高考概率统计考点预测

从近三年全国高考新课标卷概率统计试题来看，无论是文科卷还是理科卷，都是1道客观题和1道解答题，分值为17分，试题的题量、题型、分值都很稳定.

一、考情分析

概率统计试题对知识点的考查较为全面，以理科数学为例，考点覆盖了概率统计必修与选修的各个章节内容，考查了抽样方法，统计图表，数据的数字特征，用样本估计总体，回归分析，独立性检验，古典概型，几何概型，条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率，离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，超几何分布，二项分布，正态分布等基础知识和基本方法.

二、热门考点预测

热点1 ：随机抽样

例1.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）

A. 分层抽样法，系统抽样法

B. 分层抽样法，简单随机抽样法

C. 系统抽样法，分层抽样法

D. 简单随机抽样法，分层抽样法

解析：一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好.在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法.答案选B.

点评：本题主要考查简单随机抽样、分层抽样、系统抽样这三种抽样的区别.

例2. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（ ）

A. 5 B. 7 C. 11 D. 13

解析：间隔数k=■=16，即每16人抽取一个人.由于39=2×16+7，所以第1小组中抽取的数为7. 答案选B.

点评：本题考查系统抽样的计算，系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当■不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列.

热点2：用样本估计总体

例3. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

解析：依题意可得10×（0.005+0.01+0.02+a+0.035）=1，则a=0.03. 所以身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生比例为3∶2∶1.所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3. 答案选C.

点评：1.看频率分布直方图时需注意：（1）各组的频率之和为1；（2）频率分布直方图的纵坐标是■，而不是频率；2.由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：（1）■×组距=频率.（2）■=频率，此关系式的变形为■=样本容量，样本容量×频率=频数.

例4. 如图是2017年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）

A. 85，84 B. 84，85

C. 86，84 D. 84，86

解析：由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84，84，84，86，87.平均数为■=85，众数为84. 答案选A.

点评：茎叶统计图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好.绘制茎叶图时需注意：（1）“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；（2）重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据.

热点3：变量的相关性、统计案例

例5. 某单位共有名员工，他们某年的收入如下表：

已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.5万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为________.

附：线性回归方程 ■= ■x+■ 中系数计算公式分别为：

■=■，■ =■-■■，其中■、■为样本均值.

解析：设xi，yi（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则■=2.5， ■=5，

■（xi-■）2=2.25+0.25+0.25+2.25=5.

■（xi-■）（yi-■）=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.8）+0.5×0.6+1.5×2.2=7.

■=■=■=1.4.

■ =■-■■=5-1.4×2.5=1.5.

由性回归方程：y=1.4x+1.5. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.

点评：考纲中对“变量的相关性”要求，有两个“会”、一个“了解”、一个“能”，是一个完整的作散点图、求回归方程，并给出回归分析的统计过程，试题常体会在“会”、“能”两个要求上，不要求记忆线性回归方程系数公式，而对于统计案例，不要求记忆独立性检验随机变量K2值的计算公式，能根据公式计算结果给出独立性检验结论即可.

热点4：古典概型

例6. 某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：连续7天中随机选择3天，有C37=35种情况，其中恰好有2天连续，有4+3+3+3+3+4=20种情况，所以所求的概率为■=■，答案选D.

点评：计算古典概型事件的概率三步骤： 1.算出基本事件的总个数n；2.求出事件A所包含的基本事件个数m；3.代入公式P（A）=■求出概率P. 理科试题一般会结合排列组合知识求事件数.

热点5：条件概率

例7. 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校青年志愿者的竞选.在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率为________.

解析：设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P（A）=■=■，P（AB）=■=■，P（B|A）=■=■. 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为■.

点评：本题主要考查条件概率的计算，有两种方法：1.定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）=■，求P（B|A）；2.基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）=■. 2014年全国卷II以选择题形式考查过条件概率，只能用条件概率的定义法求解.

热点6：几何概型

例8. 设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：题目中0≤x≤2，0≤y≤2表示的区域表示正方形区域，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此P=■=■，答案选D.

点评：本题立意简洁清新，将线性规划和几何概型（事件区域的度量为面积）自然结合，训练解题基本功. 2016年全国I卷以选择题形式考查了几何概型（事件区域的度量为长度），几何概型值得重视.

热点7：正态分布

例9. 抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分. 已知P（400

解析：由下图可以看出P（550

点评：正态分布的问题的考查无非是符号本身的认识以及图像的了解.解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.1.利用试题提供的P（μ-σ

热点8：随机变量及其分布列

例10. 调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，t长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如下表中结果：

（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率；

（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A-B，求X的分布列及其数学期望.

解析：（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A2， A4，A5，A7， A9，A10.

空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，

在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n=C210=■=45.

这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=C26=C24=■+■=21.

这两地的空气温度的指标z相同的概率P=■=■=■.

（Ⅱ）由题意得10块种植地的综合指标如下表：

其中长势等级是一级（ω≥4）有A1 ， A2，A3，A5， A6，A8， A9，共7个，

长势等级不是一级（ω

随机变量X=A-B的所有可能取值为1， 2，3，4， 5，

w=4的有A1 ， A2，A5， A6，A9共5块地，w=3的有A7， A10共2块地，

这时有X=4-3=1.

所以P（x=1）=■=■，同理P（x=2）=■=■，P（x=3）=■=■，P（x=4）=■=■，P（x=5）=■=■，

X的分布列为：

E（X）=1×■+2×■+3×■+4×■+5×■=■.

点评：1.求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率.2.在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型、二项分布、超几何分布等知识求解.

例11. 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：

若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.

已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.

（I）若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；

（II）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.

解析：（I）设下周一有雨的概率为P，由题意，p2=0.36，p=0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P（X=20）=0.36，P（X=15）=0.24，P（X=10）=0.24，P（X=7.5）=0.16，基地收益X的分布列为：

E（X）=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4，

基地的预期收益为14.4万元.

（II）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，

则其预期收益E（Y）=20×0.6+10×0.4-a=16-a 万元，

E（Y）-E（X）=16-a，

综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；

成本低于1.6万元时，外聘工人；

成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.

点评：均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.

全国卷I概率统计题综合性强，客观题经常将古典概型与计数原理、排列组合知识结合起来考查，将几何概型与简单线性规划、定积分知识结合起来考查；解答题经常以抽样问题为背景，以频数分布表、频率分布直方图、茎叶图、散点图等统计图表为载体，以能力为立意，将统计知识与概率知识、函数知识综合考查.同学们在复习备考时要注意认真审题，提高阅读理解能力，才能夺取概率统计部分内容的高分.