合而成的，许多题都是相互关联的。只要我们将一些基本题进行简单的“改头换面”，就可以组成一个“崭新”的数学题。现举例说明如下。

数学教材中有这样一个证明题：

如图，O1与O2内切于T，直线AB、CD都经过点T

交O1于A、C，交O2于B、D 。

求证：AC∥BD.

证明：过TA作公切线TM，

∠3是弦切角，∠1=∠3=∠2

AC∥BD

这个证明题是很简单的，可以说是“基本题”。正是这种“简单”，正是这种“基本”，才给我们留下了太多的思考。

下面，我们就来看看它的几种“简单”的变换：

变式1 原“题设” （01与02内切于T，直线AB、CD都经过点T交O1于A、C交O2于B、D）不变，把结论变成：“求证：TA： TB = TC：TD。”

变式2如图2，原题设（01与O2内切于T，直线AB、TD

都经过点T交O1于A、O2 ，交O2于B、D）不变，

增加条件“TD是大圆O2的直径，且点O2在小O1上”，

结论改成“求证：点A是TB的中点”。

变式3在“变式2”中，题设（01与O2内切于T，

直线AB、TD都经过点T交O1于A、O2 ，交O2于B、D，TD

是大圆O2的直径，且点O2在小O1上）不变，二把结论变成“求证：弓形TmB和弓形TnA的面积之比为4 ：1”。

上面三个题的证明是很简单的。它们都是在上题题设不变的情况下，改变“结论”而得到的。

事实上，教材中有很多这样的题。只要将这些基本题稍加改变就可以达到训练学生的目的。如下面一组题就是改变原题的“条件”而得到一组题：

变式4如图3，O1与O2内切于T，TD是

大O2的直径，圆心O2在小O1上，过O2作大

O2的半径O2F交小O1与E，交大O2于F。

求证：劣弧TE和劣弧TF的长相等。

变式5如图4，在原题中，题设（01与02内切于

T，直线AB、CD都经过点T交O1于A、C，交O2于

B、D ）不变，再增加条件“设BD切小圆O1与F，TF是

小圆的直径，且大圆和小圆的半径分别为R和r ”。结论

改为“求证： BF2BT2〗= R-rR”

略证：连结O1A、O2B

有平行线的性质定理切割线定理即可证明。

变式6如图4，原题设（01与02内切于T，直线AB、CD都经过点T交O1于A、C，交O2于B、D交O2于B、D）不变，增加条件“ BD切小圆O1与F，TF是小圆的直径”，结论改为：“求证，则BF ：FD=BT ： TD”。

变式7在“变式5”题设下，结论则变为“求证：

（1） ∠BTF=∠DTF⑵ SABF DEF= sin∠D sin∠B”

略证： 由切线的性质、弦切角定理和三角形全等即可证明。

变式8 如图，O1与O2内切于T，直线TB交O1于A、

交O2于B，O2的直径TDBC，圆心O2在O1上。结

论则变为“求证： TA AB 〗= TB2DB2〗”

略证：由题意易知，TO2A、TO2B、TDB是直角三角形

由平行线性质定理和切割线性质定理即可证明。

变式9 在原题中，如果AC是小O1的直径，过A作

小O1的切线交BD于G，交O2于M、N。结论则改

为“M A·A N =AC·BG”

略证：由RtTAC∽RtGBA 和

ACMNBDMN 即可证明

以上的变换，都是在“两圆内切”的前提下，只让大圆

的两条弦TD、TB的相对位置发生变化或改变题设或改变结论

的的前提下得到的一组学生练习题。如果让两圆变“内切”为

“外切”或变“相切”为“相交”，那么，又可以得到一组题：

变式10 如图，O1 与O2内切于T，直线AD、BC交

O1 、O2于A、D、B、C.连结AB、DC.

求证：AB∥CD

略证：过T作公切线，由弦切角定理即可得证。

变式11：如图8，在变式10中，题设不变，只

把“结论”改为 “求证：AT：TD=BT：CT

略证：由ABT∽DCT即可得证。

变式12，如图9，O1 与O2相交于E、F，过E、F

的直线交O1 、O2于A、C、B、D.连结AB、CD.

求证：AB∥CD

如果在两圆的相对位置发生变化的同时使两条

弦”TA、TB“的位置也发生变化，那么，又可以变换出几组不同的练习题。在此就不赘述了。

如果我们在教学中，认真研究教材，注意挖掘教材潜力，注意教材中例题、习题、练习题之间的相互联系，注意对这些习题进行开发，把课本用好用活，对于减轻学生负担、开发学生智力、培养学生能力，提高教学质量都会起到积极的作用。