有关矩阵特征值问题的几个注记

【摘 要】本文主要讨论了矩阵特征值的几个性质及应注意的问题,并做了简单的推广。

【关键词】方阵 特征值 相似

【中图分类号】O241.6【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2009)09-0146-02

一、引 言

文中若无特别注明,A、B均为n阶矩阵。其它未注明的符号均参见文献。[1]设A是n阶矩阵,如果对于数λ,存在

非零列向量α,使得Aα=λα,则称λ为矩阵A的一个特征值,α为A的对应于特征值λ的特征向量。矩阵的特征值与特征向量是线性代数知识体系的重要组成部分,也是包含考研在内的各种考试的“热点”。

矩阵的特征值有如下性质:

性质1:矩阵A的属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数不多于λ的重数。

性质2:n阶矩阵A是奇异的 A至少有一个零特征值。

性质3:n阶矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn满足关系:

, ,其中 称为A的迹。

性质4:若λ是矩阵A的特征值,则f(λ)=anλn+an-1λn-1+…+a1λ+a0是矩阵f(A)=anAn+an-1A n-1+…+a1A+a0E的属于特征值的特征向量。

推论:若λ为矩阵A的特征值,f(A)=0,则f(λ)=0。

性质5:若λ是可逆矩阵A的特征值,则 是A的逆矩阵

A-1的特征值, 是A的伴随矩阵A*的特征值。

性质6:若n阶矩阵A与B相似,则A与B有相同的特征值。

性质7:实对称矩阵的特征值均为实数。

二、上述性质在解题中的应用及应注意的问题

首先,可以利用上述性质求矩阵的行列式。

例如2008年考研数学三,设3阶矩阵A的特征值是1、2、2,求|4A-1-E|。由性质2、5可知,矩阵A可逆,且A-1的特征

值是1、 、 ,设λ是A-1的特征值,则由性质4可知矩阵4A-1

-E的特征值是4λ-1,从而4A-1-E的特征值是3、1、1,从而由性质3可得| 4A-1-E |=3。

其次,可利用上述性质求矩阵或关系式中的未知量。

例:设矩阵的特征值为1、2、3,求x。由

性质3可知,trA=1+1+x=1+2+3,从而可得x=4。当然也

可根据行列式来解此例。

又例:设3阶矩阵A的各行元素之和均等于5,且A2+kA

-10E=0,求k。

由已知可得, ,从而由特征值的定义,5是矩阵

A的一个特征值,又根据性质4,若λ是矩阵A的特征值,则λ2+kλ-10=0,从而25+5k-10=0,可以解得k=-3。

要注意的是,性质4的逆命题不成立,即不能由f(λ)是f(A)的特征值,就推出λ是A的特征值。例如:设2阶矩阵A满足A2-3A+2E=0,求| 3A-2E |。有的同学有如下解法:设λ是矩阵A的特征值,则由A2-3A+2E=0知,λ2-3λ+2=0,因而λ=1,2。故3A-2E的全部特征值为1、4,从而| 3A-2E |=4。上述解法是错误的。为何?可举反例为证,例如A=E,则满足A2-3A+2E=0,而此时| 3A-2E |=1≠4。事实上,此例的答案是不惟一的,但也会有一些参考书犯了上述的错误。

那下面这道题该如何解呢?设A是实对称矩阵,且A3-3A2+5A-3E=0,求|A|。设λ是矩阵A的特征值,则由A3-3A2+5A-3E=0,可得λ3-3λ2+5λ-3=(λ-1)(λ2-2λ+3)=0。因为A是实对称矩阵,所以λ取实数,则λ=1>0,从而|A|=1。此题若无A是实对称矩阵这一条件,则答案也不惟一。

另外,可利用上述性质求有关相似矩阵的问题。例如:设4阶矩阵A与B相似,且A的特征值为2、3、4、5,求| B-E |。由性质6可知,A与B有相同的特征值,从而B的特征值为2、3、4、5,从而可得B-E的特征值为1、2、3、4,进而| B-E |=24。

当然,利用性质1～7还可以解决许多有关特征值和特征向量的相关问题,一些辅导书中都有介绍,在此不再赘述。

三、性质6的推广

首先回忆一下矩阵的相似:对于n阶矩阵A,B,若存在n阶非奇异矩阵P,使得AP=PB,则称矩阵A与B相似。矩阵P是非奇异的,即r(P)=n,由性质6可得,A与B有n个相同的特征值。如果r(P)

性质8:设A与B均为n阶矩阵,若存在n阶矩阵P,r(P)=r,满足AP=PB,则A与B有r个相同的特征值。

证明:因为r(P)=r,从而p的等价标准形为 ,

因而存在可逆矩阵Q1,Q2,使得 。

由AP=PB,可得Q1APQ2=Q1PBQ2,即:

(Q1AQ1-1)(Q1PQ2)=(Q1PQ2)(Q2-1BQ2);

即:。

不妨设,。

则,从而可得:

。

因此,A11=B11,A21=B12=O;则,

矩阵A1的特征多项式为:

矩阵B1的特征多项式为:

从而可知,矩阵A1与B1有r个相同的特征值。

又A1=Q1AQ1-1,B1=Q2-1BQ2,A与A1相似,B与B1相似。由性质6可知,A与A1有相同的特征值,B与B1有相同的特征值。

综上可得,A与B有r个相同的特征值。

通过性质6到性质8的推广,可以使学生了解,对题设做一些变动,可得到许多有意思的结果,从而引导其对问题进行深入思考。

参考文献

1 卢 刚.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2002

2 黎伯堂、刘桂真.高等代数解题技巧与方法[M].山东科技出版社,1999

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文