数学中的凸凹

在数学中，有很多概念很直观，可以形象的来理解。数学中，凸凹的概念经常出现，例如，凸四边形、凸集、凸函数、凹函数等等。

我们来看一下凸字的解释：高出 [convex；raised]，高于周围的，如球形或圆形的外部或其一部分那样弯曲的――指从外面观看一个球面或曲线；使突出于周围表面或范围之外等。这些解释中我们可以观察到数学的因素，那么，在数学的概念中，凸和凹都有什么含义呢？凸凹是对立的，我们主要来了解下凸的概念：

一、凸多边形

凸多边形是我们在数学的学习过程中，最先遇到的关于数学的凸的概念。它很好理解，什么是凸边形呢？举个例子，矩形是凸边形，而五角星就不是，它是凹边形。这下，我们对它就有一个直观的认识。

那么，它的定义是什么呢？凸多边形又可称为平面多边形，是多边形中的一种，与凹多边形相对，一般在中学阶段对多边形的学习只涉及凸多边形。以下是它的性质：

1.凸多边形的内角均小于180°，边数为n（n为整数且n大于2）的凸多边形内角和为（n-2）×180°，但任意凸多边形外角和均为360°，并可通过反证法证明凸多边形内角中锐角的个数不能多于3个。

2.凸多边形所有对角线都在内部，边数为n的凸多边形对角线条数为n（n-3）/2，其中通过任一顶点可与其余n-3个顶点连对角线。

这些性质，凹边形是否满足呢？我们想想五角星，显然有些内角是大于180°的，而锐角也是多于3个，其他的性质读者可以自己验证和思考一下。

二、凸集（Convex Set）

现在数学学习的概念的时间越来越提前，凸集这个概念在奥数中出现，在高中的学习中也出现了，当然，在大学及以后的学习中也不可缺少。这是一个很基本、很重要的概念。我们来看一下凸集的定义：

实数 R （或复数 C 上）在向量空间中，如果 S 中任两点的连线内的点都在集合 S 内，集合 S 称为凸集。

对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的。在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。例如：在二维中有扇面、圆、椭圆等，在三维中有实心球体等。

我们看到，凸集已经是一个比较抽象的概念了，再参考一下凸多边形的概念，发现凸集是包涵凸多边形的概念的，随着年龄的增长，思维能力的提高，学生们能够接受更加抽象的概念。通过定义，我们知道，一个集合是凸集，当且仅当集合中任意两点的连线全部包含在该集合内。这也是判断一个集合是否为凸集的方法，对于具体的例子，我们可以用反证法来判断。

三、凸函数

凸函数的概念一般出现在高等数学中，理解好、应用好这个概念需要更强的抽象思维能力。凸函数的定义如下：

设函数f（x）在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2，和任意λ∈（0，1），都有

f（λx1+（1-λ）x2）>=λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）是I上的凸函数。

注：1.若不等号严格成立，即">"号成立，则称f（x）在I上是严格凸函数。

2.如果">="换成"

3.我们思考凸函数的概念的时候，可以令λ=1/2，即得f（（x1+x2）/2）>=（f（x1）+f（x2））/2，这样更容易理解和在几何意义上观察。

这个定义从几何上看就是：

在函数f（x）的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方，那么这个函数就是凸函数。反之是凹函数。

直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2，y=lnx.我们也可以通过以下性质来判断函数的凸凹：

性质1： 如果函数f（x）在区间I上二阶可导，则f（x）在区间I上是凸函数的充要条件是f''（x）=0；

性质2：则f称为I上的凸函数，当且仅当其上境图（在函数图像上方的点集）为一个凸集。

中国数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。对于经济学来说，当二阶导大于零时，我们说它是凸的，是指相对于原点来说它是凸的，这与数学上的描述有点不同。这一点有兴趣的读者可以研究一下。

凸凹是一个充满神奇魅力的概念，在数学中涉及多方面的知识，要吃透凸凹的概念和性质，还需要在数学的世界中努力求索。