一次函数\二次函数建模问题探究

【前言】一次函数\二次函数建模问题探究由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。例1、某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每价0.12元,卖出的价格是每价0.20元,卖不掉的以每价0.04元退回报社,在一个月(30天)里,有20天每天可售400份,其余10天仅售250份。但每天从报社买进的份数必须相同,他应每天从报社购多少份,才能使每月所获利润最大?最大利润...

摘要:一次函数、二次函数是两种常见的描述客观世界的基本数学模型,根据实际应用问题提供的两人变量的数量关系是否确定可把要构建的函数模型分为两类:一类是确定的函数模型,即两个变量的关系是确定的;另一类就是近似函数模型。本文就一次函数、二次函数建模问题做一探究。

关键词:一次函数;二次函数;建模

中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)02-0139-01

一次函数、二次函数是两种常见的描述客观世界的基本数学模型,根据实际应用问题提供的两人变量的数量关系是否确定可把要构建的函数模型分为两类:一类是确定的函数模型,即两个变量的关系是确定的;另一类就是近似函数模型,这类应用题提供的变量关系是不确定的,只是给出了两个变量的几组对应值(是搜集或实验得到的),这时需结合已知数据作出散点图选择合适的函数模型来解答;

作为解答应用题其一般步骤为:①审题――认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模――求解所得的数学问题;④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。下面通过例题具体说明一次函数和二次函数在这方面的应用。

例1、某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每价0.12元,卖出的价格是每价0.20元,卖不掉的以每价0.04元退回报社,在一个月(30天)里,有20天每天可售400份,其余10天仅售250份。但每天从报社买进的份数必须相同,他应每天从报社购多少份,才能使每月所获利润最大?最大利润是多少?

思维展示:通过审题明确通过利润等于“售报收入”减去“退报亏损”构造函数模型,在这里明确自变量的取值范围即函数的定义域是解题的关键,一般情况下函数的定义域是由已知条件和实际意义二者结合决定的,在解答实际应用题忽视函数的定义域是常见的思维误区。

解析:设每天从报社购进x份(250≤x≤400),则每月售出(20x+250×100)份,退回10×(x-250)份。故据题意可知此人每月获利f(x)=0.08×(20x+250×100)-(0.12-0.04)×10×(x-250)=0.8x+400(250≤x≤400),因为函数y=f(x)在区间[250,400]上是增函数,所以当x=400时,f(x)max=720元。

答:应每天从报社购400份,才能使每月获利润最大。最大利润是720元。

例2、一地区95年年底沙漠面积为95万公顷,为了了解此地区沙漠面积的变化情况,进行了连续5年的观测,并将每年年底的观测结果记录于如下表中:

试根据上述信息进行预测:

(1)如果不采取任何措施,那么到2010年底,该地区的沙漠面积大约变为多少万公顷?

(2)如果从2000年底开始,采取植树造林等措施,每年改造0.6万公顷沙漠,那么到哪一年底该地区沙漠的面积能减少到90万公顷?

思维展示:本题需根据函数图象或对已知数据特点的分析,找出模拟函数的类型,再利用已知条件去求解和验证,解答此类问题的一般步骤是:提出问题――收集数据――描述数据――分析数据――建立模拟函数――求出函数――检验――解释问题、预测变化趋势等。

解析:(1)记1996―2000年分别为第1,2,3,4,5年,则由表可得沙漠面积年增加数y与年份之间的近似关系如图所示:

观察得y与年份的函数关系的图像近似为一直线,故设y=kx+b,则由0.2=k+b0.4=2k+b解得k=0.2b=0,故y=0.2x,因原有沙漠面积为95万公顷,则到2010年底沙漠面积将大约为万公顷。

(2)设从2000年底算起,第年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷,由题意可得:95+0.2(5+x)-0.6x=90解得x=15即到2015年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷。

例3、为降低人员成本,提高经济效益,有一家公司准备裁减人员,已知这家公司现有职工m(m>9)人,每人每年可创利n万元,据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年可创利0.2n万元,但公司需付下岗职员每人每年0.8n万元的生活费,试问为取得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?

思维展示:解决本题应做到如下两点:一是将公司获得的经济效益与公司裁员人数建立关系――即建立函数模型;二是问题转化为求解函数最值后,要注意对题目中的含有的字母进行必要的讨论才能顺利解答本题。

解析:设裁员人数x人,可获得的经济效益为y万元,则y=(m-x)(n+0.2nx)-0.8nx,整理得y=-■[x2-(m-9)x]+mn,故要使公司取得最大的经济效益即确定函数在定义域上的最大值,由于-■

答:当m为奇数时裁员■人公司效益最大,当m为偶数时裁员■时公司效益最大。

答:应每天从报社购400份,才能使每月获利润最大。最大利润是720元。

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