怎样引导学生解题

【摘 要】 该怎样进行解题？美国著名的数学家波利亚在他的著作《怎样解题》中展示怎样解题的全过程，让人好像能感触到解题过程中的思维变化。怎样思考？就是读懂题目，使题目的各部分在脑海中变得清晰鲜明，使自己明白题目、熟悉题目、明确题目的目的，并把题目的主要部分剖析出来，然后寻找解题线索。怎样解答？波利亚说：“详细地进行你前面认为可行的全部代数或几何运算，用形式推理或直接观察检查每一步的正确性”。怎样完善解答呢？题目解完之后，考虑解答过程，重新深入温故理解题目及寻找解题线索的方法；考虑解的局部或全部，尝试使解答更加简单明了；总结解题方法，总结解题结果。

【关键词】 解题；怎样思考；怎样解答；如何完善

遇到一道题目时，我们该怎样进行解题？即从哪开始？怎样思考？怎样解答？美国著名的数学家波利亚在他的著作《怎样解题》中展示怎样解题的全过程，让人好像能感触到解题过程中的思维变化。他在《怎样解题》中把解题分为四步进行：第一步了解问题；第二步拟定计划；第三步实行计划；第四步回顾。即我们常说的：熟悉理解题目、寻找解题线索、具体作答、归纳总结。对于解题的每一步，《怎样解题》都给解题思维作了具体详尽的描述。下面就实际例题并结合《怎样解题》，展示波利亚解题风格的心路历程。

一、一道例题

如图，已知ABC，BE、CF为高，CP=AB，BD=AC，试判断AP与AD有什么关系？并说明你的理由。

二、怎样思考

怎样思考，实际包含解题步骤中的前两步，即“了解问题”、“拟定计划”。其中“了解问题”在《怎样解题》中分两步进行：熟悉问题、深入理解问题。实际上，“了解问题”与“拟定计划”是解题的关键环节，也是解题时思维活动的核心部分，经过这两步，我们的解题思路才能打通，解题的主体工作――“实行计划”才能顺利完成。下面结合例题，我们看看波利亚是怎样进行思考的。

1.了解问题。①熟悉问题。就是读懂题目，使题目的各部分在脑海中变得清晰鲜明，使自己明白题目、熟悉题目、明确题目的目的，为深入理解问题做好准备。②深入理解问题。首先把题目的主要部分剖析出来，即题目的已知条件是什么？要求我们做什么？本例题中结合图形从它的叙述可知，已知条件有：ABC ，BE、CF为三角形的高，CP=AB、BD=AC；我们所要解答的是：判断AP与AD的关系，并说出理由。

其次题目的主要部分思考一遍。怎么思考？如波利亚在他的《怎样解题》书中所描述的那样，“逐个逐个地考虑，轮流的考虑，而且在各种组合中来考虑，同时把每个细节与其它细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来”，这实际上就是我们常说的“挖掘题目的隐含条件”。通过以下师生对话，我们会清楚怎样把主要部分思考一遍。

师：由条件①ABC，你会想到什么？

生：三角形的三角关系、三角形三边关系等等；

师：由条件②BE、CF为三角形的高？

生：∠ABE+∠BAE=90°、∠ABE+∠FGB=90°、∠ACF+

∠CAF=90°、∠ACF+∠EGC=90°、∠FBC+∠FCB=90°、∠EBC+∠BCE=90°、∠FAH+∠AHF=90°等等；

师：还能想到什么？

生：由∠ABE+∠BAE=90°与∠ABE+∠FGB=90°可知∠BAE

=∠FGB；由∠ACF+∠CAF=90°与∠ACF+∠EGC=90°可知

∠CAF=∠EGC；还能发现：∠FGB=∠EGC、∠ABE=∠ACF……

师：由条件③CP=AB、BD=AC，你会想到什么？

生：好像不能！

师：如果与前面你所发现的结果相结合呢？

生：嗯？由“CP=AB、BD=AC”与“∠ABE=∠ACF”相结合可以发现：BAD≌CPA，进而又可发现：AP=DA、∠P=∠BAD、∠PAC=∠ADC

师：由刚才你所想到的结果，再结合题目或其隐含条件，还能发现什么？

生：由题目的隐含条件∠FAH+∠AHF=90°，再结合∠P=∠BAD，可知：∠P+∠AHF=90°，进而又可得：∠PAH=90°。

……

师：判断AP与AD的关系，这是要求我们做什么？

生：当然是AP与AD大小关系。

生：不对，还有位置关系。

……

只要你愿意进一步思考，还能得出很多“细节”，不知不觉“你会准备好并弄清楚以后可能起作用的细节”。

2.拟定计划。也就是我们所说的寻找解题线索。怎样寻找线索呢？正如波利亚所说：“从各方面考察你的问题，分别突出各部分，考察各个细节，用不同的方法反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来，从不同角度考察它”；“在你所考察的内容中，设法找出熟悉的东西来，在你熟悉的东西中，努力找出有用的东西来”；这样你能够找出“一个有用的念头，也许是个决定性的念头，他能使你一眼看出解决问题的途径”。仍然通过师生对话探讨波利亚寻找解题线索的方法。

师：通过前面的深入理解问题，如何解答AP与AD的关系？先解决它们的大小关系，我们前面的隐含条件中哪些与我们现在要解决的问题有关？

生：由条件②BE、CF为三角形的高得出的隐含条件有作用。

师：为什么？

生：由这些隐含条件，我们易得∠ABE=∠ACF，再结合条件③CP=AB、BD=AC，可得BAD≌CPA，进而得AP=DA，这样AP与AD大小关系得以解决。

师：很好！那么AP与AD位置关系呢？

生：由隐含条件BAD≌CPA可得∠P=∠BAD，再结合隐含条件∠FAH+∠AHF=90°可得∠PAH=90°，这样易发现AP与AD垂直关系。

……

考察问题的各部分或各“细节”或各“细节”的组合后，解题的线索自然而然出现了。

三、怎样解答

怎样解答？即波利亚的实现计划环节，如何进行？波利亚说：“从能引导你解决问题的思路开始”，“详细地进行你前面认为可行的全部代数或几何运算，用形式推理或直接观察检查每一步的正确性”。如果你的问题复杂，你可分为“大”步骤和“小”步骤，每一的“大”步骤又分为几个“小”步骤”。“首先检查“大”步骤，以后再检查“小”步骤”。接着前面的师生对话继续探讨波利亚怎样解答。

师：正如写作文，根据刚才得到的解题思路，数学解答也要列提纲、分大段落与小段落，然后用前面分析得到的有用的结果进行正确的充实，这样题目的解答就形成了，得到的解答过程也显得有层次有条理。这道例题我们该怎样进行解答呢？

生：我列的提纲如下：

第一大段：判断AP与AD关系。

第二大段：理由的说明。

第一段：说明AP与AD相等关系，说明∠ABE=∠ACF，说明AP=AD

第二段：说明AP与AD垂直关系。说明∠P=∠BAD，∠PAH

=90°

师：根据我们前面所思考的，每一部份如何充实？

生：按所列大纲的顺序，具体解答如下

解：AP与AD相等且垂直。

理由：BE、CF为三角形的高

∠ABE+∠BAE=90°、∠ACF+∠CAF=90°

∠ABE=∠ACF

CP=AB、BD=AC

BAD≌CPA

AP=AD、∠P=∠BAD

CF为三角形的高

∠FAH+∠AHF=90°

∠P+∠AHF=90°

∠PAH=90°即APAD

四、解答之后如何完善

这就是波利亚的解题环节的最后一步――回顾，然而实际解题时，这一步最容易被忽视，而波利亚把它作为解题的必要步骤，这不仅有利于题目的解答，形成良好的解题习惯，更有利于学生数学能力的提高。怎样完善解答呢？从波利亚的《怎样解题》一书可知：题目解完之后，考虑解答过程，重新深入温故理解题目及寻找解题线索的方法，便于巩固知识、提高解题能力；考虑解的局部或全部，尝试使解答更加简单明了；总结解题方法，尽量把握解法要点，并尝试应用于其它问题；总结解题结果，尝试能否用其它方法得到它或能否应用它于其它问题。

【参考文献】

[1]波利亚，《怎样解题》北京科学出版社，1982年

[2]张奠宙，宋乃庆《数学教学概论》高等教育出版社