旋转在解题中的灵活应用

【前言】旋转在解题中的灵活应用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。解：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形且∠BDC=120° 把MBD绕点D按顺时针方向旋转120°，点B与点C重合，记点M的对应点为点E，由旋转可知：∠MBD=∠ECD，在正ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，在等腰BDC中，∠BDC=120°，DB=DC ，∠DBC=∠DCB=30°，∠MBD=∠NCD=∠ECD=90°，点E在AC...

旋转是初中数学新课程教材中给出的一个新概念，这一新知识在解决一些有难度的中考几何题中应用广泛，屡建奇功！也充分体现了思维的灵活性和综合解题能力。

所谓旋转是将一个图形绕一个定点（旋转中心）沿某一个方向转动一个度数（旋转角度），这样的图形运动称为旋转。旋转的基本性质是不改变图形的形状和大小，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连结所成的角都等于旋转角度。下面是本人在平时教学中的点滴积累，与大家一起探讨。

一、正三角形的旋转应用

例1：如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°以D为顶点作∠MDN=60°，角的两边分别交AB、AC于M、N，连结MN，求AMN的周长。

分析：从已知可以看到，M、N分别是AB、AC上的动点，即AM、AN、MN长并不是固定不变的，所以要解决AMN的周长无法从AM、AN、MN长着手，只能把它转化到等边三角形的边长上。从等边ABC和顶角为120°的等腰BDC中可发现，把MBD绕点D按顺时针方向旋转120°后，DB与DC重合，可以证出点MN对称点E在AC的延长线上，从而得出DMN≌DEN，得出MN=EN，这样即可把AMN的周长转化到了AB+AC的值。本题的解答中也体现了转化思想和整体思想。

解：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形且∠BDC=120°

把MBD绕点D按顺时针方向旋转120°，点B与点C重合，记点M的对应点为点E，由旋转可知：∠MBD=∠ECD，在正ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，在等腰BDC中，∠BDC=120°，DB=DC ，∠DBC=∠DCB=30°，∠MBD=∠NCD=∠ECD=90°，点E在AC的延长线上，即N、C、E三点在一直线上，由旋转性质可知：DM=DE，CE=BM，∠BDM=∠CDE，∠MDN=60°，∠BDC=120°，∠BDM+∠NDC=60°，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=60°=∠MDN，

DMN≌DEN，MN=NE，AMN的周长=AM+MN+AN

=AM+NE+AN=AM+CE+CN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC在正

ABC中，AB=AC=1，AMN的周长=AB+AC=2。

例2：已知如图，点P是正ABC内一点，且PB∶PC∶PA=3∶4∶5，求∠BPC的度数。

分析：从PB∶PC∶PA=3∶4∶5 让我们很快联想到直角三角形的勾三股四弦五，而这三条线段并没有组成一个三角形，因此我们将其中两条线段所在的三角形旋转一个特殊角度，使得这三条线段组成三角形，而等边三角形又为旋转提供了很好的条件。

解：由PB∶PC∶PA=3∶4∶5可设PB、PC、PA长分别为3a、4a、5a，把ABP绕点B按顺时针旋转60°可得BDC，连结PD，由旋转可知：ABP≌CBD，DC=PA=5a，BP=BD=3a，∠PBD=60°。

BPD为等边三角形

PD=PB=BD=3a，∠BPD=60°

又DC=PA=5a，PC=4a

DC2=PD2+PC2

∠DPC=90°

∠BPC=∠BPD+∠DPC=60°+90°=150°

以上两个例题充分利用了等边三角形边角的特殊性质和旋转不变性，将分散的已知条件通过旋转进行转化，从而将问题简单化。对于等边三角形较难的计算题，我们可以用旋转方法来解决。

二、正方形中的旋转应用

例3:已知，点P是正方形ABCD内一点，且PA=1、PB=2、PC=3 ，求∠APB的度数。

分析：在特殊的正方形中告诉我们三条线段长，要求出角的度数，无非是利用特殊三角形的内角，而这三条线段没有在同一个三角形中，因此可将ABP绕点B按顺时针旋转90°到CBE，连结PE，就可以构造两个特殊的三角形，来求出∠BEC，从而就可以求出∠APB的度数。

解把ABP绕点B按顺时针旋转90°到CBE，连结PE。由旋转可知：ABP≌CBE，∠PBE=90°，BP=BE=2，AP=CE=1，∠APB=∠CEB，

PBE是等腰直角三角形，且∠PEB=45°，PE=2√2 在PEC中，PE=

2√2，EC=1，PC=3，

PC2=PE2+EC2，∠PEC=90°

∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°

∠APB=∠CEB=135°。

例4：在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，若BC+CD=8，求四边形ABCD的面积。

分析：本题要求四边形ABCD的面积无法直接求出，也无法把四边形的面积转化为三角形的面积之和。从已知AB=AD，∠BAD=∠C=90°，可得∠B+∠ADC=

180°，如果过点A作AEBC于E，利用已知条件再把ABE绕点A旋转按逆时针旋转90°，利用∠B+∠ADC=180°，就可以把四边形ABCD的面积转化到四边形AECF的面积，而从已知条件和旋转又可以证出四边形AECF是正方形，这样求正方形AECF的面积就容易了。

解：过点A作AEBC于E，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，∠B+∠ADC=180°，又AB=AD，把ABE绕点A旋转按逆时针旋转90°得ADF，由旋转可知：ABE≌ADF，∠B=∠ADF，∠AEB=∠F=90°AE=AF，BE

=DF。

∠B+∠ADC=180°

∠ADF+∠ADC=180°

C、D、F在一直线上

S四边形ABCD=S四边形AECD+SABE=S四边形AECD+ SADF =S四边形AECF，在四边形AECF中，∠AEC=∠C=∠F=90°且AE=

AF。

四边形AECF是正方形

CF=CE

BC+CD=8

BE+EC+CD=DF+EC+CD=EC+CF

=8

CE=CF

CE=CF=4

S正方形AECF=CE2=16

S四边形ABCD =16

以上两题抓住了正方形角的特殊性，为旋转提供了很好条件，当然把所求的问题也简单化。

综上所述可知，利用旋转解几何计算题关键在于根据题设，运用旋转的基本性质，结合几何定理和特殊图形，通过计算得解。一般情况下，在正三角形中旋转60°，在正方形中旋转90°。此方法相对新颖，富有特殊性和规律性，值得重视。在平时的教学中应该多灌输这样的解题思想，这样除了能帮助学生理解课本内容外，还能提高学生的思维能力，培养学生的探索精神和创新意识，让学生能更好地体会旋转的灵活性，也更好的掌握了数学常用的转化思想。