概率问题的解答方法与策略

概率是研究随机现象的科学。初中阶段，所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相等的。由于所涉及的随机现象相对比较复杂，需要通过分类、列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果（或借助频率估计）。因此，明确什么是一个“等可能的结果”，找出一种能恰当地分出各种等可能结果的规则是求解概率问题的关键，而画树状图和列表是很有效的分类方法。

一、概率的意义及有关概念

在一定条件下，有些事件发生与否可以预先确定，这样的事件叫做确定事件，确定事件中必然发生的事件叫做必然事件，它发生的概率为1；确定事件中不可能发生的事件叫做不可能事件，它发生的概率为0；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，它发生的概率介于0与1之间。

一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。

例1 （2014・聊城）下列说法中不正确的是（ ）

A。抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件

B。把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件

C。任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件

D。一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个球除了颜色外都相同）。如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6

解：抛掷一枚硬币，落地时正面有可能朝上，也有可能朝下，所以是随机事件，选项A正确。

根据抽屉原理，把4个球放入3个抽屉中，其中有一个抽屉中至少有2个球，所以是必然事件，选项B正确。

任意打开七年级下册数学教科书，可能正好是97页，也可能是其他页，应是随机事件，不是确定事件，选项C错误。

取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，所以红球出现的可能性与不是红球出现的可能性相同，故m+n=6，选项D正确。

故选C。

[TPSX3-20。TIF；Z*2，Y]

例2 （2014・武汉）如图1，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为[CD#4]。

解：一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有3个扇形，

指针指向红色的概率为37。

评注：一定发生的事件是必然事件，一定不发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件。必然事件和不可能事件都属于确定事件。正确掌握事件的有关概念是解此类问题的关键。

二、概率的计算

列举法求概率：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn。

用树状图法或列表法求概率：当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，不易直观地找到事件A发生的次数m和事件发生的总次数n，所以要借助画树状图或列表的方法来清晰地列举。

例3 （2014・湖州）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同。若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为13，则a等于（ ）。

A。1 [WB]B。2

C。3[DW]D。4

解：根据题意，得22+3+a=13，解得a=1，经检验，a=1是分式方程的解，故选A。

例4 有两个不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的保护盖（分别记为a，b）散乱地放在桌子上。

（1）若从手机中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率；

（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树状图法或列表法求恰好匹配的概率。

解：（1）从手机中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa，Ab，Ba，Bb四种等可能的结果，恰好匹配的有Aa，Bb两种，所以P（恰好匹配）=24=12。

（2）用树状图法或列表法求恰好匹配的概率。

用树状图表示：

由图2可知，共有12种等可能的结果，AB，Aa，Ab，BA，Ba，Bb，aA，aB，ab，bA，bB，ba，

其中恰好配套的有四种，分别是Aa，Bb，aA，bB，

所以P（恰好匹配）=412=13。

或用列表法表示：

可见，从手机和保护盖中随机取两个，共有12种等可能的结果，其中恰好配套的有四种，分别是Aa，Bb，aA，bB，所以P（恰好匹配）=412=13。

评注：求一步试验的随机事件的概率，一般直接分析得出所有可能的结果；求两步试验的随机事件的概率（有“放回”和“不放回”两种），一般用树状图法或列表法列举所有结果；求三步试验的随机事件的概率，不宜用列表法，宜用树状图法进行列举。

三、用频率估计概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p（0≤p≤1）。

例5 小丽是一位爱思考探索的学生，一个周末她在自己家门前的地上发现了一个不规则的封闭图形ABCD，她很想知道此图形的面积，于是她在封闭图形内划出了一个半径为1米的O，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：J]

T5”][XXZS-YX]

掷石子次数[KH-*2]

石子落在的区域[KG*2/3]

50

次

150

次

300

次

400

次

500

次

800

次

石子落在O内（含O上）的次数m

24

65

93

59

201

318

石子落在图形ABCD内且在O外的次数n

26

85

186

241

299

482

根据上表提供的信息，你能估计出图形ABCD的面积吗？若能，请写出估计的过程。

解：根据统计表，可得石子落在O内的次数与落在ABCD内且在O外的次数之比为318482≈23，

圆的面积=π×12=π（米2）。

设在图形ABCD内且在O外图形的面积为x米2，则有πx=23，解得x=32π。

所以封闭图形ABCD的面积为π+32π=52π（米2）。

评注：当有些事件的概率无法用公式计算时，可借助试验解决。在大量重复试验的基础上，可利用频率估计相应的概率，试验的次数越多，得到的概率就越准确。

四、统计与概率的综合应用

统计与概率的综合运用的关键是“统计图”，统计图中反映的数据既可用来求统计的量也可用来求概率的大小。

例6 （2014・菏泽）课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A。很好；B。较好；C。一般；D。较差。并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，如图3，图4，请你根据统计图解答下列问题：

（1）王老师一共调查了多少名同学？

（2）C类女生有[CD#4]名，D类男生有[CD#4]名，并将图3补充完整。

（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习。请用列表法或画树形图法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率。

解：（1）根据A（或B）类人数以及所占百分比，得（1+2）÷15[WTB3]%=20，所以王老师一共调查了20名同学。

（2）利用总人数以及扇形图求各类别人数，从而得出C组女生人数有3名，D组男生人数有1名。

将图3补充完整如图5：

[TPSX3-23。TIF，BP]

图5

（3）画树状图如图6：

[TPSX3-24。TIF，BP]

图6

所以所有可能出现的结果共有6种，所选两位同学恰好是一男和一女的结果共有3种。

所以P（恰好是一男一女）=36=12。

评注：通过偶然去发现必然，去研究隐藏在随机现象背后的统计规律，进而理解随机现象的思想叫做随机思想，它是概率论的核心思想。