浅谈线性代数的一些应用实例

【摘 要】给出了线性代数中多个知识点的应用实例，体现学以致用原则，激发学生的学习积极性，提高线性代数的教学效果。

【关键词】MATLAB软件；线性相关；矩阵方程

线性代数无论对于数学专业还是理工科、经济管理学科等各专业的大学生来说，都是非常重要的一门基础课。然而，由于课程的抽象性特点以及学时的限制，学生们对该门课程普遍有畏难情绪，课后学习时间较少。如何激发学生的学习积极性，提高线性代数的教学效果一直是教师们思考的问题。向学生提供线性代数知识在现实生活和其他学科中的简单而重要的应用，体现学以致用原则，无疑是解决问题的非常好的方法。矩阵的运算、向量组的线性相关性、矩阵方程、特征值和特征向量都是线性代数的基本知识，一般教材关于它们的实际应用非常少。下面分别给出它们的一些应用实例。这些实例非常易于被学生们理解。

一、关于矩阵运算的应用

1．数学期望值准则。把各种行动方案看成不同的随机变量，每个方案对应若干种状态，假设它们的概率是已知的，每个方案在各种状态下的效益看成随机变量的取值。数学期望准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。如果决策目标是利润、效益等最大，则采用期望值最大的行动方案；如果决策目标是成本、损失等最小，则采用期望值最小的行动方案。用X表示各行动方案的集合，N表示各具体行动方案所处各种状态的集合，它们的概率写成向量P，效益值写成矩阵A（其中，列向量代表不同的随机变量在各种状态的取值）：N=(N1,・・・,Nn)，P=(P1(N1),・・・,Pn(Nn))，X=(X1,・・・,Xm)，A=(aij)m×n。则数学期望E(X)=(E(X1),・・・,E(Xn))=PA，决策就是确定向量E(X)的最大分量或最小分量所对应的行动方案。

例某投资者要在两种产品间作投资选择：生产领带或旅游鞋。生产领带需投资800万元，生产旅游鞋需投资1000万元。两者的生产年限都是8年，估计在此期间两个方案的产品销售状况出现好、中、差的概率都是0.5、0.3、0.2。生产领带在好、中、差的状况下的年纯利润分别为400万元、300万元、50万元；生产旅游鞋在好、中、差的状况下的年纯利润分别为500万元、400万元、120万元。试按数学期望值准则对这两种方案进行决策。解：P=(0.5,0.3,0.2)，A=■T，X1=产领带，X2=产旅游鞋。令Y=8X－Y0，这里Y0=(800,1000)，则EY=8(EX)－Y0=8PA－Y0=(1600,2152)，因此应采取生产旅游鞋方案。

2．矩阵乘幂的应用。例某高校所在地本地学生度周末有回家和在校两种选择。统计数据显示，本周末回家的学生，下周末回家的几率为2/5，本周末在校的学生下周末在校的几率是1/5。已知第一周末有30%本地学生回家。求第五周末本地学生回家的比率。解：令P=■，A=■，则A4P=■■■=■，这说明第五周末本地学生回家的比率为56.45%。

二、向量组的线性相关性的应用

MATLAB环境下使用命令rref(A)可以求得矩阵A的行最简形矩阵，进而可以判断矩阵A的列向量组是否线性相关，并找出列向量组的最大无关组。而且可用该最大线性无关组来表示向量组中的其余向量。例混凝土由五种主要的原料组成：水泥、水、砂、石和灰，不同的成分影响混凝土的不同特性。例如，水与水泥的比例影响混凝土的最终强度，砂与石的比例影响混凝土的易加工性，灰与水泥的比例影响混凝土的耐久性等。所以不同用途的混凝土需要不同的原料配比。比如一个混凝土生产企业的设备只能生产存储三种基本类型的混凝土，即超强型、通用型和长寿型。它们的配方如下：超强型A含水泥、水、砂、石、灰分别为20、10、20、10、0；通用型B含水泥、水、砂、石、灰分别为18、10、25、5、2；长寿型C含水泥、水、砂、石、灰分别为12、10、15、15、8。于是每一种基本类型混凝土就可以用一个五维的列向量来表示，生产企业希望，客户所订购的其他混凝土都由这三种基本类型按一定比例混合而成。（1）假如某客户要求的混凝土的五种成分为16，10，21，9，4，试问A，B，C三种类型应各占多少比例？如果客户总共需要200kg混凝土，三种类型各要多少？（2）如果客户要求的成分为30，57，69，7，80，它能用A，B，C三种类型配成吗？分析：问题（1）的实质就是计算向量由向量组线性表示的表示系数。问题（2）的实质就是判断向量能否由向量组线性表示。又如一个每顿饮食限量的糖尿病人吃三种食品，医生嘱咐每天进食一定比例的微量元素。而每种食品所含微量元素的比例固定。考虑每天吃每种食品多少。

三、关于矩阵方程的应用

1．电路中的应用。所有稳态线性电路的问题，都可以通过基尔霍夫定理列出方程组，这些联立的线性方程组必定可以用矩阵模型来表达，因此它们的求解就归结为线性代数问题。直流稳态电路归结为实系数矩阵方程。用MATLAB软件可以方便地求出数值解。

2．测量学中的应用。这里介绍用坐标测量仪测定圆球形工件。例精密三坐标测量仪可以测量物体表面上任何一点的三维坐标，根据一些点的坐标就能推算出物体的其他特征。例如，为了测量一个球体的半径，要在空间直角坐标系内测量其圆面上n个点的坐标(xi,yi,zi)，i=1,・・・,n。然后拟合出最小二乘球体的半径。设球面方程(x－c1)2+(x－c2)2+(z－c3)2=r2，即2xc1+2yc2+2zc3+c4=x2+y2+z2。式中，c4=r2－c12－c22－c32，因而r=■，求出c1,c2,c3,c4 即可得r。用n(n≥5)个测量点坐标(xi,yi,zi)代入，得到■■=■，即AC=B。这是一个关于四个未知数c1,c2,c3,c4的4元线性方程组，该方程组由矩阵方程给出，所以是一个超定问题。用MATLAB软件求出最小二乘解c1,c2,c3,c4就可得到球的半径。例军队为了保密，经常更改密码。今约定以2×5矩阵每列数字的和模4的余数排成的5个数作为更改后的密码。为了保证密码在传输过程中不被敌方窃取，做了加密。即把所要传送密码的2×5矩阵A左乘一个固定的2阶可逆阵X后得到的2×5矩阵B传给对方。比如矩阵A=■ 所代表的密码为32212。对方得到矩阵B后再解密成A=X-1B。从而得到密码32212。

四、关于特征值、特征向量的应用实例

1．单循环比赛的名次问题。所谓单循环比赛，是指所有参加比赛的队每两个队恰好比赛一次，最后按各队在全部比赛中的积分排列名次。如果参赛球队不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法。例设有m支球队参加单循环比赛，各队两两交锋，只记胜负，每队胜一局得一分，负一局得零分，且不容许平局，问怎样在比赛结束后根据他们的比赛结果排列名次？定义比赛结果的邻接矩阵A=(aij)m×n如下：当第i队胜第j队时，令aij=1，其它时，令aij=0。记eT=(1,1,・・・,1)，则Ae表示了各队的得分向量，若各队得分不同，自然可以得分大小排列名次，若有得分相同的情形发生，则可考虑各队的2次得分：A2e=A(Ae)，即将每队战胜的各支球队的得分累加作为自己的2次得分，然后以各队的2次得分排列名次，若仍有得分相同的情形发生，则可考虑各队的3次得分：A3e=A(A2e)，这个过程可以一直进行下去，将各次得分向量归一化，得一向量序列Bn=Ane/eTAne。有下面的结论。

结论：邻接矩阵的最大特征值λ是正单根，且当n∞时，向量序列Bn=Ane/eTAne的极限向量B存在，它正好是λ对应的特征向量归一化向量。因而以它的分量的大小作为各队排名的依据是合理的。

2．利用特征值、特征向量来简化矩阵的高次幂与向量乘积的运算。接“某高校所在地本地学生度周末有回家和在校两种选择”此例，求第十五周末本地学生回家的比率。解：先求出矩阵P的特征值1和-2/5以及它们所对应的特征向量(4,3)T和(1,-1)T。于是P=-(1.9/7)(1，-1)T+(1/7)(4.3)T。故A14P=-(1.9/7)×(-2/5)14(-1，-1)T+1/7(4.3)T。这说明第十五周末本地学生回家的比率为57.14%。

参 考 文 献

[1]陈怀琛，龚杰民．线性代数实践及MATLAB入门[M]．北京：电子工业出版社，2005

[2]李尚志．线性代数精彩应用案例[J]．大学数学．2006．22（3）：1～8