高考三角函数复习指导

纵观近几年的三角试题,我们不难发现,对三角函数的考查力度较大，题型是一大一小或两小一大，总体难度不大，解答题通常放在第一个，属容易题，要求每一位同学不失分．主要考查三角变换、三角函数的图象与性质、解三角形这三大方面.

试题注重立足于课本,考查基本知识、基本公式及同学们的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低．三角化简、求值、恒等式证明、图象、最值、解斜三角形为考查热点．

常见题型：①三角函数的图象与性质；②化简和求值；③三角形中的三角函数；④最值．本文对高考重点、常考题型进一步总结，强化规律，解法定模，便于同学们考试中迅速提取，自如运用．

考点1．三角函数的求值与化简

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．

考点2．解三角形：此类题目考查正弦定理，余弦定理，两角和差的正余弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.

例2 设函数f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域为［0,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)内角和定理：三角形内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

(4)面积公式：S=12aha=12absinC.

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=π这个特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化．

考点3．求三角函数的定义域、值域或最值：此类题目主要有以下几种题型：（１）考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.（２）考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.（３）考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.

例3 已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）当m=0时，求f(x)在区间［π8,3π4］上的取值范围；（2）当tanα=2时，f(α)=35，求m的值．

解：（1）当m=0时，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

从而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函数的最值主要有以下几种类型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，换元去处理；③形如y= asinx+bsin2x的，转化为二次函数去处理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函数的有界性去解决，也可转化为斜率去通过数形结合解决．

考点4．三角函数的图象和性质：此类题目要求同学们在熟练掌握三角函数图象的基础上对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.

例4 已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期为π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上单调递增，在［π6，π2］上单调递减，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值为2，最小值为-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］从而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路.

如果由图象来求正弦曲线y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|

对于单调区间,要把ωx+φ看作一个整体,如由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)解出的x的取值区间即为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的增区间.

总的来讲，解答三角试题的策略是：发现差异（观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”）;寻找联系（运用相关公式，找出差异之间的内在联系）;合理转化（选择恰当的公式，促使差异的转化）.