三角函数值域的求法

摘要：本文是对三角函数的值域求法的简单小结，除了利用已经学过的函数值域求法外，从三角函数自身的特点也能得出一些它独特的求法

关键词：三角函数;值域;求法

一、可化为y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型

例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2

=sin2x+cos2x+2

=2sin(2x+π4)+2

y∈［2-2,2+2］

二、可化为二次函数

例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域

解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1

因为cosx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.

三、反解法

例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域

解: 因为2ycosx-2y=3cosx+4

所以（2y-3)cosx=2y+4.

所以cosx=2y+42y-3.

|cosx|=|2y+42y-3|≤1

解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)

四、当式子中同时含有sinx±cosx,时，常使用换元法

例4 当x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.

简解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］

所以2sinxcosx=1-t2

所以y=-t2+t+1∈［-1,54］

五、配对法

例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范围.

cosx+cosy=t (1)

sinx+siny=1(2) 两式平方相加得：

2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］

所以t∈［-3,3］.

六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角函数的值域照样适用

如分离常数法：

例6 若cos2x+2msinx-2m-2

简解：整理得：2m>sin2x+1sinx-1，

sinx-1=t∈［-1,0)

所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.

所以m>-12.

巧用“对比法”解题

江苏靖江季南初中(214523)  陈一平

对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.

例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在研究“沙子和水谁的吸热本领大”时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间变化的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：

(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?

(2)请根据图象说出水在受热过程中温度变化的特点.

(3)加热满2 min时,水吸收了多少热量?

(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精如果完全燃烧将放出多少热量?

(5)试求出沙子的比热容.

图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，吸收相同热量时沙子温度升得多.

(2) 水在受热过程中温度变化呈先快后慢，至沸腾时温度保持不变的特点

(3) Q吸=c·m·Δt=4.2×103 J/(kg·℃)×0.2 kg×(70 ℃－20 ℃)=4.2×104 J

(4) m=0.8 g×10=8 g

Q放=mq=8×10-3 kg×3.0×107 J/kg

=2.4×105 J

分析：其中（1）（2）（3）（4）解题如上，不再多赘.

（5）的解题部分同学解题如下：

取t=2 min，Q沙吸=Q放=mq=1.6×10-3 kg×3.0×107 J/kg=4.8×104 J

C沙=Q沙mΔt=4.8×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)=1043.5 J/(kg·℃)

理由是：根据图象、题意，取t=2 min，Q放=mq，酒精燃烧放出的热量可以求出，放出的热量是供沙子升温的，且题目没有给出沙子吸收的热量是酒精燃烧放出的热量的百分比，那沙子吸收的热量就等于酒精燃烧放出的热量.所以解题如此.如果我们采用“对比法”，就会正确找到沙子在t=2 min内吸收的热量了.

共同点：①沙子与水的质量都是200 g；②两只完全相同的酒精灯同时加热.

不同点：①加热对象分别是沙子、水； ②图象中可以看出在相同时间内沙子与水升温不同

再根据苏科版物理九年级上P41的信息快递：如果加热方法完全相同，就可以认为单位时间内物质吸收的热量相同.取t=2 min，就很快找到沙子吸收的热量等于水吸收的热量4.2×104 J了，这个热量小于1.6 g酒精燃烧放出的热量4.8×104 J.题目的难点就会突破，解题也就豁然开朗、水落石出了.

正确解题如下：（5）取t=2 min， Q沙吸=Q水吸=4.2×104 J，C沙=Q沙/mΔt=4.2×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)==0.91×103 J/(kg·℃)

其实，比热容等科学知识就是对比法在科学研究的应用.还有1904年诺贝尔物理学奖授予英国皇家研究所的瑞利勋爵，以表彰他在研究最重要的一些气体的密度以及在这些研究中发现了氩.爱迪生为了发明电灯实验了1600种耐热材料,最终选择用熔点高的金属钨制造电灯的灯丝，一直沿用至今.这些发明创造也是对比法的应用.