欧拉公式在三角函数求和中的运用

三角函数求和，其繁杂的计算量让人望而止步，而欧拉公式的提出，使三角函数与复指数函数有了关联，从而可以将对三角函数的运算转化为复指数函数的运算，大大减少计算量。

一、三角函数简单求和

例1.求 cos（kθ）+i sin（kθ）。

分析：这是个可以化成复指数函数的典型问题，我们知道欧拉公式为

eiθ=cosθ+isinθ

分别令θ为θ和-θ，从而得到三角函数由复指数函数的表达式：

cosθ=

sinθ=

于是将上式化为 ei（kθ）为关键。

解：原式= ei（kθ）=eiθ+ei（2θ）+…+ei（nθ）

由求和公式，原式= =eiθ[ ]

再将复指数函数由三角函数表示得

原式=eiθe

=e

二、构造欧拉公式求和

例2.求证 sin（x+ky）=

cos（x+ky）= ≠0。

分析：此题的关键是构造与欧拉公式相同的形式，将三角函数与复指数函数联系起来，再由欧拉公式进行转换。

解：记A= cos（x+ky） B= sin（x+ky）

A+iB= cos（x+ky）+i sin（x+ky）

= ei（x+ky）=eix eiky=eix（1+eiy+ei（2y）+…+ei（ny））

=eix =eix

=[cos（x+ y）+isin（x+ y）]・

则我们取A+iB的实部，便是 cos（x+ky）的和，取A+iB的虚部，便是 sin（x+ky）的和，从而我们可以得证

cos（x+ky）=

sin（x+ky）=

三、复杂三角函数求和

例3.求和 Cnkcos（kx+a）及 Cnksin（kx+a）。

分析：这题在例2的基础上，与组合数学结合，我们可以在构造欧拉公式的基础上与二项式定理相联系。

记C= Cnkcos（kx+a） S= Cnksin（kx+a）。

则C+iS= Cnkcos（kx+a）+i Cnksin（kx+a）。

= Cnkei（kx+a）=eia Cnk（eix）k

=eia（eix+1）n=eia[e （e +e ）]n

=eia・e ・（2cos ）n

=2n・cosn ・e

所以C=Re（2n・cosn ・e ）=2n・cosn ・cos（a+ ）

S=Im（2n・cosn ・e ）=2n・cosn ・sin（a+ ）

从而 Cnkcos（kx+a）=2n・cosn ・cos（a+ ）

Cnksin（kx+a）=2n・cosn ・sin（a+ ）

从上面的三道例题，我们可以看出，三角函数求和问题的关键是将所求的三角函数转化为复指数函数，而转化的关键就是欧拉公式的运用与转换，构造出三角函数的实部与虚部也是解题的关键。欧拉公式在求三角函数和的应用上大大提高了计算效率、减少了计算量。