线性规划范文

线性规划范文第1篇

关键词：线性规划；单纯形法； MATLAB软件

1引言

在现实经济活动中我们不断碰到诸如此类的问题，什么是最好的决策或者最佳的方案。例如企业在外在条件不变的情况下，如何通过改进生产计划，合理安排人、物和资源，使得成本最低或者收益最大。这些相关问题都可以建立一些数学模型，转化为运筹学相关问题，通过数学运算得到最佳解决方案。

本篇文章将着重于介绍运筹学方法中的线性规划问题理论以及基于MATLAB软件的求解。线性规划作为运筹学的一个重要分支，是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，也是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

2线性规划问题及其基本概念

2.1 线性规划标准形式

3纯形法求解线性规划问题

高中时期便接触过图解法解简单的线性规划问题，但是图解法虽然直观、简便，但当变量数多余三个以上时则无能为力。所以将线性规划的求解在软件上实现就显得尤为重要。本文将会重点介绍其中之一的单纯形法以及其在实际中的应用。

3.1单纯形法的基本思想

单纯形法的基本思想是先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。

3.2单纯形法的MATLAB实现

3.2.1常规线性规划问题

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，MATLAB中规定线性规划的标准形式为

其中为列向量，称为价值向量，称为资源向量，A，Aeq为矩阵。

MATLAB中求解线性规划的命令为[x，fval] = linprog（f，A，b）；[x，fval] = linprog（f，A，b，aeq，beq）；[x，fval] = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub）；其中x返回的是决策向量的取值；fval返回的是目标函数的最优值；f为价值向量；A，b对应的是线性不等式约束；Aeq，beq对应的是线性等式约束；lb和ub分别对应的是决策向量的下界向量和上界向量。

3.2.2可转化为线性规划的问题

4结论

线性规划在实际生活中是不可或缺的应用理论，其在管理决策、资源的优化配置等诸多方面显示了强大的实用性。本文研究了基于MATLAB软件环境下求解线性规划的单纯形方法并对其在MATLAB环境下求解进行了实例应用。通过本文运算结果我们可以得到如下结论：单纯形法适用于含有三个及三个以上决策变量的线性规划问题，虽然应用单纯形法时，涉及的计算量大，操作起来比较繁琐，但单纯形法在线性规划问题的求解上应用范围最广。

总的来说，MATLAB对于各种类型线性规划及整数线性规划的求解都是极其有利的，可以帮助我们大大的缩小计算量的幅度，并避免很多因为人为原因造成的误差。由于本人水平有限，此类问题的重要性还有很多地方阐述的不够，也存在着许多有待改正与提高的空间。

参考文献

[1] 钱颂迪.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2005.

[2] 张洪斌.运筹学方法[M].北京：清华大学出版社，2006.

[3] 曾梅清，田大钢.线性规划问题的算法综述[J].科学技术与工程，2010.

[4] 熊x杰.运筹学教程[J].科技信息报，2010.

线性规划范文第2篇

1.了解二元一次不等式(组)表示的平面区域;了解与线性规划相关的基本概念

2.了解线性规划问题的图象法，并能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。

教学重点

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域;

2.应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。

教学难点

线性规划在实际问题的应用

高考展望

1.线性规划是教材的新增内容，高考中对这方面的知识涉及的还比较少，但今后将会成为新高考的热点之一;

2.在高考中一般不会单独出现，往往都是隐含在其他数学内容的问题之中，就是说常结合其他数学内容考查，往往都是容易题

知识整合

1.二元一次不等式(组)表示平面区域：一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的__________。我们把直线画成虚线以表示区域_________边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时,此区域应___________边界直线，则把边界直线画成____________.

2.由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都__________，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，从的_________即可判断>0表示直线哪一侧的平面区域

3.二元一次不等式组是一组对变量x,y的__________，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为_____________;

4.(a,b是实常数)是欲达到最大值或_________所涉及的变量x,y的解析式，叫做______________。由于又是x,y的一次解析式，所以又叫做_________;

5.求线性目标函数在_______下的最大值或____________的问题，统称为_________问题。满足线性约束条件的解叫做_________，由所有可行解组成的集合叫做_________。分别使目标函数取得____________和最小值的可行解叫做这个问题的___________.

典型例题

例1.(课本题)画出下列不等式(组)表示的平面区域，

1)2)3)

4)5)6)

例2.

1)画出表示的区域，并求所有的正整数解

2)画出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)为顶点的的区域(包括各边)，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数的最大值和最小值。

例3.1)已知，求的取值范围

2)已知函数，满足求的取值范围

例4(04苏19)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资打算多少万元，才能使可能的盈利最大?

例5.某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个，现有两种规格原料，甲种规格每张3m，可做文字标牌1个，绘画标牌2个;乙种规格每张2m，可做文字标牌2个，绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小?

例6.某人上午时乘摩托艇以匀速V海里/小时从A港出发到相距50海里的B港驶去，然后乘汽车以匀速W千米/小时自B港向相距300km的C市驶去，应该在同一天下午4点到9点到达C市。设汽车、摩托艇所需时间分别为小时，如果已知所要经费P=(元)，那么V、W分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?

巩固练习

1.将目标函数看作直线方程,z为参数时，z的意义是()

A.该直线的纵截距B。该直线纵截距的3倍

C.该直线的横截距的相反数D。该直线纵截距的

2。变量满足条件则使的值最小的是()

A.(B。(3，6)C。(9，2)D。(6，4)

3。设式中变量和满足条件则的最小值为()

A.1B。-1C。3D。-3

4。(05浙7)设集合A={是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()

5。在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为()

A。B。C。D。2

6.(06全国ⅰ14)设，式中变量和满足下列条件则的最大值为__________________;

7.(06京13)已知点P(的坐标满足条件点O为坐标原点，那么的最小值为_________，最大值等于__________________;

线性规划范文第3篇

关键词：线性规划 模型 决策 应用

线性规划是运筹学中一种最常用的方法，线性规划在现代管理中起到了重要的作用，线性规划所处理的问题是怎样以最佳的方式在各项经济活动中分配有限的资源，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。线性规划在财务贸易、金融、工业制造、农业生产、交通运输、人事管理、设备维修等领域的管理决策分析中均可帮助人们解决实际问题。例如在原料分配问题上，研究如何确定各原料比例，才能降低生产成本，增加利润；在农作物规划中，如何安排各种农作物的布局，使生产率迅速提高；在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高生产产值。线性规划为求解这类问题提供了实用性强的理论基础和具体求解方法。

一、线性规划数学模型

经营管理中研究如何有效地利用现有的人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现，这个统筹规划的问题用可用数学语言表达。

线性规划模型从数学角度来归纳为三点：

（1）每个问题都有一组变量，称为决策变量，一般记为，一般要求。它是决策者对决策问题需要加以考虑和控制的因素。

（2）每个问题都有决策变量需要满足一定的条件，问题的限制条件用不等式或等式来表达，它是实现企业决策目标，限制性因素对实现目标起约束作用，称为约束条件。

（3）问题的目标通过变量的函数形式来表达，称为目标函数，且目标值与决策变量之间的关系是线性关系，要求在约束条件下，求目标函数的最大值或最小值。

（4）一般的线性规划数学模型为：

线性规划标准形式特点：

（1）目标函数求最大值（有时求最小值）

（2）约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零

（3）决策变量xj为非负。

线性规划问题的方法是单纯形法。理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间中的多面凸集，最优值如果存在必在凸集的某顶点处达到，顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯型法的求解思路是：一般线性规划问题具有线性方程组的变量个数大于方程数目，此时存在多解，但可从线性方程组中找出一个个的单纯型，每个单纯型都对应一组基本可行解，根据此解判断目标值是增大还是减小，决定下一步选择的单纯型，这就是迭代，直到实现了目标最大化或最小化为止。

但是，通过比较基可行解（顶点）来求解一般线性规划问题是不可行的，单纯形法的基本思路是有选择地取基可行解，即从可行域的一个顶点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的顶点，要求新顶点的目标函数值不比原目标函数值差。如此继续，直到无法改进，即可得到最优解，或判定无最优解。

二、线性规划的具体应用

线性最优化模型已被广泛应用于各类部门，应用的范围涉及各种资源分配、生产规划调度、企业财政规划、库存和分配、商品推销和广告等领域。

1.线性规划的在投资组合中的应用

如何选择一个满意的投资组合，在既定条件下实现一个最有效的风险与收益搭配，是投资组合的关键问题，投资者可以利用各投资项目收益率结合现实的情况对未来一年内各种投资产品的收益率做个简单的预测，利用单纯形法或借助lindo软件进行求解，从而获得投资于各项目的最佳投资额。

例如：某先生在5年内考虑下列投资，已知：

A.可从第1年年初开始投资，并于次年年末收回投资额的115%；

B.在第3年的年初投资，到第5年年末收回投资额的135%，但投资额不能大于4万元；

C.在第2年年初投资，到第5年年末收回投资额的145%，但投资额不能超过3万元；

D.每年年初购买债券，年底归还，利息为0.06.

2.线性规划在运输问题中的应用

运输问题涉及空运、水运、公路运输、铁路运输、管道运输、场内运输等，公路运输除了汽车调度计划外，还有行使路线选择和时刻表的安排等等问题，这些问题都可以运用线性规划模型来解决。“运输问题”就是将数量和单位运价都是给定的某种物资从供应站运送到消费站或库存站，在满足供销平衡的同时，定出流量与流向，达到总运输成本最小。

例：某汽车零件制造商，在不同的地方开设了3个工厂，从这些工厂将汽车零件运至设在全国各地的4个仓库，并希望运费最小，下表列出了运价以及3个工厂供应量和4个仓库的需求量，请求出运费最小的运输方案。

（2）根据位势法或闭回路法来判断该方案是否是最优，如果不是，就对该方案用闭回路方法进行调整和改进直至求出最优方案。经过计算，最后当所有的检验数均为非负时可得最优方案，当前的最优方案为其余全为零，可得最小运输值为。

3.线性规划在分配任务上的应用

例：（指派问题）有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作：E、J、G、R，现在有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成不同的语种的说明书所需时间如表所示，问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？

4.线性规划模型在生产计划问题上的应用

线性规划可以运用在生产计划的问题上，对于生产性企业而言，生产计划是企业经济效益的关键因素，科学合理的生产计划能够使整体的经济效益发挥到最佳水平，使用线性规划方法要充分利用现有资源，考虑到企业的生产能力，资源的拥有量以及生产产品的单件利润等因素来进行计划安排生产，以谋求最大的利润或最小的成本。

例如（饲料配比问题）某配合饲料厂生产以鸡饲料为主的配合饲料，现准备研制一种新的肉用仔鸡专用饲料，所用原料的营养成分和饲养标准见表，希望这种新饲料既能满足肉用仔鸡的喂养需要又使总成本尽可能低，应如何设计配比方案？建立线性规划模型。

三、总结

线性规划是企业生产过程中决策制定的理论依据，决策的合理与否直接影响到企业的经济效益，本文通过实际例子阐述了线性规划模型在生产计划，运输问题，任务分配问题，投资问题等问题的实际应用，体现了线性规划模型在实际生产和生活中的重要性，总之，线性规划法是一种比较先进和科学的进行经济管理的方法，利用线性规划解决实际问题具有较大的实用价值。

参考文献：

[1]运筹学教材编写组.运筹学（第三版）.清华大学出版社.

[2]巴玉强.数学线性规划在企业管理中的应用分析.经管空间.2012年3月.

[3]王波.线性规划在寿险精算中的应用.数学的实践与认识.2006年11月第36卷第11期.

[4]曹亚群.线性规划在物流工程中的应用.宿州学院学报.2010年11月第25卷第11期.

[5]唐加冕，周京徽.线性规划问题在经济生活中的应用.商业时代.2011年9月.

[6]谢金星，姜启元，张立平.线性规划导论[M].北京：机械工业出版社，2005.

线性规划范文第4篇

1 线性规划问题的常规求解

常规的线性规划问题求最优解，要明确线性规划问题求解的基本步骤，即在作出可行域，理解目标函数z的意义的基础上，通过平移目标函数所在直线，最终寻求最优解.

例1 （2015年陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）.

A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元

甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128

解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y，

由题意可列3x+2y≤12，

x+2y≤8，

x≥0，

y≥0，该不等式组表示的平面区域如图1所示阴影部分：

图1

易知目标函数z=3x+4y所在直线y=-34x+z4过点A（2，3），即x=2，y=3时，z取得最大值，zmax=3×2+4×3=18，故选D.

实际问题涉及的线性规划问题求解，不同于纯数学形式的线性规划问题，尤其最优解，要遵循实际问题所在的意义.类似教材中钢板张数，人力资源分配，车辆配备等问题要寻求最优整数解等，都不同于一般的数学求实数解问题，这在求解过程中尤其注意.

练习 （2015年天津）设变量x，y满足约束条件x+2≥0，

x-y+3≥0，

2x+y-3≤0，则目标函数z=x+6y的最大值为（ ）.

A.3 B.4 C.18 D.40

（答案C.）

2 线性规划问题中的参数求解

在线性规划问题中，常常遇到借助于不等式组，或者目标函数设置一些参数，利用已知的目标函数z的最值，来求出参数值的题目.这类线性规划问题的求解，方法上仍要遵循线性规划问题的求解步骤，但在求解中涉及到分类讨论，数形结合等数学思想.

例2 （2015年山东）已知x，y满足约束条件x-y≥0，

x+y≤2，

y≥0. 若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）.

A.3 B.2 C.-2 D.-3

图2

解析 由z=ax+y得y=-ax+z，借助图形2可知：

当-a≥1，即a≤-1时，在x=y=0时有最大值0，不符合题意;

当0≤-a<1，即-1<a≤0时，在x=y=1时有最大值a+1=4，a=3，不满足-1<a≤0;

当-1<-a≤0，即0<a≤1时，在x=y=1时有最大值a+1=4，a=3，不满足0<a≤1;当-a<-1，即a>1时在x=2，y=0时有最大值2a=4，a=2，满足a>1;故选B.

本例中参数a在目标函数所在直线方程中的意义与斜率有关，即直线的斜率k=-a，故如何利用条件中的函数最大值4求参数a成为解题关键，或者说目标函数所在直线经过不等式组所示区域的哪一点取到最大值成为参数a分类讨论的依据.

3 非线性目标函数的最值求解

在线性规划问题中，我们常常会遇到一些非线性目标函数的求解问题.

例3 （2015年四川）设实数x，y满足

2x+y≤10，

2+2y≤14，

x+y≥6，

则xy的最大值为（ ）.

A.252 B.492

C.12 D.14 图3

解析 不等式所示平面区域如图3，

当动点（x，y）在线段AC上时，此时2x+y=10，据基本不等式知道，非线性目标函数z=xy=12（2x・y）≤12（2x+y2）2=252，当且仅当x=52，y=5时取等号，对应点落在线段AC上，故最大值为252，选A.

本例中，目标函数z=xy，借助于直线方程2x+y=10，通过变形xy=12（2x・y）联想到不等式2x・y≤（2x+y2）2，从而找到目标函数xy的最优解.类似非线性目标函数x2+y2，y-bx-a等形式都要在理解函数意义的基础上寻求最优解.

练习 （2015年新课标卷）若x，y满足约束条件x-1≥0，

x-y≤0，

x+y-4≤0， 则yx的最大值为 .

（答案3.）

4 线性规划问题的综合运用

有些数学问题如果转化为线性规划问题会得到简捷的解法，当然这要求对问题有着较深刻的理解，要善于利用转化和划归思想转化为线性规划问题.

例4 （2015年浙江理科）若实数满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 .

解析 条件x2+y2≤1表示圆x2+y2=1及其内部，易得直线6-x-3y=0与该圆相离，故|6-x-3y|=6-x-3y，设函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|，

当2x+y-2≥0时，则x2+y2≤1，

2x+y-2≥0，所示平面区域如图4所示，可行域为小的弓形内部，易知目标函数z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，

故目标函数z=x-2y+4所在直线y=12x-z2+2过点A（35，45）时z最小，即x=35，y=45时，zmin=4;

图4

当x-2y+4<0时，z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域为大的弓形

内部，同理可知目标函数z=8-3x-4y所在直线y=-34x-z4+2过点A（35，45）时z最小，当x=35，y=45时，zmin=4.

综上，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.

本例中，利用直线与圆相离的位置关系，化简|6-x-3y|=6-x-3y，再利用分类讨论的思想将原来的问题化简|2x+y-2|+|6-x-3y|为目标函数z=x-2y+4或者z=8-3x-4y，就将较复杂的问题转化为线性规划问题从而求解.

线性规划范文第5篇

线性规划的常见题型有：求目标函数的最值、范围问题，求平面区域的面积问题等． 解决这类问题的关键是正确画出可行域． 处理方法为：（1）设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数；（2）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）．

1． 当变量x，y满足约束条件x≥0，y≤x，2x+y+k≤0时（k为常数），能使z=x+3y的最大值为12的k为（）

3． 如果实数x，y满足条件x－y+1≥0，y+1≥0，x+y+1≤0，那么2x－y的最大值为（）

A． 2?摇?摇?摇?摇?摇?摇 B． 1 ?摇?摇 C． －2?摇 ?摇?摇?摇?摇?摇D． －3

4． 已知2x+y－2≥0，x－2y+4≥0，3x－y－3≤0，则x2+y2的最大值与最小值分别是（）

A． 13，1 B． 13，2

5. 已知三点A（x0，y0），B（1，1），C（5，2）.如果一个线性规划问题的可行域是ABC的边界及其内部，线性目标函数z=ax+by在点B处取得最小值3，在点C处取得最大值12，则下列关系成立的是（）

A. 3≤x0+2y0≤12

B． x0+2y0≤3或x0+2y0≥12

C． 3≤2x0+y0≤12

D． 2x0+y0≤3或2x0+y0≥12

7． 在约束条件x≥0，y≥0，y+x≤s，y+2x≤4下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是_______．

以上题目从多角度考查了线性规划的相关知识，同学们只要抓住解线性规划题的本质就不难解决．

1. 首先要能正确画出可行域（可借助特殊点法来确定二元一次不等式表示的区域）；

2. 然后利用平移法找到所要求的最值（可借助直线的斜率来帮助判断最值点），此外还要注意目标函数的几何意义（除了通常的截距外还可能转化为两点间距离，斜率等）；

3. 最后在解实际问题时一定要仔细读题，然后根据条件列出线性约束条件和目标函数，这以后的步骤就用1、2两点的方法来解决．

同学们在解此类题目时，不管题目如何变化，只要按照所讲的步骤一步步进行下去，这些问题都会迎刃而1． B

2． A

3． B

4． D

5． C

线性规划范文第6篇

新教材增加的简单线性规划内容,不仅给传统的高中数学注入了新鲜的“血液”,而且给学生提供了学数学,用数学的实践机会。线性规划问题是教材中重点内容,也是高考中热点。线性规划问题主要考查在线性约束条件下,求可行域的面积或确定形状;求线性目标函数的取值范围、最值(如直线斜率,两点间的距离,点到直线的距离、范围等)或取最值时点的坐标。线性约束条件是由不等式(组)或方程(组)来表示的,因此线性规划必然与不等式、方程、函数等知识联系密切,而“在知识网络交汇点设计问题,促进学科内知识的交融和渗透”正好是新课程高考命题的求新点和切入点。高中阶段学习的线性规划具有工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法――数学建模法。

一、面积问题

1、(全国卷)在坐标平面上,不等式组y≥x-1y≤-3x+1所表示的平面区域的面积为_________。

解析:原不等式组去掉绝对值后转化为两个不等式组,画出平面区域,根据三角形面积公式求得答案。

二、最值问题

2、(全国卷)若x,y满足约束条件x+y≥0x-y+3≥00≤x≤3则z=2x-y的最大值为____________。

解析:z=2x-y的几何意义是斜率为2的直线的纵截距的相反数,在坐标平面上画出可行域,可得结果。

x,y满足x-y-2≤0x+2y-4>02y-3≤0则的最大值是________。

3、(江西)设实数

解析:在坐标平面上画出可行域z==的几何意义是两点O(0,0)A(x,y)连线的斜率,画图可知,在点(1, )时z最大,故所求最大值为。

4、教材第二册(上)第99页 第5题

解析:由问题的形式联想到两点间距离公式,从而利用线性规划的思想去解决。上述几题中的约束条件是以不等式的形式出现,有时以方程形式给出,如教材第二册(上)第99页 第6题

方法提炼:

①解决线性规划问题,首先找到线性约束条件,画出可行域;线性约束条件可能是关于x、y的不等式(组)或方程(组)。

②其次要确定目标函数(多是二元函数)理解它的几何意义;如:截距问题,斜率 ,两点间距离,点到直线距离。

③最后利用图解法在可行域内找到目标函数的最值及最优解。

线性规划范文第7篇

关键词:线性规划 概率

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效果是人们不可缺少的要求,而提高经济效果一般通过两种途径:一是技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好.一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.决

策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.而此类问题在课本中已经有了很多体现,在此笔者不再赘述.本文中,笔者想叙述线性规划应用的一种情况,就是用线性规划的方法解决一类概率问题.此类概率问题一般是几何概率的问题.

请看下面两例:

例1.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.

稍加分析我们不难发现,本题中显然不是一个变量,而是两个变量,即甲、乙各自到达约会地点的时间,所以可以假设两个变量.那么可以在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由x-y≤15

所对应的图中阴影部分表示.

反思说明:

(1)三角形三边长度都是在0到l之间,故每一对结果对应三条边长,分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中三角形内的任一点;

(2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来分别计算面积即可;

(3)本题的难点是把三条边长分别用x,y两个坐标分别表示,构成平面内的点(x,y),从而把边长是一段长度问题转化为平面图形中的线性规划问题,转化成面积为测度的几何概型的问题.

但是对于类似问题我们一定要注意是否是以面积为测度的概率问题,有些仍然是古典概率,如下例:

例3.如下图,从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165)、……第八组[190,195),下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足x-y≤5的事件概率.

所以上面的解法显然是错误的,问题出在哪儿呢?主要是人的个数不是连续的,而是只能取自然数,所以本题并非几何概率,而是古典概型的概率问题.正确的解法为:

我们研究数学问题,除了纵向的、深入的研究问题以外,还应该注重各知识点的横向联系,此例就是横向的将两个知识点――线性规划与概率相结合,要注意此类问题的解决方法.

线性规划范文第8篇

【关键词】研究性学习；线性规划；教学改革

随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。

1 线性规划问题

在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹

安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。

例如1-1：某工厂需要使用浓度为 的硫酸10 ，而市场上只有浓度为 ， 和 的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多少？才能满足生产需求，且所花费用最小？

设取浓度为 ， ， 的硫酸分别为 千克，总费用为 ，则

2 线性规划问题的模型

2.1概念

对于求取一组变量 使之既满足线性约束条件，又使具有线

性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。

2.2模型

3线性规划问题的求解

3.1图解法

在平面直角坐标系中，直线 可以用二元一次方程 来表示，点 在直线 上的充要条件是 ；若 不在直线上，则 或 ，二者必居其一。

直线 将平面分为两个半平面 和 ，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。另外有如下结论：

（1）若 ，则 表示直线 右侧的半平面， 示直线 左侧的半平面。

（2）若 ，则 表示直线 上方的半平面， 示直线 下方的半平面。

例1-1中，设取浓度为 ， ，的硫酸分别为 千克，取 的硫酸为 千克，总费用为 ，则

当直线 ： 向右上方移动，经过可行域上的 点，此时直线距离原点最远， 取得最大值。由 得 点的坐标为 ，代入 得， .

从图解法来看，它只适用线性约束条件中决策变量为二元一次线性规划问题的求解.对于含有三个或三个以上的求解，用图解法无法下手.如何求多元线性规划问题的解呢？下面我们以例1-2为例，介绍单纯形法的求解方法.

3.2单纯形法

显然，第一行中 的值最小，故选 进基，将第一行乘以0加到第二行，再将第一行乘以 加到第三行，然后再将第一行乘以 加到第四行，得到下表：

4 线性规划的简单应用

4.1物资调运问题（产销平衡）

运输问题一般是某种物资有 个产地 ，产量分别为 个单位；有 个销地 ，销量分别为 个单位， 与 之间的单位运价为 ，问应如何安排运输的方案，才能使总运费最低？

[例] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300t，750t，A、B、C三地的需要该产品得数量分别为200t，450t，400t，甲地运往A、B、C三地的费运分别为6元/t， 3元/t，5元/t，乙地运往A、B、C三地费运分别为5元/t，9元/t，6元/t，问怎样调运，才能使总运费最低？

如果甲生产的产品运往B之后有剩余，而且也满足B地的需求量，我们应将B所在的列的元素全部划掉，然后在剩余的元素中再找最小元素，依次类推。

4.2合理下料问题

下料问题是加工业中常见的一种问题，其一般的提法是把一种尺寸规格已知的原料切割成给定尺寸的几种毛坯，问题是在零件毛坯数量给定的条件下，如何割才能使废料最少？

[例] 某工厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm和42cm的两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率。

解法一：设每根钢材可截成60cm长的毛坯

x根，42cm长的毛坯y根，按题意得不等式

，画出直线 ： 的图象，如图（4）。

因为要截得的两种毛坯数的和必须为正整数。

所以 ，的解为坐标的点一定是第一象限内可行域的网格的交点。

如果直线 上有网格交点，那么按直线上网格交点的坐标 的值为下料方案，这时材料全部被利用，此方案就是最佳方案。从图上看直线 不能过网格交点。在这种情况下，为了制定最佳方案应该找靠近直线 的网格交点。当然不能在直线 的右上方的半平面内找网格交点，右上方的半平面任何网格交点坐标都使 。这时两种零件毛坯长度和超过原钢材的长度，这是不合理的，所以问题的最优解不能在这个区域找。

这样，下料的范围只能在 表示的可行域内，在直线 的左下方半平面内找最靠近直线的网格交点，得点 ， 就是所求的最优解。材料利用率为 。

解法二（列举法）：

4.3生产安排问题

生产安排问题是企业生产中常遇到的问题，用若干种原料生产某几种产品，原料供应有一定的限制，要求制定一个产品生产计划，使其在给定的资源限制条件下能得到最大收益。如前面的例1-2就是生产安排问题，我们不再举例。

本文着重研究线性规划的一些简单的应用及其求解方法。图解法是我们解决一些二维线性问题的最基本的方法，应该必须掌握，对于三维或三维以上的可利用单纯形法求解，单纯形法可以用来求一些比较复杂的线性规划的问题，有兴趣的同学可参阅《运筹学》。通过本文的介绍，要学会解决简单的应用问题，拓展解题思路，培养解决实际问题的能力。

参考文献：

[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.

[2]王林全， 林国泰.中学数学思想与方法[M].济南大学出版社，2000.

线性规划范文第9篇

一、 线性规划的“本来面目”

线性规划的“本来面目”,主要指线性目标函数下的最值(取值范围)问题,平面区域的面积问题和最优解问题等.这是常考不衰的基本考点.

1. 线性目标函数的最值(取值范围)问题

【例1】 设m>1,在约束条件y≥x,

y≤mx,

x+y≤1.下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为 ．

分析 虽然m的值未知,但m>1,故同样可以作出可行域,然后求出可行域的相关顶点的坐标,就是满足意义的最优解,从而求出m的值.

解 先画出约束条件y≥x,

y≤mx,

x+y≤1.表示的可行域如图:

直线x+y=1与y=mx的交点为1m+1,mm+1,得到当x=1m+1,y=mm+1时目标函数z=x+5y有最大值4,则有1m+1+5×mm+1=4,得m=3．

点评 本题属线性目标函数的最值问题的逆向问题,解决问题的关键是先确定含参数的最优解(往往是可行域的顶点坐标),进而再求参数值.

2. 平面区域的面积问题

【例2】 在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 ．

分析 欲求平面区域B的面积,必须先作出平面区域B的图形,根据题意写出平面区域B的约束条件.

解 令x+y=u,x-y=v,则x=u+v2,y=u-v2．

由x+y≤1,x≥0,y≥0得约束条件u≤1,

u+v≥0,

u-v≥0.

因此,平面区域B的图形如图.其面积为S=12×2×1=1．

点评 解决这类问题的关键是弄清原约束条件与新约束条件的内在联系.本题借助换元法将原约束条件进行线性变换,把这类平面区域面积问题的难度提高了一个层次.

点评 求平面区域表示的面积是线性规划考题中常考的一类问题,本题在此基础上要求把面积平分,可以进一步考查考生的观察能力和数形结合思想.因此借助数形结合,分析图形特征是解决这类问题的通法.

3. 实际问题中的最优解问题

【例3】 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料箱,乙车间加工原料箱.

分析 找出线性约束条件和目标函数,准确画出可行域,利用几何意义,求出最优解．

解 设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱

则x+y≤70,

10x+6y≤480,

x,y∈N.

目标函数z=280x+300y

结合图象(图)可得当x=15,y=55时z最大.故答案：15,55

点评 利用图解法解决线性规划实际问题,约束条件要注意实际问题的要求,如果要求整点,则用逐步平移法验证．

二、 “变脸”的线性规划问题

高考命题历来讲究知识的交汇,以考查考生的综合能力和创新能力,为此对于线性规划的命题,或对线性约束条件拓展,或对目标函数拓展,同时在解题中凸显线性规划思想的工具性.

1. 比值问题

【例4】 已知实数x、y满足不等式组x2+y2≤4,

x≥0.则函数z=y+3x+1的值域是 ．

分析 容易画出不等式组x2+y2≤4,

x≥0.所表示的平面区域,再将z=y+3x+1可理解为过定点P(-1,-3),斜率为z的直线族．

解 所给的不等式组表示圆x2+y2=4的右半圆(含边界), z=y+3x+1可理解为过定点P(-1,-3),斜率为z的直线族.则问题的几何意义为：求过半圆域x2+y2≤4(x≥0)上任一点与点P(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值.

由图知,过点P和点A(0,2)的直线斜率最大,zmax=2-(-3)0-(-1)=5.过点P所作半圆的切线的斜率最小.设切点为B(a,b),则过B点的切线方程为ax+by=4.又B在半圆周上,P在切线上,则有a2+b2=4，

-a-3b=4.

解得a=-2+365,

b=-6-65.

因此zmin=26-33.

综上可知函数的值域为263,5.

点评 z=y-y0x-x0表示定点P(x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率．

2. 距离(平方)问题

【例5】 已知x-y+2≥0,

x+y-4≥0,

2x-y-5≤0.

求z=x2+y2-10y+25的最小值.

分析 目标函数是非线性的.z=x2+(y-5)2=(x2+(y-5)2)2可看做区域内的点到定点M(0,5)距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题．

解 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).而z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是MN2=92．

点评 当目标函数形如z=(x-a)2+(y-b)2时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(a,b)距离的平方,这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值.

牛刀小试

1. 若平面区域D的点(x,y)满足不等式组(x+1)2+y2≤1,

x-y≤0,

x+y≤0.则平面区域D的面积是 .

2. 若实数x,y满足x-y+1≤0,

x>0.

则yx-1的取值范围是.

3. 某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得04万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得06万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为 万元.

【参考答案】

1. 1+π2 画出平面区域,如图(1),阴影部分面积S=1+π2．

图(1)

图(2)

2. (-∞,-1)∪(1,+∞) 可行域如图(2)阴影,yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得yx-1>1或yx-1

图(3)

3. 312 设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元, 可获得利润为z万元,则

x+y≤60,

x≥23y,

x≥5,

y≥5.z=04x+06y. 由图象(如图3)知,目标函数z=04x+06y在A点取得最大值．

线性规划范文第10篇

【关键词】线性规划；易错点；归纳整理

线性规划问题是实际生活中常遇到的一类问题，因此常见于各省市高考试卷中.笔者将线性规划教学中学生常见的易错点整理归纳如下，仅供参考.

案例1在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A=（x，y）|x+y≤1x≥0y≥0，求：

（1）若z=x-y，则z的最大值是；

（2）若平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}，则平面区域B的面积为（）.

A.2

B.1

C.12

D.14

错解（1）作出x-y=0的平行线，如图1，发现当过点B时z取最大值-1.

评析因为z=x-y在y轴上的截距是-z，故点A（1，0）才是使z取得最大值的最优解，所以zmax=1.事实上，对于目标函数z=ax+by，b

错解（2）令a=x+y，b=x-y则0≤a≤1，-1≤b≤1表示的平面区域如图2所示，则面积应等于2.

评析本题中忽略x与y本身的范围，应注意到a+b=2x≥0，a-b=2y≥0，所以约束条件为a+b≥0，a-b≥0，0≤a≤1，-1≤b≤1， 表示的平面区域如图3，所以阴影面积为1，即B的面积为1.

案例2设实数x，y满足x-y-2≤0，x+y-4≥0，2y-3≤0， 求z=y+1x-3的取值范围.

错解因为可行域的顶点分别为A52，32，B72，32和C（3，1），所以-5≤y+1x-3≤5.

评析线性规划问题是数形结合的典范，通过可行域如图4，可以观察得y+1x-3≤-5或y+1x-3≥5.

案例3不等式组y-x≥0，x+y-10≥0，y-3x+6≤0， 表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点，求a的取值范围.

错解因为区域D的顶点分别为C（3，3），A（5，5），B（4，6），所以a>1，515≤a≤614， 所以515≤a≤614.

评析画出可行域D如图5，发现可行域并非是封闭的三角形区域，点A（5，5）使a取最小值515，所以a的取值范为515≤a.

案例4若实数x，y满足条件y-x≥0，x+y-10≤0，y-3x+6≤0， z=x+yi（i为虚数单位），求|z+1-6i|的最大值和最小值.

错解因为|z+1-6i|可以看作可行域中的点到点（-1，6）的距离，所以画出可行域如图6，分别带入点A（5，5），B（4，6），C（3，3）得出5≤|z+1-6i|≤37，所以最大值37，最小值5.

评析本题错解在于忽视了当由点（-1，6）向直线y-3x+6=0作垂线时，垂足可能在可行域中，事实上垂足72，92恰好在线段BC上，故最小值应为22.5，最大值37.

案例5若实数x，y满足不等式35x+24y≥106，x∈N，y∈N， 求z=140x+120y的最小值.

错解做出可行域如图7所示，因为点A10635，0且由于直线l：z=140x+120y的斜率k=-76>kAB=-3524，可知当直线l向上平移过点（3，1）时z=540，过点（4，0）时z=560，故z的最小值是540.

评析本题的难点在于x∈N，y∈N，对于整点问题可利用“平行移动、代入检验”的方法解决，所以本题中还要考虑x=2，因为35x+24y≥106，故y≥32，所以考察点（2，2）得出z=520；再考察点（1，3）得出z=500；进而考察点（0，5）得出z=600.故本题最优解应为（1，3）时zmin=500.

总评

（1）若约束条件是线性的情况，则目标函数只在可行域的顶点或边界上取得最值；