一道联考题的解法探究

题目：（湖北省八校2012届高三第一次联考理第21题）已知函数f(x)=4x+a1+x2的单调递增区间为［m,n］ （1）求证f(m)f(n)=-4；

（2）当n-m取最小值时，点P(x1,y1),Q(x2,y2)(a

试题分析：本题主要考查导数的性质及不等式放缩法的运用，由于题中涉及的字母参数较多，从而导致题意过于抽象，同学们普遍感觉无从下手，笔者经过研究，获得了本题的简解，并揭示出试题命制的背景，为便于说明，先给出原题解答：

参考答案：（1）略；

（2）由题意可得m,n是方程2x2+ax-2=0的两个不同的实数根.

n－m=(m+n)2－4mn=a24+4≥2

n－m取最小值时，a=0,n=1,m=－1.

f(x)在［－1,1］是增函数，0

f′(x0)=f(x2)－f(x1)x2－x1>0.从而x0∈(－1,1)

f′(x0)=4(1－x20)(1+x20)2=f(x2)－f(x1)x2－x1=4(1－x1x2)(1+x21)(1+x22)

即(1－x20)(1+x20)2=1－x1x2(1+x21)(1+x22)

(1+x21)(1+x22)=x21x22+x21+x22+1>(x1x2)2+2x1x2+1=(1+x1x2)2

1－x20(1+x20)2=1－x1x2(1+x21)(1+x22)

考虑函数g(x)=1－x(1+x)2，因g′(x)=(x－1)2－4(1+x)4，故当x∈(0,1)时，有g′(x)x21.|x0|>x1.

由1－x20(1+x20)2=1－x1x2(1+x21)(1+x22)及0 < 1-x20 < 1-x1 x2 得

(1+x20)2

x1

评析：本题由不等式的放缩法，通过构造函数g(x)，利用函数g(x)的单调性证得x1

简解1：同上得f′(x0)=4(1－x20)(1+x20)2=f(x2)－f(x1)x2－x1=4(1－x1x2)(1+x21)(1+x22)

即4(1－x22)(1+x22)2

考虑函数f′(x)=4(1－x2)(1+x2)2在（0,1）上易知其为单调递减且在R上为偶函数，即

f′(x2)

评析：分式型结构式的放缩常规方法是对分子分母进行基本的放大或缩小，从而厘清结构，利用题中现有的导函数f′(x)本身的性质获解，大大优化了原解答，考虑本题获得成功的关键是利用f′(x)的单调性与奇偶性，那么能不能不对具体的含有x1,x0,x2的结构式进行梳理呢？经过研究，也获得了成功：

简解2：由f′(x0)=f(x2)－f(x1)x2－x1f(x2)－f′(x0)x2=f(x1)－f′(x0)x1，

记g(x)=f(x)－f′(x0)x，下面研究g(x)在x∈(0,1)上的单调性，

g′(x)=f′(x)－f′(x0),f′(x)=4(1－x2)(1+x2)2在（0,1）上为单调递减，且在R上为偶函数，则由g′(x)=f′(x)－f′(x0)=f′(x)－f′(|x0|)，

若x∈(0,|x0|),f′(x)>f′(|x0|)此时

g′(x)>0则g(x)递增；若x∈(|x0|,1),f′(x)

x=|x0|为g(x)的极大值点，又g(x2)=g(x1)则x1与x2必分布在|x0|左右，

即x1

评析：通过构造新函数g(x)，讨论其在(0,1)上的单调性，有效回避了简解1中的代数变形，利用函数g(x)的性质得证．

上述三种方法无一例外都利用了函数的单调性来进行处理，而实质上题设中f(x2)－f(x1)x2－x1的特征本身就是函数f(x)为增函数的一种形式表达，而f′(x)=f(x2)－f(x1)x2－x1，则具有高等数学的背景：

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ζ(a

由此看出本例就是以拉格朗日中值定理为背景编拟的一道试题，无独有偶，2010年辽宁卷理第21题也是利用这一背景编拟成题的，下面给出题目，并运用这一定理求解：

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，（I）讨论函数f(x)的单调性；

（II）设a

略解：I）略；II）由I）知当a

近些年来高考题以高等数学相关知识为背景编拟出的试题层出不穷，因此主动加强新知识的学习，优化知识结构，适时的用一些高观点的视角来处理数学试题，必能把握试题的内涵与实质，“神来之笔”就不会感觉意外了！