初中学生函数概念发展的研究

摘 要： 本研究通过抽样调查研究了现阶段初中学生函数概念的发展情况：初中学生对变量的理解随着年级的增长而明显加深，还不能完全用变化的、运动的观点看待问题；在函数的三种表示方法中，学生对图像法的函数值唯一性的认知最好，对解析式的函数认知易受所学过的函数形式影响，对表格法的函数认知易受字母变量的影响。

关键词： 初中数学教学 函数概念 认知发展

1.问题提出

“函数概念是近代数学思想之花”[1]。函数是贯穿中学数学内容的一根主线，函数与代数式、方程、不等式、三角、几何、数列、复数、排列组合、极限和微积分等内容联系非常密切。

新课改前，初中函数学习安排在九年级；课改后，函数学习则进行了分散。以烟台地区使用的鲁教版数学教材为例，一次函数、反比例函数、二次函数三部分的内容分别放在七年级上、八年级下、九年级上进行。新课改后学生的函数概念发展情况怎样呢？对此笔者进行了抽样调查研究。

2.研究方法

采用问卷调查法，问卷是围绕函数概念的认知发展进行设计的，目的是了解初中学生对函数定义和函数多种表示方法（解析法、列表法、图像法等）的理解程度，了解学生在判断一个对象是否为函数时用到的函数概念表象主要有哪些，了解学生对函数的应用水平。

收集到调查数据用Excel2003管理数据，用SPSS11.5分析数据。

3.结果与分析

3.1初中学生整体函数概念发展的水平与分析

从整体上看，初中学生的函数概念发展差异性很大，随着年级的变化，呈“V”字形发展，九年级明显高于七八年级。造成这种情况的原因主要有两方面。

3.1.1学生因素

研究表明：初中学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势[2]，但在很大程度上，学生仍然需要依赖具体形象的经验材料理解抽象的逻辑关系，思维仍属于经验型的逻辑思维。七八年级学生具体形象思维占主要地位，抽象逻辑思维还没得到充分的发展。函数概念是一个非常复杂抽象的概念，学生还没有足够的抽象思维更好地理解，导致年级间的差异性显著。

3.1.2教材因素

鲁教版数学教材在七年级上学习“一次函数”；在八年级下学习“反比例函数”；在九年级上学习“二次函数”。八年级的函数学习与七年级的学习时间间隔有一年，与九年级的函数学习紧挨着，这种课程设置没有足够地考虑函数学习的连续性，造成八年级学生的函数概念认知水平最低。

3.2初中学生对函数概念本质认知与分析

函数概念的本质是函数值的唯一性。通过问卷调查，我们发现学生在判定是否函数关系时的判别标准是：首先看是否是熟悉的解析式、函数图像，其次看是否有两个字母代表的变量，是否y随x的变化而变化，最后才是函数值的唯一对应。造成这种情况的因素主要有两方面：

3.2.1概念学习的典型范例

初中学生在理解概念时，需要借助一些具体的概念表象解读。正如认知心理学家罗斯（E.Rosch）所认为的：[3]记忆中的种种概念，是以这些概念的具体例子表示的，而不是以某些抽象的规则表示的。学生学习过的函数解析式和图像在这里充当函数的典型范例。

3.2.2教材因素

一是为了配合函数的变量说，教材中所有关于函数概念的题目都偏重于强调变化，以至于学生想到函数就首先想到应该有两个随时在变化的量，否则就不能成为函数。二是教材在三种函数表示方法的应用示例方面偏重于解析式方面，基本上是让学生自己用解析式解决问题，给出图像让学生根据图像回答问题，表格的应用主要是让学生利用表格数据求解析式的，表格如果没有字母出现就基本不会被当做函数。

4.对函数教学的启示

4.1合理安排函数的学习

在教材设计上，应该考虑七、八、九年级间的函数学习间隔均衡。数学知识的学习要注重知识体系的前后呼应和连续性，现行的数学教材七八年级的函数学习间隔太长，不利于学生的函数概念认知发展的连续性。

4.2加强学生对变量的认识。

采用字母表示变量，使人们能够方便研究函数，但在实际教学中大多数教师并没有很好地突出字母表示变量的优越性和目的所在，造成学生对函数的误解：只有能用字母表示的变量才算变量，特别是在表格法的函数里，这种理解偏差更大。

4.3加强学生对函数的本质认识

在函数的三种表示方法中，求函数解析式是函数教学和考查的重点，教学重点都落在求函数解析式上，而忽略在解析式中对函数值唯一性的认识，导致学生对解析式形式的函数认知上以点概面，用是否是曾学习过的解析式函数作为判定函数关系的依据。

在表格函数的学习中，表格的出现两种情况：一是为求函数解析式而提供数据；二是在数据的统计中用来整理数据和信息，此时的表格很少被当做函数认知，导致学生对表格函数的认知最低。现实中有很多函数关系是无法用解析式和图像描述的，很多函数关系只能用表格法表示，需要加强学生对表格函数的理解与认知。

参考文献：

[1]徐品方，张红，宁锐.中学数学简史[M].科学出版社，2007：241.

[2]林崇德.学习与发展[M].北京教育出版社，1992.

[3]施良方.学习论[M].人民教育出版社，1994：450.