时间:2022-09-18 04:58:36
三角函数的给式求值问题是三角变换的重要形式,是体现三角函数综合运算能力的一种题型.虽然题目变化多,解题复杂,但解题思路广阔,极富挑战性和思考性,其中平方法就是一种常用的解题技巧,下面举例介绍平方法的用法,供参考.
一、两边同时平方
例1已知-π2
解析(Ⅰ)由sinx+cosx=15,
两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125,
即2sinxcosx=-2425.
因为(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925,
又因为-π2
所以sinx0,sinx-cosx
故sinx-cosx=-75.
(Ⅱ)3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx
=2sin2x2-sinx+1sinxcosx+cosxsinx=sinxcosx(2-sinx-cosx)
=-1225×(2-15)=-108125.
点评在已知条件中,若含有等式sinx±cosx=a时,使用两边平方的方法可将其转化为sinxcosx的表达式,为继续解题提供了依据.
例2已知sinα=2cosβ①,tanα=3cotβ②,-π2
解析当tanα=0时,cotβ=0,
又-π2
所以α=0,β=π2.
当tanα≠0时,①÷②得cosα=23sinβ.③
①2+③2得2cos2β+23sin2β=1,
所以cos2β=14cosβ=±12.
因为0
代入①得α=π4或-π4.
故α=0,
β=π2或α=π4,
β=π3或α=-π4,
β=2π3.
点评本题利用两边同时平方的手段达到了消元的目的,这是解决三角多元问题求值的主要方法之一.
二、两式平方相加
例3已知sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,求cos2α+cos2β的值.
解析由已知得sinα=1-sinβ,①
cosα=-cosβ.②
①2+②2得1=1-2sinβ+1,即sinβ=12,
所以sinα=12.
所以cos2α+cos2β=2-2sin2α-2sin2β=1.
点评在利用两式平方相加消元时,应根据题目的需要,本题中若直接将已知二式平方,不能够消元,需将二式移项变形后再平方,才能达到目的.
例4已知0
解析由于条件中有三个角αpβpγ,结论中只有两个角αpβ,故考虑消去γ.因为
sinα+sinβ=-sinγ,①
cosα+cosβ=-cosγ,②
①2+②2得2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,
即有cos(β-α)=-12.
又0
故β-α=2π3(4π3舍去).
点评本题对照欲求的结论,必须将γ消去,把sinγ、cosγ移到等式一边,再两边平方既可消元,又构造出含有β-α的三角函数表达式,使问题顺利解决.
三、两式平方相减
例5(1)求证sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β).
(2)已知sin(α+π12)=12,sin(α-π12)=32,求sin2α的值.
解析(1)因为sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2β.
(2)根据(1)的结论知sin2(α+π12)-sin2(α-π12)=sin2αsinπ6.将已知条件代入得14-34=12sin2α,故sin2α=-1.
点评本题给出了两个正弦平方相减的一个公式,在适宜的情况下,使用此公式可获简解.