反比例函数和一次函数的大小比较分析

一、教材的地位与作用

在中学数学学习中，反比例函数和一次函数是最重要的学习内容，也是学生学习的难点。反比例函数和一次函数是重要的数学模型，揭示了现实世界变量之间的关系，不仅一直是中考的热点题目，而且对于实际问题的解决有重要意义。关于反比例函数和一次函数的大小比较题目，是对它们知识点的综合运用。解答这类题目需要学生认真观察，做好分析，并且进行合理的推理。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.掌握反比例函数和一次函数的交点问题

2.能够利用反比例函数和一次函数的特性进行大小比较

（二）数学思想

通过学习反比例函数和一次函数的大小比较，学会分析数学图形，树立数形结合的数学思想，提高学生独立分析、独立思考的能力。

（三）问题解决

掌握反比例函数和一次函数大小比较的基本方法，能够解决其他相关的题目。

（四）情感态度

培养学生结合图形，分析问题的能力，提高学生的学习兴趣和求知欲。

三、教学重点和难点

教学重点：反比例函数和一次函数的交点以及大小比较。

教学难点：反比例函数和一次函数的大小比较。

四、教法和学法分析

教法：数形结合法、问题引入教学法、比较教学法。

学法：画图、比较、探究的学习方法。

五、教学过程

（一）提出问题，引入新课

如图所示，反比例函数的图像y1= ，一次函数的图像y2=kx+b，两函数的图像相交于两点，A（2，3）以及B点，与x轴相交于一点C（8，0），求两个函数的解析式，并求当x的取值范围是什么，y1大于y2。

教师：（1）这道题目有什么特点？会用到过去学过的哪些知识？

（2）这个图形有什么特点？你能发现哪些东西？

（3）函数的解析式你们还记得吗？根据问题和图形，你们能不能找到解决问题的办法？

设计意图：教师问题的提出主要是让学生回忆过去学过的，关于反比例函数和一次函数的知识，回顾旧的知识，引入新知识的学习。并且试着让学生自己分析图形，根据图形独立思考，发挥学生的能动性，看能不能解决反比例函数和一次函数大小比较的问题。

分析解题：这是一道基础的综合应用题，根据学过的知识，可以使用待定系数法求函数，再通过图像确定自变量x的取值范围，数形结合可以使复杂的问题简单化。求出两个函数的表达式之后，确定两个函数的交点，根据图形解答问题。解题过程如下：

将相交的点A（2，3）带入反比例函数中，可以算出反比例函数的系数m=6，已知A点和C点的坐标，（2，3）（8，0），将它们分别带入一次函数方程式中可以得到2k+b=38k+b=0，通过求解可以得到k=- ，b=4，将所有求得的未知数带入两个函数方程式中，可以得到y1= ，y2=- x+4，通过交点的特征可以求出B点的坐标为（6，1），根据图像可得，所求x取值范围是x

（二）探索交流，学习新知识

教师：（1）同学们分组交流，根据以上的解题方法，在解决反比例函数和一次函数的大小比较问题上，最重要的解题思路是什么？

（2）反比例函数和一次函数有同号和异号的区别，它们的交点有什么特征？

设计意图：通过问题，让学生进行自由交流，自己总结知识要点。引出交点问题，学习新知识。

在解决反比例函数和一次函数的大小比较问题上，寻找交点是关键的解题过程。

如果反比例函数和一次函数的系数是同号时，两函数交点在第一象限和第三象限。如果两函数系数是异号，反比例函数的系数大于0，一次函数的系数小于0，如果相交，两交点都在第一或者第三象限；反比例函数的系数小于0，一次函数的系数大于0，如果相交，两交点都在第二或者第四象限。

（三）对知识进行梳理

在解决反比例函数和一次函数的大小比较问题上，借助图形是最好的解题方式，同时要牢记反比例函数和一次函数的基本性质，做到数形结合，画出图像寻找交点，准确观察画出的垂直于x轴的直线和四个象限区域的特点，再进行大小的判定，图像在上面的是大的，在下面的是小的。

（四）布置相关作业

结合本节课学习的内容，布置课本上的习题或者课外的习题作业，巩固学生的知识，查找知识学习中的不足，有针对性地进行下一步的复习。

六、设计说明

通过本节课的学习，不仅要让学生掌握反比例函数和一次函数大小比较的知识，也要从中培养学生的数学对比思想和思考问题的能力。通过问题激发学生学习的兴趣，在课堂中充分发挥学生的主观能动性，提高学生自觉学习的意识以及创新意识，重视学生的主体地位。利用学生之间的交流合作，进行知识的总结学习，增强学生学习的成就感，也活跃了课堂的气氛。在教学中同时鼓励学生独立思考、分析数学问题、解决数学问题，并引导学生调动各个思维活动进行思考。鼓励学生在函数的学习中能够充分利用图形解答题目，图形具有直观的特点，便于学生思考。引导学生有步骤的进行渐进式思维方式，充分利用推理、判断等思维方法。同时培养学生的数学概括能力，使学生理解客观世界的数量关系，启发学生的概括思维和辩证思想。