线性无源无限两端网络问题

[摘 要] 线性网络一般指由线性元件构成的网络，通常指由电阻构成的网络。如果一个无限延展的网络不含电源且通过两个端点与外电路连接，则称这个网络为线性无源无限两端网络。解决线性无源无限两端网络问题，对培养学生的逻辑思维和推理归纳能力都有较高的要求。

[关键词] 无源无限；线性网络；两端网络

[中图分类号] TN702 [文献标识码] A

线性网络一般指由线性元件构成的网络，通常指由电阻构成的网络。如果一个无限延展的网络不含电源且通过两个端点与外电路连接，则称这个网络为线性无源无限两端网络。解决线性无源无限两端网络问题，对培养学生的逻辑思维和推理归纳能力都有较高的要求，这是在各种竞赛中出现频率比较高的题型，让学生了解一些这方面的知识，对养成他们严谨的思维习惯大有裨益。下面我们分别讨论线型无限网络和面型无限网络两种类型。

1 线型无限网络

按“线型”无限延展的网络称为线型无限网络。

1.1 线型无限网络的电阻

问题1：上图为单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都为R，要求A、B之间的等效阻值RAB。这类题目可采用极限法求解等效电阻，即先从无限网络中取出由k个小网络元组成的两端有限网络，其等效电阻记为Rk。若把它再按相同方式连接上一个同样的小网络元，则构成由k+1个小网络元组成的两端有限网络，其等效电阻记为Rk+1，再找出Rk+1与Rk之间的数学递推关系，当k∝时，Rk+1=Rk=RAB。把这一结果与上述Rk+1和Rk之间的递推关系式相结合，即可得出关于RAB的一元代数方程式，由此可解出RAB。

上题中每一个网络元由三个电阻R组成，设由C、D向右看k个网络元组成的网络两端点C、D之间的等效电阻为Rk，若再接一个网络元就成为由k+1个网络元组成的电阻网络，其两端点之间的等效电阻应为Rk+1。Rk+1与Rk的关系是

Rk+1=2R+RkR/（Rk+R）

当k∝时，

Rk=Rk+1=RAB

故有 RAB=2R+RABR/（RAB+R）

解得 RAB=（1+ [3]）R

问题2：如果有一个双边的线型无限网络（见下图），若要求A、B之间的等效电阻RAB。可以把这种双边无限网络看成是两边两个单边无限网络再加一个电阻R并联而成

RAB=（1+ [3]）R/（3+ [3]）

问题3：在问题2中要求A、C之间的等效电阻RAC。可先求出C、D向右的单边无限网络的等效电阻，故

RCD=（1+ [3]）R∥R=（ [3]-1）R

RAC=（2RCD+R）∥R

=[2（ [3]-1）R+R]∥R=（6- [3]）R/6

1.2 线型无限网络的电流

让一个直流电源与一个两端线型无限网络电路相串联，设以A、B为端点的网络的电阻为RAB，且A端与直流电源正极相连，B端与负极相连，则从A端流入、从B端流出的电流为

I=ε/（RAB+r）

式中ε和r分别是直流电源的电动势和内阻。

问题4：下图无限网络的每个电阻的阻值都是R，电源电动势为ε，内阻r=R，求第n个方格每边电阻上的电流强度。

如上所述，单边线型无限网络的总电阻

R’=（1+ [3]）R

则总电流

I=ε/（2+ [3]）R=（2- [3]）ε/R

设第一方格右边电阻上分流电流为总电流I的x倍，则第二方格上方电阻上电流为（1-x）I，第二方格右边电阻上电流应为（1-x）I的x倍，依此类推见图标示。由并联电路电压相等可得

xIR=2（1-x）IR+x（1-x）IR

化简后 x2+2x-2=0

解得 x=-1± [3]

舍去负根，得 x= [3]-1

第n个方格上、下两个电阻上的电流为

（1-x）n-1I=（2- [3]）n-1I=（2- [3]）nε/R

该方格左、右两个电阻上的电流分别为

I左=x（1-x）n-2I=（ [3]-1）（2- [3]）n-1ε/R

I右=x（1-x）n-1I=（ [3]-1）（2- [3]）nε/R

2 面型无限网络

在一个面内从一点向四面八方无限延展的网络叫面型无限网络。

求解面型无限网络要利用对称性原理：即从某点流入网络电流的对称性分布不会因为另一点有电流流出而受影响；另一点流出网络电流的对称性分布也不会因某点有电流流入而被破坏。

问题5：上图是一个由电阻丝构成的平面正方形无限网络的一部分，其中每一小段的阻值都是R，求相邻两个结点A、B之间的等效电阻。

解答这一问题可设电流I从A点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性原理，有I/4电流由A点直接流到B点。假若电流I经过足够长时间稳定后再由四面八方汇集到B点后流出，同样有I/4电流经A点直接流到B点。这样，AB段的电流便由两个I/4叠加而成为I/2，因此

UAB=RI/2

则A、B间的等效电阻

RAB=UAB/I=R/2

问题6：一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，所有六边形每边的电阻均为R。（1）求结点a、b间的电阻。（2）如果有电流I由a点流入网络，由f点流出网络，那么流过de段电阻的电流Ide有多大？（见下图）

对于（1）问设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有I/3电流由a流向c，有I/6电流由c流向b。再设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有I/6电流由a流向c，有I/3电流由c流向b。根据电流叠加原理，得

Iac=I/3+I/6=I/2 Icb=I/6+I/3=I/2

因此，a、b两点间等效电阻

Rab=Uab/I=（IacR+IcbR）/I=R

对于（2）问，当有电流I从a点流入网络，为简单见，可以设

I1=I4=I7=IA

I2=I3=I5=I6=I8=I9=IB

则有 3IA+6IB=I

因为b、d两点关于a点对称，所以

I de=I be=IA/2

同理，假设有电流I从四面八方汇集到f点流出，则有

Ide=IB

根据电流叠加原理，可得

Ide=I de+Ide=IA/2+IB=（3IA+6IB）/6=I/6

（2）问的另一解法：

当有电流I从a点流入网络，根据基尔霍夫定律及对称性原理，流过de段电路的电流I de=I/6-I6

同理，当有电流I从四面八方汇集到f点流出，流过de段电路的电流Ide=I3=I6

根据电流叠加原理，可得Ide=I de+Ide=I/6

由上述例题可见，解决线性无源无限两端网络问题，可运用电流分流思想，找出各电流与总电流的比例关系，再根据电流的叠加原理，即可确定各电流的大小；或者运用网络中任意两点经不同路径电压相等的思想，建立以网络各电阻中电流为未知量的方程组，然后解出各电流的值。还可根据已经解出的各路径的电流值，确定网络中某两点之间的电压，再利用欧姆定律计算出该两点之间的电阻。

作者简介：朱叶（1982-），女，河南郑州人，河南省商业高等专科学校助教。