全面比较异同 学好积分学

摘要：积分学是高等数学的重要组成部分，也是微积分学中的一个难点。本文全面比较了积分学中涉及到的8种积分的异同，以图表的形式对容易混淆的7种积分从八个方面进行了区别，并配以典型例题，使得整个积分学的内容要点简明扼要、清晰完整，对学好积分学可起到一定的帮助作用。

关键词：积分学；比较；区别；混淆

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）34-0150-03

积分学是微积分的重要组成部分，也是微积分学中的一个难点。目前，理工科学生在高等数学的学习过程中一共将学到八种积分，分别是不定积分、定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）和第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）。

通过了解，目前积分学教学中存在的主要问题是：任课老师讲解完相应章节后，学生们对各种积分的定义、性质、计算方法有了一定的了解，能较好完成课后的相应习题，但当所有积分都学完后，把不同的积分题目放在一起让学生练习，结果往往是各种积分混为一谈，效果不理想。因此，有必要对积分学中涉及到的八种积分作全方面的比较与总结，让学生全面了解积分学的整体结构以及各种积分的异同。

一、不定积分与其他七种积分有本质的不同

在积分学中涉及的八种积分中，不定积分是比较特殊的一个，它的定义与其他七种积分的定义有本质区别：不定积分没有太多的实际背景，它是微分的逆运算，最终结果是一个函数族，而其他积分的定义均有一定的实际背景，最终定义都是“乘积的和式的极限”，结果是一个具体数值。由于不定积分不易与其他积分混淆，所以本文仅对除不定积分外的其他七种积分进行比较。

二、除不定积分外的其他七种积分的比较

（一） 相同点

（1）定义结构

这七种积分在讲精确定义时，均使用了引例，通过“大化小、常代变、近似和、取极限”四个步骤，把“乘积的和式的极限”定义为积分。

（2）基本性质

类似的定义方法决定了这七种积分有许多类似的性质：

1.线性性质：即和的积分等于积分的和，差的积分等于积分的差，常数可以从积分号里提出；

2.积分对积分域具有可加性。

（二）不同点

这七种积分不同点有很多方面，究其原因主要是因为积分变量的取值范围不一样，即积分域不一样。为了让学生更好地了解这七种积分，掌握这些积分涉及的主要内容，特设计下表，该表从记号、积分域、计算思路、具体方法、能否代入、是否与方向有关、实际意义、特殊情况等八个方面总结和区别这七种积分，经过多轮实践教学，效果不错，学生很受益。

注1：由于篇幅有限，表1并未对每个内容作详细表述，有些具体计算方法只给出了大体思路，相关内容查阅教材及参考书易知。

注2：下表中“能否带入”指的是积分域边界方程能否代入被积函数。

三、典型例题

例1：计算■（x2+y2）dxdy，其中D是由x2+y2=1所围成的区域。

解：原式=■dθ■r2·rdr=2π·■■■=■

例2：计算■（x2+y2）ds，其中L是x2+y2=1

解：原式=■1ds=2π

例3：计算■（x2+y2）dS，其中∑是z=■位于z=0和 z=1之间的部分。

解：易知∑在xOy平面上的投影区域为D：x2+y2≤1

■=■，■=■

原式=■（x2+y2）■dxdy

=■■（x2+y2）dxdy=■

例4：计算■（x2+y2）dxdy，其中∑是z=■被z=0和 z=1所截部分的上侧。

解：易知∑在xOy平面上的投影区域为D：x2+y2≤1

原式=■（x2+y2）dxdy=■dθ■r2·rdr=■

例1到例4虽然都很简单，但放在一起却极易混淆做错，只有对所学的各种积分概念清楚，计算思路明确，才可能全部做对。特别是例1中（x2+y2）是不能用1代入的，原因是该题中积分域D：x2+y2≤1，而不是x2+y2=1。学习完所有的积分后这一组题目可作为检验学生学习情况的典型测试题。

例5：计算■-x2ydx+xy2dy，其中L是x2+y2=1，逆时针方向。

解：设D：x2+y2≤1，由格林公式知：

原式=■（x2+y2）dxdy=■dθ■r2·rdr=■

例5：是一道关于曲线积分的题目，虽然曲线积分的计算中积分域特点可带入被积函数，但是用完格林公式后该题已转化成了二重积分的运算，此时应遵循二重积分的计算原则，被积函数中的x2+y2不可以用a2替代。

例6：求空间几何体？萃的体积，其中？萃由z=x2+y2和z=2-x2-y2围成。

解：方法1：（用三重积分求体积）

易知？萃可写为x2+y2≤z≤2-x2-y2D：x2+y2≤1，由于在xOy平面上的投影区域为圆域，故本题采用柱坐标系解答。在柱坐标系下，？萃可写为r2≤z≤2-r20≤θ≤2π0≤θ≤1

V=■dv=■dθ■dr■rdz=2π■r（2-r2-r2）dr=π

方法2：（用二重积分求体积）

V=V1-V2=■（2-r2-r2）dσ-■（x2+y2）dσ

=■dθ■r（2-r2）dr-■dθ■r·r2dr=■π-■=π

例6是一道关于求空间几何体体积的题目，积分学告诉我们，二重积分和三重积分都可以用来求体积，但二者之间有一定的区别：二重积分只能求曲顶柱体的体积，而三重积分可求任意形状的空间几何体的体积，因此三重积分的应用面更广泛一些。对于某些空间几何体而言，若其体积可视为多个曲顶柱体（或曲顶柱体与规则几何体）体积的和或差时，也可采用二重积分来计算，如例6的方法2就是将的体积看作是两个曲顶柱体的体积之差。

四、小结

要想牢固掌握积分学的知识，搞清楚各种积分之间的区别与联系是关键。如果在各种积分都没分清的情况下一味追求多做难题，结果只能如文中开头所说的那样：学完一种积分后能很好解答相应习题，但当所有积分都学完后，把不同类型的积分题目放在一起时，就会思路混乱，不知所措。

事实上，对初学者而言，盲目做题不可取，题目不在于做多，而在于做精。首先应做到能熟练、正确地区分各种积分，当你对易混淆的简单题目能熟练、正确地解答时，说明你已经能正确区分各种积分并掌握不同积分的相应计算方法，在此基础上再适量增加难度、添加技巧，就比较合适了。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.