应用《几何画板》解决三角函数图像变换中的易错问题

【摘要】多媒体技术在课堂教学过程中有着广泛的用途和传统教学所达不到的教学效果.因此作为新一代的中学教师我们不仅要具有精深的专业知识和深厚的教育教学功底，还应熟练地掌握一种或多种适合自己学科的CAI软件.

本文介绍了计算机辅助数学教学的重要软件《几何画板》的主要功能，并通过实际案例分析说明《几何画板》在课堂教学过程中的重要作用.

【关键词】计算机辅助教学;几何画板;三角函数

一、计算机辅助数学教学的重要工具――几何画板

计算机辅助教学（ComputerAssisted Instruction，简称CAI）是教师为了提高教学效果和效率，利用以计算机为中心的丰富的教学资源，改进传统教学，或为学生提供一个学习环境，使学生通过与计算机的交互对话进行学习的一种教学形式.

《几何画板》（The Geometers Sketchpad）是计算机辅助数学教学的重要软件之一.它的主要功能有： ①画出各种欧几里德几何图形;②画出解析几何中的所有二次曲线;③画出任意一个初等函数的图像;④对所有画出的图形、图像进行各种变换，如平移、旋转、放缩等;⑤对所作出的对象进行度量，如线段的长度、封闭图形的面积等.

下面笔者通过分析《几何画板》辅助教学的实际案例来说明其在数学教学中的重要作用.

二、《几何画板》使用案例

（一）案例背景

三角函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换按变换方向的不同可以分为两类：①沿y轴方向的伸缩变换;②沿x轴方向的伸缩变换和平移变换.

沿y轴方向的伸缩变换在没有平移变换的干扰下比较容易掌握.沿x轴方向的平移和伸缩变换是教学的重点和难点，如果只发生单一的变换，学生能够正确的理解并进行处理，一旦两种变换同时存在并且需要对其进行综合应用时，学生就会出现一些困难.

（二）问题情景

问题1：将函数y=sinx的图像进行怎样的变化后能得到函数y=sin2x+π3的图像？

分析：这个问题是三角函数图像变换中常见的练习题目.

解法一：先进行伸缩变换再进行平移变换.

学生出现的错误解法是：将函数y=sinx图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图像，再将函数y=sin2x的图像向左平行移动π3个单位长度.由此实际得到是函数y=sin2x+2π3的图像，而非函数y=sin2x+π3的图像.

正确的解法是：将函数y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图像，再将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，得到函数y=sin2x+π3的图像.

对于这种平移变换中的错误，在高一第一学期介绍图像变换时是作为一个易错点进行突破的，因此在这里只要进行知识的复习和巩固，学生便能够接受.同时若伴有《几何画板》进行演示，则可以增加学生对三角函数平移变换的感性认识.

解法二：先进行平移变换再进行伸缩变换.

学生容易出现的错误解法是：将函数y=sinx的图像向左平行移动π6个单位长度，得到函数y=sinx+π6的图像，然后再将函数y=sinx+π6的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变.由此得到的函数图像实际为函数y=sin2x+π6的图像，而不是函数y=sin2x+π3的图像.

正确的解法是：将函数y=sinx的图像向左平行移动π3个单位长度，得到函数y=sinx+π3的图像，再将函数y=sinx+π3的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x+π3的图像.

对比两种的做法，我们不难看出，出现此种错误的原因是学生没有准确地把握函数y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律.下面我们可以利用一个更简单的例题来说明学生的这种错误.

问题2：将函数y=sinx+π3的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，所得到的解析式是什么？

正确的答案是：所得到的函数解析式为y=sin2x+π3.然而学生可能得到的函数解析式是：y=sin[2x+π3]=sin2x+2π3.

此时我们便可以利用《几何画板》进行演示来帮助学生理解函数y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律.

（三）问题解决

步骤1：演示y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]两个函数图像伸缩变化的过程，让学生观察它们区别.（在说明两个函数的变化过程时，可以选取两个具体的函数，这样利于学生进行观察.）

制作过程：①绘制两条可变线段AB和CD;②度量线段AB和CD的长度，并将结果分别命名为ω和υ;③分别绘制出函数y=sinωx+π3和y=sinυx+π3.

演示方法：分别变换线段AB和CD的长度引起ω和υ的变化，让学生观察y=sinωx+π3和y=sinυx+π3两个函数图像变化的相同之处和不同之处.

观察结论：当ω和υ发生变化时，函数y=sinωx+π3和函数y=sinυx+π3图像变化的共同点是：都发生了沿x轴方向的伸缩变化.不同点是：当ω变化时，函数y=sinωx+π3的图像以其与y轴的交点（0，32）作为定点进行伸缩变化的（事实上，当x=0时，无论ω取何值，均有y=sinωx+π3=32）;而当υ变化时，函数y=sinυx+π3图像则是以-π3，0作为定点进行横向伸缩的（事实上，当x=-π3时，无论υ取何值，均有y=sinυx+π3=0）.

步骤2：演示函数y=sin（ωx+φ）图像伸缩变化的过程，让学生观察其变化规律.

制作过程：①在x轴上选取一个点M，然后标记它的横坐标xM;②计算出2π3xM并令结果为ω;③绘制新函数f（x）=sinωx+π3.

演示方法：拖动点M，让学生观察ω和xM之间的变化关系.

观察结论：从《几何画板》所给出的数据中可以清楚地看到ω和xM之间的变化关系：当ω变化时图像上点M的横坐标变为原来的1ω倍，即当ω变换化时，图像上每一点到y轴的距离变为了原来的1ω倍.这就说明函数y=sinωx+π3的图像是以其与y轴的交点（0，32）作为定点进行伸缩变化的.

步骤3：演示函数y=sin[υ（x+φ）]图像伸缩变化的过程，让学生观察其变化规律.

制作过程：①在x轴上绘制点D（-π3，0）;②过点D构造x轴的垂线;③在x轴上选取一个点N并标记它的横坐标;④计算出d=|xN-xD|，此时d为N点到D点的距离;⑤计算出πd并令结果为υ;⑥绘制新函数f（x）=sinυx+π3.

演示方法：拖动点N，让学生观察υ和xN、υ和d之间的变化关系.

观察结论：从《几何画板》所给出的数据中可以清楚地看到：当υ变化时，图像上点N的横坐标并没有变为原来的1υ倍，而d（图像上点xN到直线x=-π3的距离）变为原来的1υ倍.这就说明函数y=sinυx+π3是以-π3，0作为定点进行横向伸缩的.

（四）问题结论

通过上面的观察我们可以得出以下结论：函数y=sin（ωx+φ）的图像是由函数y=sin（x+φ）的图像上各点横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变得到的;函数y=sin[υ（x+φ）]的图像则是由函数y=sin（x+φ）的图像上各点的横坐标到直线x=-φ的距离变为原来的1υ倍，纵坐标不变而得到的，而函数y=sin[υ（x+φ）]图像上各点的横坐标变化和υ之间的关系会因φ的不同而不确定.由此我们就可以帮助学生理解函数y=sin（ωx+φ）和函数y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律，从而排除错误答案.

总之，多媒体设备已经成为教育教学过程中必备的工具，计算机辅助教学技术也已经成为当代教师必备的素质之一.作为新时代的教师，必须要掌握至少一种适合自己学科特点的CAI软件，而且要学会如何使多媒体技术与课堂教学内容有机的结合，努力使课堂生动活泼，使学生在轻松愉悦情境中学习知识培养能力，打造出精品课堂.