函数思想在不等式中的应用探究

摘 要：不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考查学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多样，本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。

关键词：不等式；证明；函数法

一、构造函数法证明不等式的概括

1.不等式的分析方法

不等式由于题型多变，加上无固定程序可循，因而常有一定的难度。解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思想方法，熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法——比较法、分析法、综合法，以及其他的证明方法——反证法、换元法、判别式法、放缩法、函数的单调性法、构造法等。根据欲证不等式的特点，构造一个适当的函数，利用其相关性质，通过计算使问题得到快速解决。

（1）利用不等式的性质，均值定理、作差和作商比较法、分析法等可比较两个数的大小。

（2）利用均值定理、换元法、判别式法等数学思想方法可求函数的值域及最值问题。

（3）利用不等式的各种证明方法论证各类不等式。

（4）不等式证明中与三角函数等的综合应用。

2.不等式的证明方法

（1）比较法：比较法是不等式的各种证法中最基本、最重要的方法，包括作差比较法和作商比较法。用比较法证明不等式的一般步骤是作差（作商）通过变形判断符号（或判断两者比值与1的大小）。变形的主要方法是因式分解、配方、通分等。

（2）综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质及其他已经证明过的不等式来推出结论成立的方法。

（3）分析法：即从结论出发，执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件。分析法与综合法对立统一、相辅相成。

（4）反证法：从假设结论的反面成立，逐步推出矛盾，从而肯定结论正确的方法。当题中有“至多”“至少”“都”等词语时，可考虑采用反证法。

（5）放缩法：利用不等式的传递性，欲证A≤B，若知A≤C，只需证C≤B即可。应用此法时应注意放大或缩小不等式的范围，用舍掉一些正（负）项而使不等式各项之和变小（大），或者分式放大或缩小分式的分子、分母等方法达到其目的。

（6）判别式法：有理分式函数去分母整理或关于x的二次方程，利用判别式求函数值域达到证明不等式的目的。

（7）函数的单调性：利用二次函数、三角函数及其他函数单调性来证明不等式。

二、利用函数法解不等式的具体方法

1.构造函数利用判别式证明不等式

在含有两个或两个以上字母的不等式中，可将一边整理为零，而另一边为字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。

2.构造函数利用单调性证明不等式

例1. 设 a，b∈R+，求证：

解析：设 ，当 x>0时， 是增函数，

又

而a，b ∈R+，a+b +ab>a+b

f（a+b +ab）> f（a+b），

故有：

评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。

3.构造函数利用奇偶性证明不等式

例2.求证： （x≠0）。

解：设 （x≠0），

所以 是偶函数，其图象关于y 轴对称。

当 时x>0，1- 2x

当 时x

故当x≠0时，恒有 ，即

（x≠0）。

评注：实质上是根据函数奇偶性来证明，如何构造恰当的函数充分利用性质是关键。

由上述几种情况可以看出，构造函数利用其函数性质和使用数学思想来证明不等式，最重要的是要有扎实的基本功和敢于打破常规，创造性的思维，才能独辟蹊径，使问题获得妙解。

（作者单位：广西壮族自治区天峨县民族中学）