三角函数变换的方法

摘要：三角函数的化简、求值和证明中都需要三角函数的变换，三角恒等变换主要包括三角函数的结构形式和角度的变换，这就需要熟练地掌握计算公式，掌握角的变化，注意角的范围变化。同时体会三角变换在各领域的应用和方法技巧。

关键词：三角变换 公式 方法 应用

【中图分类号】G633.6

在三角函数的化简、求值和证明中都需要三角函数的变换， 这就要求我们熟记三角公式以及一些基本的化简方式和方法，三角恒等变换主要包括三角函数的结构形式和角度的变换。为此，要提高学生的运算能力，必须做到：

一、学生熟练地掌握计算公式。1、要求学生自己推导两角和与差、二倍角的正余弦公式。除了对公式结构的掌握，也要会对角度进行变换。例如：sin2a=2sina*cosa ，可以变换sina=sina/2*cosa/2等。 2、公式的逆用。当学生对于公式的正用掌握比较熟练时，为了强化公式的掌握教师可以采用题组的方法，训练学生公式的逆用，例如：cosa*cosb-sina*sinb=？ Cosa*cosb+sina*sinb=？ Cos720cos240+sin720sin240=？ Sina/2cosa/2=？

2cos2a-1=？ 2cos222.50+1=？等。3、利用化归思想进一步训练学生对公式的掌握。例如：1/2cosa+√3/2sina=？ 引出一般Asinb+Bcosb=√A2+B2sin（b+a）

二、学生熟练掌握角的变化。为了提高学生的运算能力，除了熟练掌握公式外，还要学会在计算中对于角度的整体把握。例如：已知：sina=4/5，cos（a+b）=-3/5，a，b∈（0，∏/2） 求：sinb

给出题目后，让学生先进行计算，程度较好的学生可能就不会走这条路线，根据题目条件求出cosa ，再求出cosb.这样的话费时费力，引导学生从角的结构入手，发现b=a+b-a从整体去把握。还有2a=（a+b）+（a-b），2b=（a+b）-（a-b）等，还有很多，在教学中要引导学生注意这些角度的变化，在实际解题中能够提高学生的运算水平。

三、学生注意角的范围变化，在运算中对角的取值范围变化设计陷阱，用试误法提高学生的警觉，以利于学生运算的准确性。在教学中充分发挥学生的主动性，培养学生的观察能力，比较公式的结构特点，角度的变化，在三角恒等变换的学习中，学生定能取得好的成绩。

因为方法多样， 灵活， 学生感到困难， 针对这个问题， 我在三角函数这一章的讲课和复习中， 选择典型例题， 讲清三角函数式变换的方法和技巧， 并布置适当练习作业， 巩固和掌握三角函数式变换的方法和技巧，以达到学生能熟练正确的解决三角函数问题的目的，今将这部分内容归纳整理如下：

一、 三角变换在求值中的应用

例1. 求 的值.

在利用三角变换化简的过程中主要是对角和三角函数名的化异为同，本道题主要是针对角而言的，对于这种情况关键还是要能观察出角与角之间的关系，然后根据角的“异”通过公式化成角的“同”，也就是我们熟悉的形式，然后进行求解。再例如：已知 ，且 ， ，求 。

分析：发现所求角与已知角有如下关系： ， ）.从而将倍角化为和差角.

解：由 ，得

又因为 ，得 .

所以

所以

点评：充分利用条件，将2 ，2 转化为和差角，再运用公式.

二、 三角变换中“1”的恒等变形

三角函数值为1和含有1的三角公式不少，如

等，在恒等变形中巧妙利用1会找到简捷解法的。

再例如：化简 都需要将1变形.又例如：已知sinx+siny=1，求cosx+cosy的最大值，这时就需要将1整体代换，即：令t=cosx+cosy，

于是我们有

所以 ，又因为 ，故 ，则所求最大值为 .

当然，不能每见到1就想到三角变换，这是根据实际问题而考虑的，有的时候并不需要1的恒等变形，如：求函数f（x）=sin2x-sinx+1等这样定义域与1无关的问题中。

三、 三角变换在证明问题中的体现

证明问题常常用综合法、分析法，但有时也还是离不开三角变换。如例4：

解答：先用分析法探索证明思路，假设

然后用综合法写出证明即可。

在证明问题中，三角变换时也是从“角”和“形”两方面入手，然后结合分析法和综合法解决问题。再例如：

四、 三角函数变换在函数求值域、单调性、对称等问题中的应用

例5.已知函数f（x）=2cos2x+ sin2x+m（m R）.若x [0， ]，且f（x）的最小值是2，求m的值.

解：由已知得f（x）=1+cos2x+ sin2x+m=2sin（2x+ ）+m+1.当x [0， ]时， 2x+ [ ， ]，此时当2x+ = 时，f（x）的最小值是 +m+1=2，m=2.

点评：这类题目解决的思路是把问题化归为 的形式，一般而言， ，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决.但不管是求值域问题，最值问题还是单调性、对称性问题在三角函数中都常常需要进行三角变换后才能完成。

再例如：求函数g（x）=sin2x+2sinxcosx-cos2x+1值域、单调增区间、对称中心

也是需要先进行三角变换之后再解决问题。

在三角函数求值域的问题中常常需要进行三角变换使之成为我们所熟悉的同名函数型，然后才能求解，这说明三角变换贯穿整个三角函数，是解决任何三角问题的基础和枢纽，所以，在学习中，我们必须要认真对待，发现和体会它的作用与技巧掌握它的要领，这样在学习三角函数的过程中才不会觉得难或无意义。

这些是三角变换常出现的地方，还有其他的领域也常用到三角变换，如复数中、向量中也会用到三角变换，由于在复数中应用三角变换没有太大的实际应用意义故在此并不做详细介绍，而对于三角变换在向量中的应用其实很广泛，但在向量中进行三角变换后再解决问题的方法和形式与在三角函数中求值域最值等问题时进行三角变换基本是一样的，所以也不特别探讨了。

总之，三角变换可以应用于多个方面，掌握好三角变换的方法和技巧可以帮助我们快速有效地解决很多问题，尤其是三角函数问题，这对于学生在学习三角函数感到困难时也是一个提示，要想学好三角函数必须要能熟练地进行三角变换，会应用三角变换对条件、等式进行化简。所以，熟练进行三角变换我们可以把它看做是学好三角函数的基础。