高中物理碰撞模型研究

摘要：在高中物理的学习中，碰撞问题既是学习的重点又是学习的难c。碰撞涉及动量守恒和动能定理以及运动学问题。本文从碰撞的特点入手，分析碰撞问题的三个核心要素，对碰撞问题进行分类，证明完全非弹性碰撞动能损失最大，建立并分析动碰静模型及其应用，并对碰撞的三个推论进行论证。

关键词：碰撞特点；碰撞核心要素；碰撞分类；动碰静模型；碰撞推论

物理学习的本质就是对研究的对象进行科学的分析，通过科学的分析得到可靠的理论再将理论运用于解决物理模型 。对物理学的模型分析需要建立在科学的分析方法和遵守物理基本规律基础上。就碰撞模型来说，需要把握碰撞的核心要素，分析建立碰撞模型的条件，然后用碰撞模型解决物理学中的碰撞问题。

1 碰撞的定义和特点

1.1 碰撞的定义

碰撞是指处在相对运动状态的物体，在相遇的极短时间内物体的运动状态发生显著变化的过程。

1.2碰撞的特点

碰撞过程持续的时间即相互作用时间极短。 发生碰撞的过程中，相碰撞的物体受到的作用力先增大，后减小，发生时间极短，所以平均作用力极大 。在碰撞系统中，内力远大于外力。所以系统即使所受的外力之和不为零，外力也可忽略。系统的总动量守恒，即 + = + 。碰撞过程是瞬间发生的，时间极短，所以在物体发生碰撞的瞬间，可以忽略物体的位移，可以认为物体碰撞前后两物体的位置没有发生变化。碰撞发生的过程伴随着声、光、热等的产生，系统总机械能因此而损失，所以碰撞后系统的总动能必然小于或等于碰撞前，即 + ≤ + 。

2 分析碰撞问题的三个核心要素

第一核心要素――动量守恒，因为碰撞过程“时间短”和“内力大”，所以即使在碰撞的极短时间内碰撞双方构成的系统所受的外力和不为零，也会由于极小的外力在极短的时间内形成的冲量可以忽略，从而使碰撞过程遵从动量守恒这一基本规律（ + = + ）。

第二核心要素――动能不增。一方面，在碰撞过程中碰撞双方不能获得碰撞系统之外的机械能。另一方面，在碰撞过程中可能会留下不可恢复的形变而导致部分机械能损失。所以在碰撞过程中碰撞系统动能不增[4]。

第三核心要素――速度合理。碰撞前两物体同向运动，则 ，发生碰撞后，原来在前面的物体速度一定增大，且 ≤ 。两个做相向运动的物体，如果发生碰撞，那么发生碰撞后它们的运动方向不会都改变，但有可能速度都为零[5]。

3 碰撞的分类

3.1 按能量的转化关系分类

按照能量的转化可以把碰撞分为弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞。 弹性碰撞是指在理想情况下，物体碰撞后能够恢复形变，不发声、发热等的碰撞。没有动能的损失，又称完全弹性碰撞。真正的弹性碰撞只有在分子、原子以及更小微粒之间才会出现，高中物理中的碰撞因为动能损失很小，可忽略动能损失而看成弹性碰撞，即 = 。非弹性碰撞是碰撞后碰撞系统不能够完全恢复形变的碰撞，即 > 。完全非弹性碰撞指发生碰撞后系统的动能损失最大，碰撞后两物体粘在一起运动[6]。

3.2 证明完全非弹性碰撞动能损失最大

设一质量为 速度为 的物体与一质量为 速度为 的物体发生碰撞，碰撞过程中损失的动能记为 。则：

=（ + ）-（ + ） （1）

对于A、B由动量守恒定律得：

+ = + （2）

将（2）式两边同时平方，同时除以2（ + ）得：

= （3）

利用（3）式将（1）式作等量代换后得：

（4）

对（4）式前部份通分有：

+ - =

= =

= （5）

对（4）式后部份做同样处理得：

+ - = （6）

把（5）和（6）代入（4）得： = - 由于 - 为定值且不等于零（否则不能发生碰撞），显然当 = 时 有最大值，即碰撞后两物体一起以相同速度运动时（发生完全弹性碰撞）动能损失最大[7]。

4 典型的碰撞模型

4.1动碰静模型分析

如图1所示，在光滑的水平面上质量为 的小球以速度 与质量为 的静止小球发生弹性碰撞。

（7）

（8）

联立（7）和（8）解得： = 、 =

① 若 = ，可得 =0、 = ，相当于两球交换速度。

② 若 > ，则 >0且 >0，即 和 均为正值，表示碰撞后两球的运动方向与 相同。

③ 若 》 ，则 - ≈ ， + ≈ ，可得 = ， =2 。表示 的速度不变， 以2 的速度被撞出去。

④ 若 < ，则 为负值，表示 和 方向相反， 被弹回。

⑤ 若 《 ，这时 - ≈ ， ≈0， ≈- ， = ≈0，表示 被反向以原速率弹回，而 仍保持静止[8]。

4.2 模型应用

例1：卢瑟福曾在一篇文章中写道：可以预言，当 粒子与氢原子相碰撞时，可以使氢原子迅速运动起来[9]。 粒子与氢原子质量之比约等于4，假设 粒子与氢原子发生完全弹性碰撞，试证明在发生碰撞后氢原子速度是 粒子发生碰撞前的1.6倍，也即氢原子能量与 粒子能量之比为0.64。

证明：设氢原子的质量为 ， 粒子的质量为4 ，碰撞前 粒子的速度为 ，碰撞前氢原子的速度为0。发生弹性碰撞后 粒子的速度为 ，氢原子的速度为 ，由动量守恒和动能守恒得：

（9）

（10） 联立（9）和（10）解得： =1.6 ，入射 粒子的能量为 ，氢原子碰撞后的能量为 ，则： =0.64 原命题得证。

例2：如图2所示光滑水平面上有三个木块A、B、C，质量关系为 = ， = = ，开始时B、C均处于静止状态，A以初速度 向右匀速运动，A与B碰撞后又分开，B与C又发生碰撞并粘在一起，此后A与B之间的距离保持不变。求B与C碰撞前B的速度的大小。

解：设物体A、B发生碰撞后A物体的速度为 ，物体B与物体Cl生碰撞前B的速度为 ，物体B与C碰撞后速度为 ，根据动量守恒有

对A、B木块有：

对B、C木块有：

由A与B之间的距离保持不变可知： = ，代入数据得 = 。

5 关于碰撞问题的三则推证

推证1： 有一个小球质量为 ，作为入射小球与处于静止状态下的质量为 的小球发生碰撞，那么要保证入射小球不被反弹， > 是必须条件吗？高中教材中强调 > 。对此作分析论证。

设发生碰撞前小球 的速度为 ， 静止，发生碰撞后 的速度为 ， 的速度为 ，碰撞过程根据动量守恒，有：

（11）

两个小球发生的碰撞不一定是弹性碰撞，所以可能有动能损失，因此系统发生碰撞后动能不大于发生碰撞前的动能，即： （12）

联立（11）和（12）式得： 、 小球 发生碰撞后不被反弹等价于 >0。由 ，如果 > ，就有 >0，如果 < ，虽然 ，但是 ， 也存在大于零的情况。因此 > 不是保证入射小球不被反弹的必须条件[10]。

推证2：如图3，在光滑的绝缘水平直轨道上有两个小球A和B它们相隔一定的距离并相向运动，A球的速度为 ，B球的速度为 。已知A球的质量3 ，B球的质量为 。两球都带正电，B球带两个单位的正电荷，A球带一个单位的正电荷，由于两球间库伦力的作用导致两球不会直接接触。那么，A球在靠近B球的过程中由于一直受到库伦斥力的作用，因此，只要时间足够长，A球会不会反向运动呢？对此进行计算分析。

（13）

两球距离最近时，B球已经反向运动，以后A、B两球的距离将越来越大，因此对系统而言，电势能转化为动能。设电势能的减少量为 ，对系统有：

（14）

由（13）和（14）解得： ，由于库伦斥力的存在， 不可能大于 ，所以 只能取 。为让A球沿原方向继续运动，条件为： >0由 可解得 最小的必须条件为： ≤ 。设两球最初距离为 ，则系统最初的电势能为 。因两球无穷远时电势能为零，随着两个小球的运动电势能的减小量 。两球的电量、起始距离的具体数值未知，所以 可能大于 也可能小于 ， ≤ 可能满足，即 >0，A球可能一直向右运动[11]。

推证3：现有一静止的处于第一激发态的氢原子，有一实物粒子与该氢原子发生碰撞使该氢原子跃迁到第二激发态，那么实物粒子应该具备什么初动能条件？（已知第一激发态的能级 = ，第二激发态的能级 ）

第一、二激发态的能级差为 ，通常认为只要轰击粒子的能量大于等于 即可使氢原子发生跃迁，然而实物粒子的轰击只能将自身的一部分动能给氢原子。接下来计算实物粒子的初动能应该具备的条件。

设实物离子的质量为 ，氢原子的质量为 ，开始时氢原子处于静止状态，实物粒子以初速度 与氢原子发生正碰，碰后实物粒子的速度为 ，氢原子的速度为 。根据动量守恒定律得： = + （15）

发生碰撞后氢原子得到系统损失的动能而跃迁，设损失的动能为 ，有：

= + + （16） 据（15）式可得：

，将 代入（16）得：

化简移向得：

（17）

这是关于 的二元一次方程。为了使氢原子能够跃迁，关于 的二元一次方程必须满足判别式 ，即 ，化简可得实物粒子的初动能应满足 ，如果是电子与氢原子碰撞，由于电子质量 ，根据 ，即电子的动能只要大于等于氢原子的能级差，可使氢原子跃迁。而实物粒子初动能必须满足 才能使氢原子发生跃迁。

6 结语

本文从碰撞的定义出发，对碰撞的特点和碰撞问题的核心要素进行阐述与分析。从碰撞能量变化的角度对碰撞进行分类。在理论基础上建立起动碰静模型并对模型进行实例应用，并对碰撞的三个推论进行论证。从推导基础理论到理论模型再到模型的应用，对碰撞问题做完整的分析。对学生的学习和知识框架的构建大有裨益。

参考文献

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[5] 刘军.“完全非弹性碰撞”模型及其应用[百度文库].http///s？

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[11] Carl Nave .Elastic and inelastic collisions [J].Hyperphysics，2010（4）：37.