线性规划范文

线性规划篇1

1 线性规划与函数交汇

例1 （2014年山东理）已知x，y满足约束条件x-y-1≤0，

2x-y-3≥0，当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为（ ）.

A.5 B.4 C.5 D.2

答案 B.

解析 画出可行域（如图1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by经过直线2x-y-3=0与直线x-y-1=0的交点A（2，1）时，z取最小值25.将A（2，1）代入目标函数，得2a+b=25，以下用两种方法求a2+b2的最小值：

图1

方法1 （转化为二次函数求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），当a=455时，a2+b2的最小值是4.

方法2 （利用几何意义）转化为求直线2a+b=25上的点到原点距离平方的最小值，即原点到直线2a+b=25的距离的平方，利用点到直线的距离公式即得.

考点 将简单的线性规划与非线性目标函数的最值相结合，考查简单线性规划的应用，二次函数的图像与性质，点到直线距离的几何意义.对于解决非线性目标函数最值问题的关键在于深挖目标函数的几何意义，利用数形结合思想求出最值.

拓展探究 若实数x，y 满足不等式组

y≤x-1，

x≤3，x+5y≥4，则x2y 的最小值是（ ）.

2 线性规划与全称、存在量词结合

例2 （2014年全国课标1）不等式组

x+y≥1，

x-2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：

p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，

p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，

p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，

p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.

其中真命题是（ ）.

A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3

答案 C.

图2

解析 画出可行域（如图2），将四个命题依次代入检验，对于命题p1，可行域内的点恒在直线x+2y=-2的上方，即对所有可行域内的点都满足不等式x+2y≥-2（图3）;

图3 图4

同理对命题p2，可行域内存在点在直线x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（图4）.

其他两个命题经检验不合适.

考点 考查不等式（组）表示的平面区域，全称、存在量词的含义.

3 线性规划与“不等式恒成立”问题融合

例3 （2014年浙江）当实数x，y满足

x+2y-4≤0，

x-y-1≤0，

x≥1，时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 .

答案 1，32.

解析 画出可行域，欲使不等式组1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域内的点恒在两条平行线之间，两条平行线斜率为-a，分别恒过（0，1），（0，4）点，如图5、图6可得a的取值范围.

图5

图6

考点 本题将线性规划与不等式恒成立问题相结合，本质是动态可行域问题，所谓动态的可行域，即在约束条件中含有使可行域发生变化的参数.对于动态的可行域问题，要注意切入的角度、方向，抓住一些不变的量，变动为静，向熟悉的、已有的知识转化，从而化解问题.本题两条平行线斜率含有参变量a，不变的量是两条平行线所过的定点，切入点是直线所过的定点.

拓展探究 （2014年湖南）若变量x，y满足约束条件y≤x，

x+y≤4，

y≥k，且z=2x+y的最小值为-6，则k= .

4 线性规划与概率融汇

例4 （2014年湖北）由不等式

x≤0，

y≥0，

y-x-2≤0，确定的平面区域记为Ω1，不等式x+y≤1，

x+y≥-2，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）.

A.18 B.14 C.34 D.78

答案 D.

图7

解析 依题意，不等式组表示的平面区域（如图7），

由几何公式知，该点落在Ω2内的概率为P=

12×2×2-12×1×1212×2×2=78，选D.

考点 本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，属于中档题.

拓展探究 （2014年重庆）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30―7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.（用数字答）

2014年线性规划高考题多以客观题形式考查，小巧玲珑，韵味十足.综合课标卷，各省市自主命题卷，都在创新上不遗余力，在能力立意的基础上，大胆的深化，为题目的命制提供新颖的背景，巧妙的条件，深度的设问.因此对于线性规划的高考复习要拓宽思路，改变程序化，特别注重线性规划与其他知识模块之间的综合.在牢固掌握基础知识和基本思想方法的同时，注重横向联系，善于挖掘其中的几何背景，抓住问题的实质，并通过一定的训练，切实提高学生的综合应用能力.

线性规划篇2

关键词：线性规划；几何向量；交汇题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）21-263-03

纵观近些年的高考题，细细品味发现：重视在“知识的交汇处命题”是高考数学命题的一大特点，因为知识的交汇处既体现了知识的内在联系，又能更好考查学生的数学综合能力。本人结合自己的教学体会和2011年江西省各地模拟试题及全国各省高考题，对其中的线性规划题作一简单归纳。

1、线性规划与解析几何交汇

例1：（江西省南昌市2011届高三第三次联考）已知x，y满足不等式组 ，则 的最小值为（ ）

A. B. 2 C. 3 D.

分析与简解：

欲求最小值的式子可化为 ，即表示区域内动点（x，y）与定点（-1，1）的距离的平方，故画出线性约束条件下不等式组所表示的平面区域，如上图，易知问题可转化为求点（-1，1）到直线y=x的距离的平方，易算得2，故选B。

归纳：线性规划能很好地把数与形结合起来，故它与解析几何交汇很自然，此类题首先要准确画出不等式组表示的平面区域，即完成由数到形的转化，然后根据式子的几何意义，直观观察求得相关结论。

（1）（江西省吉安市2011年高三期末联考卷）若点P在区域 内，则点P到直线 距离的最大值为______

（2）（江西省上饶市重点中学2011届高三联考）设 ，若实数x，y满足条件 ，则 的最大值是_______。

（3）（江西省2011届高三九校联考）设x，y满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）

A. B.

C. （ ） D.

2.线性规划与函数，方程交汇

例2：（江西省八所重点中学2011年高三联考）已知函数f（x）的定义域为 ，且f（6）=2，f/（x）为f（x）的导函数，f/（x）的图象如上图所示，若正数a，b满足f（2a+b）

A. B.

C. D.

分析与简解：

由导函数图象知， ，f（x）递增，故由f 可知： ，作出可行域ABO内部，如上图所示，易知 表示区域内点（a，b）与定点P（2，-3）连线的斜率，易求得 ，故选A。

例3：（江西省新余一中2011届高三六模）已知函数 的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则 取值范围是__________.

分析与简解：

依题意函数的三个零点即方程 的三根，且 ，故方程可等价为 有两不等根，一根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，即 ，作出可行域，易求得直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点A为（-2，1），故可求得 ，故 的范围应为 .

3.线性规划与概率交汇

例4：（江西赣州市2011年高三摸底考试）在平面xOy内，向图形 内投点，则点落在由不等式组 所确定的平面区域的概率为________.

分析与简解：

记事件A为点落在由不等组确定的区域内，作出该区域，如上图所示，易求得其面积为 ，另外试验的全部结果所构成的区域面积应为圆 的面积，应求得为4π，故 .

归纳：涉及到几何概型中的面积比常用到平面区域面积。又如

（1）（江西省九江市2011届高三七校联考）已知点P（x，y）在约束条件 所围成的平面区域上，则点P（x，y）满足不等式 的概率是________.

（2）（江西省吉安市2011届高三一模）已知函数 ，实数a，b满足 ，则函数 在[1，2]上为减函数的概率是（ ）

A B C D

4.线性规划与向量交汇

例5：（2011福建理科）已知O是坐标原点，点A（—1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则 的取值范围是（ ）

A.[-1，0] B.[0，1]

C.[0，2] D.[-1，2]

分析与简解：

准确做出不等式组所表示的平面区域，如上图所示阴影区域：

由 表示 在 方向上的投影与 的模的积，观察易得点M分别在点B，D处使 取得最小值0，最大值2，故选C.

在2011年高考及各地模拟卷中，向量与线性规划交汇的题还有：

（1）（2011广东理）已知平面直角坐标系xOy上的区域D，由不等式组 给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为 ，则 的最大值为（ ）

A.3 B.4 C. D.

（2）（江西省重点中学协作体2011届高三第二次联考）已知点P（x，y）满足条件 ，点A（2，1），则 的最大值为（ ）

A. B. C . D. 2

线性规划篇3

1、线性规划（Linear programming,简称LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。

2、线性规划是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

（来源：文章屋网 ）

线性规划篇4

关键词：线性规划问题；计算机求解；Matlab；Lingo；Excel

中图分类号：TP301文献标识码：A文章编号：16727800（2012）009002502

0引言

线性规划问题是运筹学的一个重要的分支。对于有两个决策变量的线性规划问题，可采用图解法进行求解，较为简单。当决策变量为3个及以上，手工求解线性规划问题时，需要采用单纯形法。

下面给出某线性规划问题方程：

该线性规划问题若采用单纯形法手工求解，计算量大且容易出错。随着计算机技术快速发展及普遍使用，采用计算机来求解线性规划问题，可以大大减少计算量，快速准确地得到问题的解。本文以该线性规划问题为例，分别给出Matalab、Lingo、Excel求解线性规划问题的方法。

2线性规划问题的MATALAB求解

线性规划问题的数学描述为：

记号s.t.是英文subject to的缩写，表示满足后面的关系。约束条件还可以进一步细化为等式约束Aeq=Beq，线性不等式约束AX≤B，x变量的上界向量xmax和下界xmin，使得xmin≤x≤xmax。

在Matlab最优化工具箱中提供了求解线性规划问题的Linprog函数，该函数的调用格式为：

3用LINDO/LINGO求线性规划问题

Lindo和Lingo是美国Lindo系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包。Lindo（Linear Interactive and Discrete Optimizer），即交互式的线性和离散优化求解器。主要用于解线性规划、二次规划。Lingo（Linear Interactive and General Optimizer）即“交互式的线性和通用优化求解器”，可以用于求解线性规划、整数规划（包括0-1整数规划）。Lingo除了具有Lindo的全部功能外，还可以用于求解非线性规划，它不仅方便灵活，而且执行速度非常快。

一般使用Lingo求解运筹学问题可以按照以下两个步骤来完成：①根据实际问题建立数学模型；②根据该数学模型，利用Lingo来求解模型。根据Lingo软件，将数学模型转译为计算机语言，借助计算机来进行求解。

首先，应用Lingo来求解式（1）所示的线性规划模型，只需要在Lingo窗口中输入以下信息即可：

然后，按运行按钮，得到模型最优解，X=（0，1，0，5）T，maxz=17。

在利用Lingo求解线性规划时，如自变量都为非负的话，在Lingo中输入的信息和模型基本相同；如自变量为自由变量，可以使用函数 @free来把系统默认的非负变量定义为自由变量。

4用EXCEL求线性规划问题

利用单纯形法手工计算线性规划问题是很麻烦的。可以利用Office软件中的Excel工作表来求解线性规划问题。用Excel工作表求解线性规划问题，首先需要设计一个工作表，然后将线性规划问题中的有关数据填入该表中。可按下列步骤来设计所需的工作：

（1）确定目标函数系数存放单元格，并将目标函数系数输入到这些单元格中。

（2）确定决策变量存放单元格，并任意输入一组数据（决策变量输入为4个1）。

（3）确定约束条件中左端项系数（ZDX）存放单元格，并输入ZDX。

（4）在约束条件左端项系数（ZDX）存放单元格右边的单元格中输入约束条件左端项的计算公式，计算出约束条件左端项对应于目前决策变量的函数值。

（5）在步骤（4）的数据右边输入约束条件中右端项（即常数项，用B表示）。

（6）确定目标函数值存放单元格，在该单元格中输入目标函数值的计算公式。

如式（1）所示的线性规划问题，按照上述步骤建立线性规划问题的Excel表。

Excel表中：F＼-4=B＼-4*B＼-2+C＼-4*C＼-2+D＼-4*D＼-2+E＼-4*E＼-2；F＼-5=B＼-5*B＼-2+C＼-5*C＼-2+D＼-5*D＼-2+E＼-5*E＼-2；F＼-6=B＼-6*B＼-2+C＼-6*C＼-2+D＼-6*D＼-2+E＼-6*E＼-2；C＼-7= B＼-2*B＼-1+C＼-2*C＼-1+ D＼-2*D＼-1+E＼-2*E＼-1。

建立了Excel工作表后，就可以利用其中的规划求解功能求解相应的线性规划问题了。求解步骤如下：

（1）单击“工具”菜单中的“规划求解”命令。如果没有“规划求解”命令，可通过“加载宏”来添加规划求解功能。

（2）弹出“规划求解参数”对话框，在其中输入参数。置目标单元格文本框中输入目标单元格；“等于”框架中选中“最大值/最小值”单选按钮。

（3）设置可变单元格区域，按Ctrl键，用鼠标进行选取，或在每选一个连续区域后，在其后输入逗号“，”。

（4）单击“约束”框架中的“添加”按钮。

（5）在弹出的“添加约束”对话框中输入约束条件。

（6）单击“添加”按钮、完成一个约束条件的添加。重复步骤（5），直到添加完所有条件。

（7）单击“确定”按钮，返回到“规划求解参数”对话框，完成条件输入的“规划求解参数”对话框。

（8）点击“求解器参数”窗口右边的“选项”按钮。确信选择了“采用线性模型”旁边的选择框。如果变量全部非负，而“假定变量非负”旁边的选择框没有被选择，那么请选择后点击“确定”。

（9）单击“求解”按钮，弹出“规划求解结果”对话柜，同时求解结果显示在工作表中。

（10）若结果符合要求，单击“确定”按钮，完成操作；若结果不符要求，单击“取消”按钮，在工作表中修改单元格初值后重新运行规划求解过程。

从计算结果可以看出，最优解为：X=（0，1，0，5）T，maxz=17。这与MATALAB和在LINGO中计算的值是一致的。

5结语

本文研究了线性规划问题的计算机求解方法，对同一个线性规划问题，用Matalab、Lingo以及在Excel分别对其进行求解。实验表明，3种方法求解的结果是一致的、正确的。通常简单的线性规划问题可以用Excel求解，复杂的问题用Matalab，Lingo求解。

针对线性规划问题，还有其它计算机求解方法，如可以编写C语言程序来实现计算，或采用提供线性规划问题求解功能的计算机软件求解，如WinQSB、SPSS、LstOpt等。

参考文献：

[1]游文霞，苏良虎，郭贵莲，等.基于单纯形法的线性规划软件设计与实现[J].三峡大学学报：自然科学版，2010（1）.

[2]郭志军.线性规划模型的建立及Mathematica求解[J].长沙大学学报，2010（5）.

[3]李天林.基于线性规划模型的Excel规划求解法的一个应用[J].连云港职业技术学院学报，2009（4）

[4]孙爱萍，王瑞梅.如何利用EXCEL求解线性规划问题及其灵敏度分析[J].办公自动化杂志，2009（11）.

线性规划篇5

一、线性规划在工商管理中应用的范围

企业要想取得更好的收益，就要优化资源的配置，既而也就是依赖于线性规划模型的优化，优化的范围越大其效果也就越好。首先，线性规划可以作用于生产计划确定后的优化，主要的内容有：在一定的资金和风险的条件下，确定其最佳的库存量，保障其生产的连续性和使用的资金达到最小化；在生产的条件、能力以及设备的限制下，取得其产品的最大利益化；在运输分配的计划中，计算出人员、数量以及路径的最小的费用和最佳的效率；在其原材料具有混合比例的限制下，求的其成本、价格的最低，利益的最大化；在各种不同的投资问题上，一定的总资金，利率和收受其不同的项目之间，正确的投放使用，使其经济的效益最大化。其次，线性规划支持着企业未来的决策，企业的管理者应该分析未来经济的走势、未来消费的趋势并且能够预测未来同行的产销的动向，然后确定出自身产品的价格、促销的策略以及相关产品的广告，进而经这些有关的数据进行线性的规划，求解其随机线性规划的问题。

二、运用线性规划方法进行工商管理应注意的问题

1．设定最优解中非零变量个数和约束条件的个数。在实际的运用中，线性规划都是在一定的约束条件下进行的。线性规划模型所得到的最优解中非零变化的数目N不会超过模型的约束条件数目M，如果我们采用线性规划方法进行建模，根据所给的条件也只能得到M个约束的方程，那么，这样建立的模型的最优解如果是存在的，那么最多也就只能有M各非零分量。如果在实际的应用当中，忽略了这个结论，而将由模型求得的最优解不进行分析就投入实际的应用中，就会给企业带来很严重的后果。

2．目标函数中的价值系数。在实际工商管理的线性规划问题中，利润系数向量和成本系数向量与价格之间是有一定的联系的，线性规划的实质目标就是一种货币型式所表现的价值目标。在一个合理的价格体系当中，价格一般是可以代表商品的价值的，但是在有的情况下，价格又不能够准确的体现出商品的价值，不同的人对于商品的价值的定义也是不同的。另外，有些的服务工作是不经过买卖的，因此也就不存在市场的价格问题。值得注意的是，这些价格的不确定性，绝不意味着这些服务所用的产品在目标函数中的价值系数是零，我们在确定目标函数的利润系数或者是成本系数所实际到的价格时，在实际的价格基础之上应该适当的进行其调整，这样模型所得到的最优的计划才是具有实际的意义的。

3．线性规划模型的静态性。当我们应用线性规划的方法对于某个地区的发展进行规划时，其模型是具有静态性的，但是这只是近似的。严格的来说，模型之中所涉及到的价格并不是非常熟，这就表明线性规划的模型是静态性是近似的，所以在实际的应用当中，考虑问题的误差的大小以及规划问题的界限是非常必要的。在企业的技术、设备、资金等其他的条件不变的情况下，合理的安排人力、物力以及资金，合理的组织生产的经营，统筹的规划，取得最佳的经济效益，是线性规划技术在工商管理当中发挥作用的重要的原因。

三、线性规划方法在工商管理中的应用

在工商管理当中，企业的生产计划的分析是符合线性规划模式的条件的，所以可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。首先要明确目标函数，生产计划的经济分析是一种定量的分析方法，它是以企业的利润作为评价的标准，所要追求是目的就是企业利润的最大化的生产计划的决策，所以，企业利润的最大化就是生产决策分析的目标函数。其次要明确约束的条件，企业的生产能力、设备的使用、原材料等诸多的因素与生产计划分析是密切相关的，也称其为生产分析中目标函数的约束条件，约束条件对于生产计划的分析影响比较大，在不同的条件下，决策分析的结论是有所不同的。还要明确单件利润，单件产品的利润不仅决定了单件的收入，也决定了生产过程中的各项的制作费用。生产计划决策分析的最基本的方法就是利润的最大化，明确其位置的变量，确立约束的条件，建立线性规划的模型，实现生产计划的最大的效益化。

四、结语

随着市场经济的不断的发展，市场的需求量在不断的变化当中，其生产量也随之变化，用传统手工的方法确定生产的数量已经不能满足市场经济的需求。线性规划的方法可以很大程度上满足现今企业生产计划的管理，线性规划在生产计划中的实际应用，为其生产计划的方案提供了科学的方法，可以简化企业生产的调度，优化企业的生产，使企业的经济效益得到提高。

线性规划篇6

线性规划，是指在现有的人力、物力、财力等资源条件限制下，通过合理的调配和有效使用，以达到最优目标的一种数学方法。企业的效益依赖于资源配置的优化，即依赖于线性规划模型的优化，优化的范围越大，其优化效果也就越好。首先，线性规划可以用于生产计划确定后的优化，主要内容包括：

（1）合理利用材料问题：在保证生产正常进行的条件下，以最少的材料达到最大的使用效果。

（2）配料问题：在原料供应的数量限制下，如何搭配才能获得最大收益。

（3）投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使有限的投资得到最大的回报。

（4）产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。

（5）劳动力安排：用最少的劳动力满足工作的需要。

（6）运输问题：对产品的调运方案进行细致制定，减少运费。其次，线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势，分析未来的消费趋势，并预测同行的产销动向，根据分析结果，确定自身企业的产品价格和促销策略，然后将这些数据进行线性规划，得出企业发展的最佳路线。

工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件，因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是，应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析，首先必须满足几点要求：

（1）明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，以企业利润作为评价目标值，其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策，因此，企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。

（2）明确约束条件。企业的生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的，这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大，不同约束条件下，决策分析的结论也会有很大区别。比如，就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种：第一，能力不足状态，企业的生产能力无法满足市场需求；第二，能力过剩状态，即企业生产能力超过市场需求，产品出现剩余；第三，中间状态，即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的，在三种状态之间不断变换。

（3）明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入，还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述，生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标，明确未知变量，确定约束条件，然后建立线性规划模型，最终实现效益最大化的生产计划。

二、应注意的问题

（1）设定约束条件和变量的个数。约束条件在线性规划中是必不可少的，需要特别注意的是最优解中非零变量的数目不能超过模型约束条件的数目，如果忽视这一点而将由模型得出的最优解付诸实施，就会带来不良的后果。

（2）线性规划模型的静态性。运用线性规划的理论和方法进行工商管理时，其模型具有静态性，但也只是近似，严格来说，模型中涉及到的价格并不是常数。这说明线性规划模型的静态性是近似的，因此，在实际应用中，考虑到问题误差的大小，对问题的界限进行划分是十分必要的。

线性规划篇7

【正文】

评注 由这道题看出，我们可以构造一类函数与线性规划的交汇题——以根的分布为题设的线性规划问题.本题的特征是已知含有两个参数的三次函数极值点范围，求关于这两个参数的线性目标函数的值域.由于三次函数的导函数为二次函数，已知三次函数极值点的范围，亦即给出了二次导函数根的分布区间，于是便可得到参数的线性约束条件，从而构造出线性规划问题.

由于高考强调“以能力立意”，因此，我们看到的高考题往往是这类问题的拓展与改造，如将线性规划问题改为非线性规划问题，或由函数问题引出一元二次方程根的分布特征.现结合近两年的高考题、模拟题谈谈以一元二次方程根的分布为题设的线性规划问题的常见变式及其解法.

变式1 由函数问题导出根的分布特征的线性规划问题.

2007年高考全国卷 = 2 \* roman ii（文）第22题就是这类题型.

变式2 以根的分布为题设的非线性规划问题.

例1 （2006年北京西城区抽样测试，理）已知方程 的两根为 ， ，并且 ，则 的取值范围是（ ）

解 设 ，则有：

表示图2中阴影区域内的点与点(0,0)连线的斜率.

不难得到 .

故选d.

点评 这是一道由一元二次方程根的分布得出线性约束条件后的非线性目标函数值域问题.高中常见的线性约束条件下的非线性目标函数值域问题有斜率型（如例1、例3）、距离型（如例2）.

变式3 由函数问题导出根的分布特征的非线性规划问题.

例2 （2007年北京西城区一模，理）已知函数 且 .若实数 、 使得 有实根，则 的最小值为（ ）

a. b. c. 1 d. 2

解 令 ， 则 .

依题意有： 或 ，

即 或 .

表示图3中阴影区域内的点到原点(0,0)的距离.

原点到

的距离均为 ，

的最小值为 ， 故选a.

点评 本题将题设变量代换后方显根的分布特征.另外，本题中得到的可行域是两不等式表示区域的并集，而不是交集.这与不等式组形式的线性约束条件是不一样的.

例3 （2006年深圳第一次调研，理）已知 、 是三次函数 的两个极值点，且 ，则 的取值范围是（ ）

解 . 依题意有：

即

表示图4中阴影区域内的点到点（1，2）的斜率.

不难求得 ，故选a.

线性规划篇8

[关键词] 数学模型 初等变换 检验数 最优解

运筹学发展历史不长，但内容丰富，涉及面广，应用范围大，形成了相当庞大的学科。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效益是人们不可缺少的要求，建立数学模型运用矩阵求规划问题的最优解尤为重要。

一、线性规划问题

1.线性规划问题的数学模型的一般形式：

设有n个变量，满足

s称为目标函数,式(1)称为约束条件.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，使S取最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。

2.线性规划问题的标准形式

只要引入新的非负变量（称为松弛变量），不妨设不等式组中每一个不等式加一个松弛变量后变为等式，这样就可以使不等式组(1)变为线性方程组，作为线性规划问题的标准形式。即

满足（2）的解成为线性规划的最优解，相应的s值称为该问题的最优值。

二、运用矩阵解线性规划最优解

矩阵在经济分析中有着广泛的应用，可以利用矩阵的理论和方法，对标准形式中线性方程组的增广矩阵作一系列的行初等变换，根据检验数的值可判定基变量为多少时，规划问题有最优解及最优值，最优解及最优值是多少，从而解决线性规划最优解问题。

在方程（2）中若S把视为一个变量，写为

方程（3）是一个n+m+1个未知量，m+1个方程的线性方程组，解法如下

[第一步]

记方程（3）的增广矩阵为

矩阵L中的最后一行的数称为检验数，从S=0做起。

[第二步]

当所有检验数为非负数时，转入第三步。当检验数有负数时，转入第五步。

[第三步]

最小比值原则：用矩阵L中的第一列前m行大于0的元素除同行对应的最后一列的元素，即。取比值最小者，记为。此时称为主元，所在的行称为主元行，所在的列称为主元列。(若第一列的前m个元素没有正数，就试第二列，依次类推)

对矩阵作初等行变换，将主元变为1，所在列的其他元素变为0；重复类似的变换运算，依次继续作若干次得到矩阵,在中必有m行m列的元素构成一个m阶单位矩阵，不妨设的前m行m列是m阶单位矩阵，于是，矩阵为

[第四步]

①的单位矩阵所在的列的检验数都为0，而其余检验数非负时，则所求的最优值为

(中最后一行最后一列的元素数值)

矩阵中单位矩阵所在各行的最后一列元素，为所求相应变量（称为基变量）的值，其他变量取值均为0（称为非基变量）这样得到的解为所求的最优解。

②的检验数有负数时，转入第五步。

[第五步]

所有检验数为负数时，取其绝对值最大者所在的列为主元列，返回第三步作行初等变换，从而求出最优解及最优值。

三、解决经济中的实际问题

例如 为制造两种类型的产品，仓库最多提供80的钢材，已知每制造一件Ⅰ型产品需要耗钢2kg，最少需生产10件，而每件售价50元；每制造一件Ⅱ型产品需要耗钢1kg，最少需生产40件，而每件售价30元。试选择最优生产方案，以获最大收入?

设生产Ⅰ型产品件，生产型产品件，获得的收入为R

则此规划问题的一般形式为

引入非负的松弛变量，标准形式为

对应的方程组

方程组的增广矩阵为

末行检验数中有两个负数，绝对值最大者为-50，取-50所在的列为主元列，用最小比值原则，第二行为主元行，为主元。进行行初等变换得：

检验数中仍有负数，同样，-50所在第四列为主元列，按最小比值原则，取为主元。进行行初等变换得：

仍有负检验数-5，同样的方法取为主元。进行行初等变换得：

以上矩阵前三行的第1，2，4列构成一个3阶单位矩阵，其所在的列的检验数为0，其余检验数均非负，所以，为基变量，为非基变量，得到

最优解为:件，件，件，件，件

最优值为：（元）

故当件，件时，获得最大收入为件，件。

在线性规划的实际问题中，主要研究解决两种类型的问题：一是给定一定数量的人力、物力和财力资源，怎样运用这些资源使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．随着计算机的逐渐普及，它越来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事行动和科学研究的各个方面，为社会节省的财富、创造的价值无法估量。