时间：2023-10-19 21:13:50
1、E一般是指单位矩阵。单位矩阵：对角线都为1,其它元素都是0的方阵。它的性质就是左乘右乘任何别的矩阵都等于原本想乘的矩阵。
2、线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
（来源：文章屋网 ）
关键词 线性代数；高效课堂教学；教学策略
中图分类号：G642.4 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2013）03-0110-02
Efficient Teaching Searching of Linear Algebra//Zhang Limei， Xu Meichun
Abstract For the problems of abstract contents， strong logic， difficult understanding and applying of Linear Algebra， the paper gives some methods of implementing high efficiency of teaching that improving interests of teaching and strength the system of knowledge， so that getting high teaching efficiency.
Key words linear algebra； high class efficiency； teaching strategy
1 前言
随着科学技术数学化和计算机的广泛应用，线性代数在现代科技发展中起着越来越重要的作用，尤其在计算机、通讯、电力、经济、生物、控制系统及管理科学等领域有着广泛应用。对大学生来说，线性代数是高等院校理工科专业及部分文科专业的数学基础课，它不但是学好后续课程的基础，而且是将来从事实际工作的重要数学工具。然而，如此重要的一门课程，在实际教学中却存在以下问题：
1）由于该课程概念、性质、定理多而抽象，逻辑性强，加之大量复杂的数学符号[1]，致使学生的学习存在困难；
2）该课程内容多，课时少，致使多数教师只忙于理论知识的讲授，而忽略了线性代数其广泛的应用性，学生感到乏味无趣，更是难以学以致用。
针对以上问题，在实际教学中势必要求教师要高效地教，学生要高效地学，实施高效课堂教学。为此，笔者认为应从以下几方面进行探索。
2 提高课堂教学的趣味性，使学生喜欢线性代数
2.1 将晦涩难懂的理论与形象生动的实际问题相结合
学有所用是激发学生学好一门课程的关键。然而线性代数的内容大多较抽象，学生往往感觉看不见、摸不着、枯燥乏味，更难以体会到学以致用的乐趣。
事实上，线性代数并非那么深不可测，其应用性渗透到了生产、生活中的众多领域。如奥运场馆鸟巢的受力分析、构造一份减肥食谱等，均会用到线性代数的知识。因而，教师可以将生活中的实例贯穿到课堂教学中去。比如教学中若干抽象概念的引入可以利用这些浅显易懂的实际问题，其相关理论知识也可进一步从实例中建立起来，并可引导学生利用这些理论为实际问题构建模型等。比如，线性方程组概念的引入、相关理论及求解方法可以通过一个国民经济部门的投入产出分析实例来展现。先编制棋盘式的投入产出表，然后建立相应的线性方程组，再利用系数矩阵将其解出。整个问题的解决离不开线性方程组（从概念到求解），让学生一目了然，看得见，摸得着，亲身体会到这些知识的重要性及使用价值。
再比如，“矩阵”是线性代数中贯穿始终的一个重要概念，可以借助于形象的图像来引入。在图像处理中，一张图像如人脸在计算机中通常用矩阵来表示，而图像处理的若干方法也涉及到矩阵的运算[2]，如两张图像的叠加可以通过矩阵的加法得到。如图1中的图像0.5lcu+0.5logo是由图像lcu与图像logo所对应的矩阵相加得到的，在教学中可以使用多媒体形象生动地展示给学生。这样学生不但加深了对知识的理解，知道了它们是“从哪里来”以及“到哪里去”，而且真正地做到了活学活用。
值得注意的是，在选用实际问题时，要考虑到学生的接受能力，不同专业、不同基础的学生应选用不同实例，实例要浅显易懂，以提高他们的学习热情，使他们充分体会到学以致用的乐趣。
2.2 将传统教学方式与现代化的教学方法相结合
线性代数内容多，课时少，为授完课程，多数教师采用传统的讲授式教学，这种一成不变的教学方式缺乏创新，难以调动学生的学习热情和积极性；而且容易助长学生的惰性，使学生习惯于被动地接收，懒于思考问题，严重影响了教学质量。
兴趣是最好的老师，也是促使学生学习的动力。新颖的教学方法能够强烈刺激学生的好奇心和新鲜感，提高学生的学习兴趣。因而，在线性代数的实际教学中应敢于使用不同的教学方式，激发学生兴趣。比如在讲授“矩阵乘法”时可以采用探讨式教学方法。先不给出矩阵相乘的概念，而是让学生自己定义两矩阵相乘的计算方式（若课堂时间不够，可以以课外作业的形式），然后再阐明与教材中的定义方式的不同，这样自然会加深学生对这一重要运算的理解，同时开阔了学生的思维方式。
另外，也可采用研究式教学，讲述知识的原始发现过程，激发学生的创新欲望等。如引入行列式概念时，首先用消元法求解二元、三元方程组，然后分析解表达式中系数与常数项的关系，从而看出需要定义一个新的概念来简化这种解表达式。这样自然地定义出了二阶、三阶行列式。从而使学生充分体会到数学概念并非是凭空产生的，而且其产生过程往往也是漫长的、艰涩的。
当然为提高课堂趣味性，除了以上介绍的方式，在实际教学中还可以插入一些与该课程有关的，同时能启发学生思考，拓展学生视野的元素来调节课堂气氛，调动学生热情。总之，要寓教于乐、寓教于新、寓教于促进学生的学习兴趣。
3 注重知识的系统性，让学生“会学”线性代数
3.1 沟通各知识点之间的联系，一通百通
线性代数的主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量与向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型等，教材的安排通常是各部分内容相对独立，缺乏连贯性。学生学习时，难以将前后内容连贯起来，知识体系混乱，增加了学习难度。
为此，在实际教学时，教师要帮助学生在头脑中形成脉络清晰的知识体系，必要时可以改变教材内容的讲授顺序。事实上，线性代数的各部分内容均可以矩阵为主线，将其联系起来。矩阵概念相对容易理解，可以首先讲述；线性方程组理论可以借助于矩阵来解答；向量实际上是矩阵的某种简化形式，其众多问题如秩等均与矩阵有密切联系；行列式主要用于判断向量组是否线性相关，而该问题往往对应矩阵是否可逆；最后，二次型的问题通常也是借助于矩阵来解决的。当然，在具体讲述时，将它们之间的联系画成知识结构图或表格进行描述会更直观，从而降低知识点的难度，便于学生理解和掌握。
3.2 勤归纳善总结，各个难点分散击破
几乎线性代数的每节课都有概念、性质及定理，内容繁多。在教学中，要勤归纳它们之间的联系与区别，这样学生不但复习了旧知识，而且对新知识的接受会更容易，使线性代数的学习变得更加轻松。对于学生最感头疼的各个难点，除了将处理这种问题的方法进行总结外，还要注意各个击破，避免增加学生困难，挫伤学生的学习积极性。
比如逆矩阵的计算，可以归纳出4种方法[3]：
1）定义法，即按照逆矩阵的定义等式AA-1=I求出逆矩阵中各个待定元素，此法计算量较大。
2）伴随矩阵法，即用公式A-1=A*/|A|求逆矩阵，因计算量较大，常用于理论证明或阶数较低矩阵的逆矩阵。
3）初等变换法，一般是在待求逆的矩阵上拼接单位矩阵，然后对它们同时实施相同的初等变换，将待求逆矩阵化为标准形，则对应的单位矩阵化成的矩阵即为所求的逆矩阵。
4）分块矩阵求逆法，通常是先将待求逆矩阵分块（一般可分为三角形矩阵），然后带入分块矩阵的求逆公式即可。
4 结语
线性代数是大学生必须具备的基础理论知识和重要数学工具，在教学中要努力克服各种困难，提高学生的积极性，引导学生掌握正确的学习方法，取得良好的课堂效果。总之，如何实施线性代数高效课堂教学已成为当前亟待解决的问题。培养学生的应用能力和创造能力，是目前数学教育改革的热点问题。因而，教师不但要传授知识，使学生掌握线性代数的基本知识、基本运算技能，更要培养学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，提高学生的学习热情，着眼于学生的未来发展，培养出高素质创新型人才。
参考文献
[1]张天德.线性代数辅导及习题精解[M].北京：新华出版社，2006：1-3.
[2]高济.基于知识的软件智能化技术[M].杭州：浙江大学出版社，1998：13-14.
【关键词】线性代数；高等数学；联系；重要性
线性代数是数学中的一个分支，线性代数研究的主要是向量、线性空间、线性变换以及线性方程组。空间向量对于现代数学来说是一个非常重要的课题，线性代数的理论已经被演化为算子理论。在同学们学习线性代数的时候，在学习的过程中可以发现线性代数和解析几何在许多方面都是有相同的地方的，再准确点来说，线性代数中的一些理论是在解析几何的基础上而得来的。线性代数和求解线性方程组的关系是密不可分的。在学习线性代数的过程中，我们不仅可以学到行列式还有矩阵以及向量等的一些知识。这不仅仅说明了线性代数是数学中的一个分支，同时也说明了线性代数与高等数学之间的联系是非常的密切的。
1.线性代数的简介
线性代数是数学中的一个分支，它主要是处理关于线性之间的关系的问题的。所谓线性之间的关系也就是数学中的对象与对象之间的关系用一种一次的形式来表达出来的方式。比如说在解析几何中，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程；空间直线看做是两个平面相交，是由两个三元一次方程来组成的方程组表示。那如果含有多个未知数的一次方程的称为是线性方程。从这就引出了一些简单的线性问题。由于线性方程组和变量的线性变换问题的不断地深入，行列式和矩阵也在先后的产生，并且为处理线性问题提供了非常有利的工具，使线性代数有了很大的发展。线性代数不仅在数学这门学科中有着很重要的作用，在物理学以及技术学都有着举足轻重的作用，所以，线性代数在各种代数的分支中都占有极为重要的地位。线性代数体现了几何观念和代数方法之间的密切的联系，从它的具体的概念抽象出来的公理化方法和严谨的逻辑推证以及巧妙的归纳综合等。这对于强化人们的数学训练，增强科学智能是非常的有用的。随着科学的不断地发展，我们不仅仅要研究的是变量之间的关系，而且还要进一步的研究多个变量之间的关系，各种各样的实际问题一般都是可以线性化的，同时线性化的问题也是可以计算出来的，线性代数就是解决这些问题的主要的工具。线性代数的含义也是随着数学的发展而在不断的扩大着。线性代数的理论以及它的方法都已经彻底的渗透进了数学中，已经成为了数学中的其中主要的一个分支，同时呢，也是理论物理以及理论化学所不可以缺少的代数的基础知识。线性代数的应用是非常的广泛的，无论是在工程技术上还是在国民经济上的多个领域，它是一门非常基础而且也非常重要的学科。线性代数的计算方法也是计算数学中的一个重要的内容。
2.代数中的基本要素
在我国有很多的学者都对代数学是不太理解的，有些学者只是把代数看成是只是具体计算的一种形式的表达而已，而另外还有些人呢，则把代数看成是单纯的逻辑游戏而已，这些学者的观点都是很不恰当的。代数有两大的基本要素，第一个要素是哲学，第二个要素是组合。我们先来说说这代数中的两大基本要素吧。
代数中的第一大基本要素是哲学，代数中的哲学指的不是专门意义上的哲学，而是指在数学上意义上的哲学，是指只针对数学而言的哲学，我们可以将这里的哲学理解为数学素养、数学思想等等。相对来说，单纯的数学中的各个分支都是需要哲学来作为基础的，但是呢，代数只是一个单纯的公理化的一门学科，是需要不断的创新结构的，并且还要是对未来的穿新的结构有着希望的，所以，对代数中的哲学的要求是特别的高的。可是由于在我国的数学的学者的这种的修养是处在严重缺乏的状态中，我国大多数的学者只是在不停的做一些精密的计算，这也正是在数学中最不缺乏的东西。
代数中的第二大基本要素是组合。这也正是最容易被数学学者忽视的一个基本要素，组合是经常被当做奥数题出现在试卷上的，都被大家当做了业余数学。虽然代数一直都在不断的发明新的结构，来扩张自己的领域范围，但是还是需要进行后期的建设进行不断地充实。由此可见，这个代数中的组合的思想已经完完全全的渗透到了现代数学各个分支中了。
3.数学中的公理化的方法
现代的数学的特点主要是非常的抽象，现在也已经脱离了原有的直观的意义。抽象的原因主要是它的方法公理化了，公理化不仅仅是对现在的数学的成果的总结，同时也是创造新的概念的一个动机。公理化也就是从性质到公理，先发掘问题的典型的性质，然后再把它当成公理，从而得到一个高层次的定义，同时可以包容很多的这种性质的对象。在数学中，我们对乘法进行公理化，就能够得到一个群的概念。实际上，整个的抽象代数都是属于公理化的产物的，把公理当成是数学对象来处理的话，那么也就不是的那么引人注意了。在数学的概念的公理化的过程中在不断的升华的时候，也是在不断地抛下一些旧的概念。公理化在升华的时候使数学中的思想具有更多的普适性，但是在抛下旧的概念的时候使数学的研究范围变得越来越窄小。公理化的思想在现代的数学中是时刻存在着的，不仅仅性质可以升华为公理，同时一些简单的计算结论也是可以升华为公理的。
4.高等数学的特点
在学生的教材中，初等数学研究的主要是常量和匀速变量，而在高等数学的研究中主要是不匀变量。高等数学是理工科院校中的一门重要的基础学科。高等数学有自己的特点，高度的抽象性以及严密的逻辑性是高等数学特有的特点。不过，抽象性和计算性是数学最显著的特点。学习数学的过程也就是思维训练的过程。世界各国的的进步，是与数学这门科学是有着非常密切的联系。特别是对现代来说，数学这门科学显得更为的重要，由于电子计算机的快速出现以及普及，使得数学的领域变得更加的广泛。从我们平时学习数学的过程中就可以发现线性代数与解析几何在大多数的地方都是存在着共同之处的。我们学到了行列式、矩阵、向量以及关于一些线性方程组的一些知识。在线性代数中，我们为了解决一些线性方程组的问题，还引进了行列式，用克莱姆法来求解线性方程组的问题，在以后的学习过程中又引进了关于矩阵，由矩阵的计算方法来求出线性方程组的结果。有过了一段时间我们又将向量的概念和矩阵结合了起来，使向量和矩阵可以有机的结合起来，从而构成了求解线性方程组的有利的工具。
5.线性代数在高等数学中的应用
线性代数不仅仅是经济类院校的一门重要的基础的数学课，同时也是描述以及分析经济现象的一个有利的工具。线性代数不仅具有很强的逻辑性和抽象性，而且也具有广泛的实用性。
5.1 运用数学的知识进行对线性代数的理解
每一年的第一个学期老师在给学生讲课的时候，都会有学生疑惑这门学科到底是研究什么的？所以针对学生们的问题，在教师在教学的过程中要求教师在第一节课的时候必须得给学生讲清楚线性代数的特点和内容之间的联系，使得学生对线性代数的学习有着初步的了解。这样的话，在具体的教学过程中，最好要做到直观化，并且要强调它的应用，这样不仅可以提高学生的学习兴趣，而且还可以达到很好的效果。
在刚开始给学生讲课的时候，最好就向学生讲明白线性代数是解决数学中的线性关系的问题的。对学生来说，线性关系一点都不陌生，在上中学的时候就已经知道了函数的线性关系，比如简单的线性关系y=3x，在刚开始学生就有了一个直观的了解。为了使学生能够进一步的了解线性代数不仅仅只是简单的一元变量的线性关系，它还是多元变量之间的线性关系，我们还进行了实际例子的证明。如下所示：
下图是物流平衡图，其中x1表示从站A流向站B的货物吨数，X4表示从站B流向站D的货物吨数，20表示从站D流向站C的货物吨数等。如果要求在每一站流入吨数与流出吨数相等，求X1,X2,X3,X4,X5应该如何选择。
根据上面的信息和等式的条件，很容易就列出方程组了。
由题意可得X1,X2,X3,X4,X5满足方程组
X1+X2=X3;
X4+X5=X1;
X5+20=X3;
20=X2+X4;
整理可得X1+X2-X3=0;
X1-X4-X5=0;
X3-X5=20;
X2+X4=20
从上面的式子可以看出未知数之间的关系，这是非常的满足线性关系的。然后我们就要根据式子来对方程组进行求解，一般是在方程组中有几个的方程就是有几个的未知数，并对这个方程组进行求解。方程组中求出的解的形式都是唯一的。下面主要是一些关于线性代数公式：
导数的定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量x在处有增量x (x+x也在该邻域内)时，相应的函数有增量；若y与x之比当x0时极限存在，则称这个极限值为在处的导数。
函数在点处存在导数简称函数在点处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。要特别的注意的是导数也就是差商的极限，左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。如果极限存在，我们就称它为函数在x =处的左导数。如果极限不存在，我们就称它为函数在 =处的右导数。还应该注意的是函数在处的左右导数存在且相等是函数在处的可导的充分必要条件。这些公式是线性代数在高等数学中经常性的用到的一些公式，同时它也是将线性代数和高等数学紧密联系在一起的重要的一部分。
在线性代数的应用教学中，学生不仅仅是可以通过例子和练习将所学的知识点进行融会贯通，而且还可以扩大视野。最为重要的是提高了学生解决实际问题的能力。
参考文献：
[1]吴志丹.浅谈线性代数教学中的能力培养[J].?辽宁行政学院学报,2007(04).
[2]米永生.?线性代数与微积分学问题与解法的渗透[J].?大学数学,2007(02).
[3]金莹.?浅谈高等数学、线性代数知识在统计教学中的应用[J].?科技信息(科学教研),?2008(11).
[4]敖长林.线性代数课程改革与实践[J].理工高教研究,2003(04).
[5]王忠玉.?线性代数近60年来发展的若干专题 [J].?世界科学.?1994(02).
关键词：线性代数 数学建模 应用
科技的发展离不开数学的支撑，许多问题归根到底都是数学问题，许多问题的解决都是数学在起作用。采用所学数学知识去解决实际问题是新时代大学生应该具备的基本素质，是对当代大学生数学知识掌握情况的考察。为了培养当代大学生用数学知识去解决实际问题的能力，我国开展了一年一次的全国大学生数学建模竞赛，目的是培养大学生有效利用所学数学知识去解决实际问题的能力。数学建模竞赛引起了越来越多的高校的重视，许多大学已经将数学建模作为一门必修课来讲授。本文重点研究了线性代数知识在数学建模中的应用，对于如何采用线性代数知识解决实际问题具有一定的参考意义。
一、模型建立
建立合适的数学模型对于当代的大学生来说是一件比较困难的事情。因为现实的问题是异常复杂的，大学生对于现实问题的理解往往是不全面的，因此教师在教学过程中必须注重学生将实际问题转化为数学模型能力的培养。教师在教学过程中应该注重采用数学语言和方法来描述客观对象存在的内在规律，建立数学模型。
采用数学建模方法去解决实际问题主要包括模型假设、模型建立、模型计算以及模型推广等几个步骤。对于现实中的问题如何进行数学模型的建立，必须把握问题的基本原理，即不仅要把握问题的全局，同时还要结合求解的目的细致分析问题。数学模型的建立是解决问题的关键，教师对于学生数学建模课的教学往往采用的是对建好的数学模型进行求解，忽略了如何将实际问题转化成数学问题的教学，这样的教学使得学生丧失了分析问题的能力，也就失去了数学建模课程教学的意义。数学模型建立得是否适当直接关系到问题求解的难度以及问题求解的结果是不是适合实际。通过数学建模的学习将使得大学生采用数学知识更好的解决实际问题，同时学生的综合能力得到提高。
二、基本知识点回顾
大学数学主要包含高等数学和线性代数两个部分，代数学主要处理的是线性关系问题。线性代数主要解决的是方程组的求解问题。随着对线性方程组和向量之间关系的研究的深入，行列式以及矩阵慢慢的被引入线性代数，推动了线性代数的快速发展，构成了线性代数的核心。
线性代数是理工科专业甚至管理、经济类专业的一门非常重要的必修课，它在社会生活的各个方面具有广泛的应用。许多问题归根到底都可以转化为线性代数可以解决的问题。线性代数主要包含了行列式的求解、矩阵、向量组的相关性、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型等。其实从本质上来讲都是为求解线性方程组服务的。对于线性方程组的求解来说，可以分为有解和无解。如果线性方程组有解可以分为有唯一解和有无穷解这两种情况。对于无解的线性方程组，如何才能得到某种意义下线性方程组的“解”？这些都是线性代数研究的内容。只有灵活掌握线性代数的基本理论才能更好地将实际问题更好的转化为可以采用线性代数解决的问题。
三、实例分析
1.投入产出模型
在我国的某个地区有一个煤矿、一个发电厂和一条铁路。市场调查发现，煤开采价值为1元钱的煤矿资源需要0.25元电费，同时将开采的煤运到目的地需要0.25元的铁路运费；发电厂创造1元钱的电力资源需要价值0.65元的煤，同时还需要0.05元的电费和0.05元的运费；铁路运输获得1元钱的运费，铁路需要价值0.55元的煤资和0.1元电费。市场调查发现，煤矿上有价值85000元的订货单，发电厂有价值为36800元的订货单，对于本条铁路线没有要求。试建立相应的数学模型分析在这一周内煤矿、发电厂以及地方铁路产值多少才能满足订单需求以及本地区的需求。
模型建立：不妨假定本周内煤矿的总产值为x1，发电厂的总产值为x2，铁路的总产值为x3。那么根据“市场调查发现，煤矿上有价值85000元的订货单，发电厂有价值为36800元的订货单，对于本条铁路没有要求”可以列出如下的线性方程组，如式（1）所示。
x1-（0×x1+0.65x2+0.55x3）=85000
x2-（0.25x1+0.05x2+0.10x3）=36800 （1）
x3-（0.25x1+0.05x2+0×x3）=0
将式（1）进行变形可以得到式（2），
X-AX=Y （2）
其中
X=x1x2x3，A=0 0.65 0.550.25 0.05 0.100.25 0.05 0，Y=85000368000 （3）
向量x称为产出向量，矩阵A称为直接消耗矩阵，向量y称为需求向量，将式（2）变形，可以得到式（3），
（E-A）x=y （4）
在式（4）中，矩阵（E-A）称为列昂杰夫矩阵。
设B=（E-A）-1-E （5）
C=Ax1 0 00 x2 00 0 x3 （6）
D=（1，1，1）C （7）
矩阵B称为完全消耗矩阵，它和直接消耗矩阵A在不同的部门之间的投入产出中起到平衡的作用。矩阵C称为投入产出矩阵，在矩阵C中的各个元素表示了各个工厂之间的投入和产出的关系。向量D称为总的投入向量，分别表示不同部门的总的投入。根据上述的定义，可以得到如表1所示的投入产出表，其中表1是分析的三个部门，对于多余三个部门的投入产出分析表，相应的进行扩展即可。
表1 投入产出分析表
问题求解：根据对该问题的分析，可以得到该地区的煤矿、发电厂以及铁路的投入产出分析表，如表2所示。
表2 该地区投入产出分析表
2.人口迁移模型
改革开放以来，我国经济得到了快速的发展，人民生活水平得到了很大的提高。但是表现出的一个严重问题就是城市环境逐渐恶化，城乡差距不断加大，导致我国大部分的农村人纷纷涌向城市，而城市的居民又希望到未被污染的乡下生活。针对这种情况，我国针对某个省的城乡人口流动进行了调查。调查结果显示，该省每年农村居民有3.2%移居城镇，在城镇有1.3%的居民迁出城镇。目前该省总人口的40%居住于城镇。假定该省城乡人口总数保持不变，人口流动保持现在的流动趋势，那么一年后住在城镇的人口比例是多少，五年后住在城镇的人口比例是多少？
问题分析：假定目前该省乡村人口为x0，城镇人口为y0，经过“该省每年农村居民有3.2%移居城镇，在城镇有1.3%的居民迁出城镇”的变化趋势，一年后乡村人口为x1，城镇人口为y1。
x0+y0 = x1 （8）
x0+y0 = y1 （9）
将式（8）和式（9）写成矩阵的形式，如式（10）所示。
x1 y1 = x0 y0 （10）
五年以后，有
x5 y5 = x0 y0 （11）
问题求解：根据“目前该省总人口的40%居住于城镇”，不妨假定x0=0.6，y0=0.4，根据公式（10）可以得到x1=0.5860，y1=0.4140。根据公式（11）可以得到x5=0.5360，y1=0.4640。
四、结论
数学建模是培养大学生运用数学知识去解决实际问题能力的最为重要的方式，通过数学建模，不仅使得大学生对于数学的学习可以做到学以致用，同时也可以激发当代大学生学习数学的积极性。数学建模竞赛正在受到越来越多的学生、教师以及教育主管部门的重视。本文重点分析了线性代数知识在数学建模中的应用，给出了两个具体的采用线性代数知识去解决实际问题的实例。本文的研究对于深刻理解数学建模以及线性代数在数学建模中的应用具有一定的指导意义。
参考文献：
[1]范振成.数学建模思想方法应用.闽江学院学报，2010，31（5）：19～21
关键词：线性代数；研究性学习；创新能力
线性代数课程是大学的一门基础数学课程，它是学习本科阶段数学课程，比如矩阵论、最优化理论与方法、运筹学以及专业课程，比如自动控制原理、线性系统理论等课程的基础，是学好这些后续课程的前提条件，也是学生进一步深造进入研究生阶段学习的前提。然而，由于该课程抽象枯燥容易造成学生学习兴趣不浓，学习热情不高，学习动力不足，再加上很多高校该课程的课时紧等诸多因素，往往致使学生学习效果差。因此，探讨提高线性代数课程的教学效果尤为必要。
20世纪60年代以来，欧美等发达国家在国家教育战略规划下，提出了基于问题的学习模式，产生了良好的效果。基于问题的学习是一种发现探索式的学习，是一种促进创造性思维发展的研究性学习方式。20世纪60年代以来，美国一流大学为本科生提供机会，让他们积极参加本科生科研项目的研究活动。20世纪80年代中后期，“本科生参与研究”逐渐被美国的教育界所重视。“本科生参与研究”成为了本科生教育改革中的一个重大举措，美国研究型大学一般都设有校级本科生科研管理机构。清华大学也提出了“创建研究性的本科教学体系”，是在国内进行研究性学习的一个初步尝试。教育部在“985”“211”高校推行本科生创新计划，目的在于高年级本科生参与科研，养成科研创新意识。
所谓研究性学习，是指在教师指导下，学生根据各自的兴趣、爱好和特长，选择不同研究课题，独立自主地开展研究，从中培养创新精神和创造能力的一种学习方式。
教师讲授、学生听讲，是当前大学课堂的主要教学方式，而且很多高校线性代数课程课时少、进度快，采用大班教学，课堂开展研究性学习比较困难。我们选择在平时将研究性课题的题目布置给学生，将学生分组，让学生利用课余时间做研究，最后形成研究报告。
为了保证研究性学习的顺利进行，教师根据教学的具体情况创设问题情境，促进学生思考，使他们发现问题，并激发他们探索的动机。教师要提供有关文献资源，以供学生检索研究。笔者认为，我们可以根据教材的主要内容、知识、方法来设立研究课题，也可以根据近年来相关领域研究的热点，比如从近两年来的国际数值代数会议的内容，了解与线性代数课程相关的热点来确立研究课题。笔者曾在教授线性代数课程时提供如下课题：（1）概念定理的延伸；（2）教材中相关知识点设成的专题；（3）图像处理中的矩阵计算；（4）线性方程组的常见数值计算算法；（5）大规模线性方程组的数值算法、稀疏线性方程组的求解算法。课堂上概念或定理的引申，可以巩固基础还可以培养学生的创新能力；对相关知识点形成专题性的研究性学习，可以培养学生搜集资料，再进行归纳总结的能力，有助于启迪学生从熟悉的知识点上探索出新的问题。对后四个课题的研究性学习，激发了学生的学习兴趣，促进了交叉学科的学习，拓展了知识视野，学生学会了一些科研方法，综合提高了全面素质。
矩阵是线性代数课程中的一个重要概念，矩阵的秩、矩阵的初等变换是线性代数中研究线性方程组的重要工具。在讲矩阵时常常会介绍财务报表，学生的成绩表就是一个矩阵。图像处理是近几年来研究的热点，矩阵是图像处理中的一个基本工具，因此可以将图像处理中的矩阵计算问题作为一个研究课题。
线性方程组是线性代数的重要内容，教材中研究线性方程组的解的结构、通解的求法。大多线性代数教材没有介绍线性方程组的数值计算，线性方程组的数值计算可以作为一个研究课题。近年来压缩传感是一个研究的热点，该领域研究线性方程组的稀疏解的计算，而且往往是大规模的线性方程组。大规模线性方程组的求解是近年大数据时代研究的一个热点，大规模线性方程组的数值算法、稀疏线性方程组的求解算法都可以作为研究的课题。
教师要引导学生通过对问题的分析、探索，进行假说、讨论或归纳等一系列再发现的认知操作过程，寻找解决问题的方式。另外，学生在研究性学习中占有主体地位，所以要求学生具有一定的数学以及其他各学科的知识基础，具有较高程度的学习自主性。同时，学生还要有能力安排自己的研究活动，并利用可用的学习资源。
另外，在课外开设新生研讨课是开展研究性学习的有效形式。清华大学、南京大学、浙江大学等高校引进新生研讨课，大部分学生认为研讨课讨论气氛活跃、主题深入，拓展了知识视野，提高了口头表达能力。他们在研讨课上学会了一些科研方法，学习方式也从被动学习变为了主动学习。哈佛大学认为，从大学生一入校，大学的主要努力方向就是使他们能够成为参与发现、解释和创造知识或形成新思想的人，这彰显了大学研究性学习最基本的价值观，也是研究型大学在发展学术、开展科研过程中应当要确立的目标。
参考文献：
[1]罗从文.线性代数[M].北京：科学出版社，2011.
[关键词]线性代数；线性运算；线性问题
[中图分类号]G642
[文献标识码]A
[文章编号]1671-5918（2015）16-0127-02
上世纪80年代以来，随着计算机应用的普及，线性代数理论被广泛应用到科学、技术和经济领域，因此线性代数也成为高等院校理工科各专业的一门基础课程，文章简述线性代数的相关核心核心问题。
一、线性代数的历史
线性代数是代数学的一个分支，今天数学界一致认它作为一门独立学科诞生于上世纪30年代，因为吸纳了系统的线性代数内容的著作是在这一时期产生的，如Van的名著代数学第二卷就把线性代数作为其中的短短一章。但是线性代数的一些初级内容如行列式、矩阵和线性方程组的研究可以追溯到二百多年前；19世纪四五十年代Grassmann创立了用符号表述几何概念的方法，给出了线性无关和基等概念，这标准着线性代数内容近代化开始；19世纪末向量空间的抽象定义形成，并在20世纪初被广泛用于泛函分析研究，从而使线性代数成为以空间理论为终结的独立学科，因此可以说线性代数是综合了若干项独立发展的数学成果而形成的。从上世纪六七十年代起线性代数进入了大学数学专业课程，在我国这门课程称为高等代数，它以线性代数为主体并纳入了一章多项式理论。无论是高等代数或线性代数，这个课程有两个特点：一个特点是各部分内容相对独立，整个课程呈现出一种块状结构，原因是线性代数学科的形成过程本身就没有一条明确的主线。我们几乎可以找到从线性方程组，行列式，向量，矩阵，多项式，线性空间，线性变换中的任何一个分块开始展开的教材，其展开过程主要取决于作者串联这些分块的形式逻辑的脉络。另一个特点是内容抽象，要真正掌握线性代数的原理与方法必须具备较强的抽象思维能力，即对形式概念的理解能力和形式逻辑的演绎能力，而这两种能力要求几乎超越了大多数学生在中学阶段的能力储备，而必须在学习这门课程的过程中重塑。主要是这两个原因，线性代数被认为是一门非常难掌握的课程，而克服这一困难的关键就是针对线性代数课程的这两个特点进行有效的课程改革。
二、关于线性代数基本结构问题的看法
线性代数基本结构问题，学者们历来有许多不同的看法，较为常见的是以下几种：
第一种是以矩阵为中心。这一看法认为整个线性代数以矩阵理论为核心，将矩阵理论视为各个内容联系的纽带。在求线性方程组、判定方程组的解以及研究线性空间问题时，矩阵理论是重要工具。例如正交矩阵和对称矩阵主要应用于欧氏空间和二次型方程问题中。可见，只要对矩阵知识有了全面系统的理解后，就能将各种问题都化解为矩阵理论中的一部分，引申为矩阵问题。
第二种是以线性方程组为中心。这一关观点认为线性方程组是线性代数研究的基本问题。具体操作过程中，将线性方程组的理论和方法应用到各个章节，由此引出矩阵、行列式、向量等理论，最后列出方程组、求解，然后进一步应用，串联起各部分内容。这一理论较为系统、科学，常常被初学者采纳。
第三是一种线性代数体系，以线性变换和线性空间为核心，在学习线性代数之前，学生要先掌握关系、集合、环、群、域等概念，形成对高等数学的研究对象、知识结构、表达方式的初步认识。线性代数体系依次安排了线性空间、内积空间、线性变化、矩阵概念和性质等章节。掌握线性变换基础后，再教学线性方程组求解知识，在此基础上，进一步引出特征向量、特征值和二次型理论。整个体系以线性代数为核心，内容介绍、理论讲解及方法系统化为一个整体。
第四是以向量理论为核心。对二维、三维直角坐标系的研究是线性代数的起源。学生在中学时就已经了解了关于平面向量的一些基本知识，因此，将向量作为整个线性代数知识的核心，有利于使各部分内容的联系更加密切、理论体系更加完整完善，学生的空间概念也能得以加强。矩阵、行列式、线性方程组一般为研究维向量空间所必须的表示工具、向量的线性相关性的判别工具）和未知向量的计算工具，从宏观讲它们独立于体系之外，从微观讲它们也是维向量空间的一些具体内容。而二次型仅仅是对称双线性函数的一个简单应用。
三、线性和线性问题
“线性”这个数学名词在中学数学课程中，学生从未接触过。而这一课程是大学数学的基础课程，学生刚进入大学，对这一词汇的具体内容知之甚少。所以在学习之前，学生必须对什么是“线性”有所了解，在“线性代数”这一课程中有对于“线性”概念的明确介绍。这是学习线性代数要解决的第一个基本问题，即什么是“线性”。
从整个数学全局来看线性代数，可将涉及到的数学问题分为两类：即线性问题和非线性问题。其中，对于线性问题的研究，历来有最完善的理论和最多的研究成果；并且，许多非线性问题往往也可以转化为线性问题解答。所以解决具体的数学问题时，首先应判断该问题是否属于线性问题，如果是线性问题该采用怎样的解决方法，如果不是线性问题，应考虑如何将其转化为线性问题。这是学习线性代数要解决的第二个基本问题：什么是“线性问题”，如何处理“线性问题”？
了解了什么是“线性”、什么是“线性问题”后，离完成线性代数的教学目的还有很长一段距离。如今的高校教育，一味灌输给学生行列式、向量、矩阵、线性变换等空洞的数学定理，指导学生用这些理论来思考线性代数的基本结构、具体应用等问题。教师在教学线性代数问题时更是一味强调理论的选择与应用，却忽视了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力的培养。
四、线性代数的研究对象
稍微观察一下我们可以发现，中学的初等代数就是线性代数的前身，只是在其基础上的进一步抽象化。初等代数研究的多是具体的问题，运用加减乘除的运算方法即可解决问题；线性代数中则引入了许多新的概念，如向量、向量空间、集合、空间、矩阵等等，问题展现的形式发生了变化，要想解决问题，我们的思维方式也应该发生变化。涉及到新概念的数学问题往往都很抽象，如向量指的是既有数值又有具体方向的量；向量空间是许多量组成的集合，这一集合中的元素全都符合特定的运算规则；集合是具有某种属性的事物的总和；矩阵理论则是一种更加抽象化的理论，因此我们的研究方法和思维方式都要随之进行改变。如初等代数中的基本运算法则在线性代数中经常会失效，线性代数的研究对象是向量运算、矩阵运算和线性变换，解决问题时，需要采用一种特殊的运算方法。
综上所述，线性代数的学习中应重点培养两个方面的能力：
一个是知识掌握的能力的培养。介绍知识时应坚持从易到难、循序渐进。先掌握好中学的运算法则，再慢慢学习向量、矩阵知识，之后学习线性变换，最后综合学习线性运算。学生经过中学阶段的学习，完全掌握了加法和乘法这两种基础运算法则，简单了解了向量运算。矩阵知识相对于前者更加抽象，因此应放在之后学习。线性变换则是线性代数教学中的重点和难点所在，也是最容易被忽视的地方。由于线性变换可结合映射知识学习，而映射知识在中学数学和微积分教学中都有详细的介绍，在此基础上学生更容易理解线性变换及运算的相关知识，更容易解决矩阵特征值问题、线性方程组问题及二次型问题等。
另外一个是思维能力的培养。在学习中，注意引导学生带着问题学习，并在学习中进一步发现问题、解决问题，这是最有效的思维方式和学习方法。前文提到了学习线性代数必须先了解的两个基本问题：什么是“线性”、什么是“线性问题”。这两个基本问题应该始终贯穿在线性代数的学习过程中。无论在什么阶段的学习，都要注重理论知识和实际问题的有效结合。学生在掌握了一定的理论知识后，可尝试去解决相关的实际问题。在这一过程中，学生会加深对理论知识的理解，并进一步发现自身知识储备的不足之处。若单单追求知识的应用，而不加深自己的理论素养，最终也无法具备良好的思维能力。所以，在学习线性代数时，要培养好两方面的能力，使之相辅相成、相互促进。
结语
关键词 线性代数 课程改革 对策 探索
中图分类号：O151.2 文献标识码：A
自从步入到二十一世纪以来，知识更新速度越来越快，深度也越来越深，作为高职院校数学基础课程，线性代数虽然不能够像科学技术般日新月异，线性代数也需要不断积累、不断充实以及不断更新。但是，这种积累、充实、更新不能够单纯依靠增加线性代数课程时间，必须要深化线性代数课程体制改革，不断实施线性代数教学改革。虽然开展线性代数教育教学改革有很大难度，但是这与我国人民群众素质密切联系，在当今技术以及科学飞速发展背景下，线性代数课程改革势在必行。
1线性代数课程教学改革目标
开展线性代数课程教学改革，教学的内容要从单一型转变成为综合应用型，教学方法也要从验证型和示范型转变成为应用型和参与型。这样能够保证科研和教学相互存在，相互辅助，线性代数的教学目的就是要结合科研和教学，将线性代数的科研活动作为全新的教学模式，学生开展学习活动的整个过程就是教师开展科研活动的过程。将传统的教学模式改变，线性代数教学模式要将培养学生创新应用能力以及综合分析能力作为根本目标，树立起能够与社会需求相符合，与学生实际情况相符合的教学体系，还要保证职业院校线性代数教学体系具有实用性和科学性。在线性代数教学知识方面，要具有一定的深度以及广度，应用知识与理论知识相结合，在其能力培养方面，要保证知识能力实用和够用，还要为学生终身学习提供一定的动力。
2线性代数课程改革的对策
在当今教育教学背景下，实施线性代数课程的改革，必须要建立在已有线性代数知识体系这一前提和基础之上，提升职业院校学生学习数学的能力、创新能力以及数学素养。基于职业院校想要培养应用型人才的需求，必须要结合线性代数课程的专业特征，从以下几个方面深入探讨线性代数课程的改革对策：
（1）改革线性代数的教学内容。当前形势下，线性代数教学内容主要包括线性空间、线性变换、二次型、向量、矩阵、列式以及线性方程组等等诸多方面。从此可以看出，线性代数的教学内容十分抽象，导致线性代数课程被孤立，没有与学生专业知识框架以及其它课程有效衔接。因此，实施线性代数教学内容改革势在必行，必须要从单一基础知识讲授，向与专业知识运用相结合转变。
改革线性代数教学内容，不仅要将教学内容体系打破，增加新的线性代数教学内容，还要建立起全新的线性代数教学内容模块。传统的线性代数将基础知识理论作为主要的模块，将知识扩展、案例分析、数学建模等作为次要模块，线性代数的方法论以及实践课程作为最后的模块，这三个主要的模块在线性代数教学的过程中，根据各个专业需求来实施取舍。除此之外，对于有特殊需求的学生以及专业开设一门选修课程，对于一部分内容实施系统、深入的课堂讲授，例如经济学涉及到的方程组计算、理论课程涉及到的矩阵知识等。在线性代数教学内容方面，要注重运用应用实例以及讲授背景，培养职业院校学生解决问题能力，例如数学建模能力等。
相关统计数字表明，线性代数对于学生课程学习活动具有很强的实用价值以及理论价值，作为线性代数的教师必须要注重在教学活动过程中，满足学生后续衔接专业课程等需求，完全体现线性代数课程的价值。在安排教学内容的时候以及知识结构的过程中，必须要注重培养职业院校学生学习能力，运用现代的多媒体教学设备，实施线性代数课程的改革。在基础知识体系方面，要注重增加一些与学生专业应用背景相类似的内容，还要为学生展示应用实例的分析，对线性代数的教学内容进行充实，使其更加丰富，从职业院校学生学习线性代数的兴趣进行激发，培养职业院校学生发现问题、分析问题、解决问题、总结问题的能力，使职业院校的学生可以体会到线性代数课程所具有的作用和意义。
（2）改革线性代数的教学手段和方法。近些年来，现代信息以及现代技术不断发展和扩展，职业院校数学教学的方法和思想至关重要，特别是对于培养应用型人才来说，为了对专业型人才以及应用型人才进行更好培养，各个专业均对职业院校的线性代数课程提出了更加严格的要求，在教学的过程中必须要对高等教育发展趋势进行遵循和顺应，将灌输式的教学方法改变，在设计学生培养模式的过程中，要从验证型以及示范型转变成为应用型以及参与型。在进行理论知识讲授的过程中，可以采用比较形象化的线性代数教学方法，这样可以方便学生对定义进行理解，对抽象的定理形成过程进行直观了解，掌握实际的内涵以及意义。使职业院校的学生可以参与到教学之中，自行实施推导和计算，使职业院校的学生能够通过运用数学知识和方法，来对实际生活中和实际学习中所遇到的问题进行解决。教师在进行应用性内容讲授的过程中，要注重运用具体应用的实例来分析，对职业院校学生掌握和运用线性代数知识的能力进行培养和提升。此外，教师还要在教学过程中采用启发式的教学方法，对线性代数教学内容进行精心的组织，根据新的课程概念、疑点、重点以及难点设计问题，进而对线性代数课堂教学进行驱动。在课堂教学中运用问题驱动的目的在于引导职业院校学生对所学内容核心思想进行充分认识，设计问题的过程就是学生接受新概念的过程，更是学生学习新内容的过程。
（3）改革线性代数的考核方法。近些年来，很多学校在考核线性代数的时候，通常会采取平时成绩+期末成绩+期中成绩的方式，其中，平时成绩就是学生平时对于线性代数课程的出勤率和完成作业的情况，期中成绩就是学生参与期中闭卷命题考试所取得的成绩，虽然这样的考核方式可以有效避免学生平时不学习，临近期中或期末突击考试的现象。但是，这样的考核方式所考核的内容具有很强的局限性，也无法考核出职业院校学生对于专业知识的应用能力以及创新能力。因此，实施线性代数考核方法的改革，必须要采取与考查、理论运用相结合的考核方式。
在线性代数课程考核方法改革的过程中，要力求考核全面内容，对职业院校学生分析综合能力、技能技巧、知识记忆进行全面检查，这些题型要在考试的过程中占有一定比例。例如，职业院校线性代数课程期中考试过程中，教师可以采用开卷的形式，为学生拟定具有挑战性题目，学生可以通过搜集和查阅相关的资料，通过科技工具来解决问题。期末考试的时候，教师要根据专业类型，适当增加应用题的比例。在考核平时成绩的时候，教师可以通过活动小结、小论文、应用问题建模、实验、开卷测验等多种多样的方式来对学生实施考核。
3结语
总之，高职院校的人才培养必须要走实用型道路，而非理论型和学术型道路，这也是职业教育与其它类型教育的不同之处。也正因如此，高职数学教育教学活动必须要注重应用性，培养职业院校学生的发散性思维以及动手能力，提升学生对于实际问题进行自主解决的能力，而非注重学生逻辑严谨性以及思维的严密性。高职院校的线性代数属于专业课程工具课，因此线性代数要为学生提供必需、充足的知识基础，对学生学习需求进行满足。
参考文献
[1] 张鹏鸽，高淑萍，马建荣.对比国外优秀教材探索我们线性代数课程改革的新思路[J].大学数学，2010，26（S1）：132-135.
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[3] 李春娟.与应用型人才培养模式相适应的大学数学类课程的教学研究与实践[J].丽水学院学报，2011，33（5）：86-89.
关键词：线性代数；教学次第
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）17-0119-02
线性代数课程属于代数的范畴，研究对象是有限维空间的线性理论，特点是概念多且抽象，概念与概念之间又有错综复杂的联系。很多教师讨论了怎样进行教学内容与教学形式的改革，怎样培养学生的应用意识，怎样培养学生应用MATLAB等数学软件的能力，致力于解决培养适应各种专业的人才，做出教学改革上的思考。但是，如何进行落实？线性代数乃至整个数学的教学目的，都是让学生具备数学的思想，培养数学的思维，掌握数学的方法，并能学以致用，达到这一较高的目标并不容易。笔者认为，需要在教师的教学和学生的学习上有次第。
一、线性代数教学的第一梯次
笔者认为，线性代数教学的第一梯次应该是讲清楚线性代数的理论、方法和计算，让学生课上能听懂，初步领悟线性代数的理论、方法并会进行相应的计算。而要做到这一点，根据笔者这几年的教学经验，认为就是要把线性代数的概念、性质、定理、推论、方法、计算、应用等几个方面讲清楚。具体论述如下：①对于概念，应从概念的引入，概念的内涵、外延，概念和概念之间的区别与联系，新旧概念所形成的知识链几个方面来讲解。这里需要选择恰当的引例、准确的语言、各种情况下的例子及与前面概念的区别与联系的认识，等等。例如，向量组的秩可以用线性方程组的独立方程的个数来引入，[1]即讨论表示方程的行向量之间的线性相关性，说明方程组中独立方程的个数由谁来确定，从而给出向量组的秩的概念。从实例引入向量组的秩的概念，也就是知道这个概念的内涵之后，说明它的外延，即举例说明向量组的秩。有几种情况：一种是只有零向量的向量组，一种是一般的向量组，即极大无关组包含的向量的个数少于向量组所包含的向量的个数，还有一种是向量组本身就是线性无关的，即向量组是其本身的一个极大无关组，即极大无关组包含的向量的个数等于向量组所包含的向量的个数。要描述向量组的秩的概念，就得了解向量的线性表示、线性相关（无关）和极大无关组的概念，这是一条知识链。即：向量的线性表示 线性相关（无关） 极大无关组 向量组的秩。[2]另外，了解向量组的秩的概念与前面学过的矩阵的秩在概念上的联系，是需要讨论的。②性质。性质当然不是凭空而来，它是由概念推导而来的。但是，人们是怎样想到性质的呢？当然也不是凭空想到的。例如，矩阵的运算规律。前面学习了矩阵的线性运算、矩阵的乘法，与数的运算作为类比讨论了他们的运算规律，到了矩阵的转置运算，就想到转置的转置是什么，加入线性运算后就得到两个矩阵相加后得到的矩阵的转置是什么，一个数乘以一个矩阵后得到的矩阵的转置是什么，加入矩阵的乘法就得到两个矩阵的乘积所得到的矩阵的转置是什么，对于矩阵其它运算的性质也是类似的。再比如，逆矩阵的运算规律。首先，是一个矩阵的逆矩阵的逆矩阵是什么，加入线性运算得到的性质，加入矩阵的乘法运算得到的性质，加入矩阵的转置运算得到的性质，加入矩阵的行列式运算得到的性质，加入矩阵的伴随矩阵的运算得到的性质。③对于定理和推论。所谓定理是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。所以对于前人提出来的每个定理，都要进行证明，这样能让学生更好地理解定理的内涵和它的应用。④对于方法、计算。讲完了基本的概念、性质、定理、推论后，应该引入具体的计算方法。但是方法、计算的讲解是要以前面的这些要素作为基础的。应该让学生在理解了这些概念之后，也就是在头脑中对这些概念、性质、定理等有印象了以后，再来理解这些计算的方法。例如，利用矩阵的初等行变换来求一个可逆阵的逆矩阵。这个方法的推导用到了初等阵的概念，用到了初等阵是初等变换的矩阵表示这一定理和任何一个可逆阵都可以分解成有限个初等阵的乘积这一定理，用到了分块矩阵的乘法，等等。只有把要用到的知识都讲清楚、讲明白，方法自然就顺理成章地推导出来了。⑤对于应用。一般的线性代数的教材上具体应用的实例都很少，大部分都是在讲理论与方法，但这是基础。由于学时很紧，在课堂上能把理论与方法讲好已经很不容易。但是，如果只讲理论与方法，会使学生觉得课程太过枯燥，而学习的目的很大部分是为了学以致用，所以适当地列举一些简单的应用实例，是必不可少的，如逆矩阵在对明码加密中的应用等。总之，把这些方面讲清楚是教学的基础，要想使学生更容易接受，还得在讲课思路和教法上下功夫。上述内容，是笔者对线性代数第一梯次的认识，这些都可以在课堂上实现。
二、线性代数的第二梯次
笔者认为，第二梯次应该是第一梯次的升级，即熟练掌握各种概念、性质、定理、计算，更要掌握知识与知识之间的各种联系，这就需要大量的习题训练，从单一的知识点的运用，到复合的知识点的运用。这时，考研题是很好的选择。在课堂上，可以适当地举一些例子，但大部分的训练还是需要学生课下去做的。
三、线性代数的第三梯次
笔者认为，第三梯次是知识的应用，这就需要数学建模的训练，可以从一些简单的数学建模的练习题开始，锻炼学生运用知识、解决实际问题的能力。同时，还可以锻炼学生应用MATLAB来解决线性代数中的计算问题的能力。对于MATLAB的训练，可以建立一个基于MATLAB的《线性代数实验课程》的GUI平台。便于学生的操作和教师的演示。[3]数学建模不仅可以使学生更好地理解引入概念的意义，更能在解决问题的过程中更好地理解线性代数的理论和方法。更深刻地认识线性代数乃至整个数学学科。
四、线性代数的最高境界
线性代数的最高境界应该是创新思维、创新能力的培养。要做到这一点，应该了解代数的起源、现状，才可以把握未来的发展动向。当然，这一目标的实现，需要学生多读一些课外的读物，广泛涉猎综合性的知识。
综上，这是笔者对线性代数教学次第的认识与思考。任何一种教学都是需要有次第的，只有有次第的教学才能使教育真正落到实处，才能让学生在学习上获得更多真实的利益。
参考文献：
[1]杜红等.线性代数（第一版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]王章雄，曹顺娟.“线性代数”概念教学刍议[J].高等理科教育，2009，（6）.