一次函数图象的认识误区

函数是研究运动变化的重要数学模型，函数图象又是直观地描述和研究函数的重要工具.由于对函数本质的理解不到位，对变化中的数量关系的理解不深入，以及数与形双向沟通的不顺畅，在利用一次函数图象解决实际问题时，有的学生认识上存在一些误区.

一、数形分家，求解析式时的误区

例1 甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400km的B地.l1、l2分别表示甲、乙两车行驶路程y（km）与时间x（h）之间的关系（如图1）.根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求l1、l2的函数表达式.

（2）甲、乙两车哪一辆先到达B地？该车比另一辆车早多长时间到达B地？

图1

错解：（1）由图象可知，乙从A到B只用了434-34=4（h），从而求得乙的行驶速度为400÷4=100（km/h）.进一步得到乙走300km用了3h，而甲走300km则用了334h，进而求出甲的行驶速度是300÷（3+34）=80（km/h），所以直线l1、l2的函数表达式为y甲=80x，y乙=100x.

困惑：学生从图象中已经读懂了题意，并且提取到了正确的信息进行了分析，为何会在求解析式时如此“草率”，不注意直线l2不过原点呢？是学生做题不认真，还是有什么其他原因？

思考：因为学生没有能够把横轴所表示的时间x与两人的实际行走时间之间的关系搞清楚，错把两车的实际行驶时间都用x来表示，从而出现了上述错误.

纠错：图象上的横轴x表示时间，这个时间是从甲出发开始计算的，从图象上可以看出乙比甲晚出发34h，那么乙的行驶时间应为（x-34）h，所以y2=100（x-34）=100x-75.

对比：结合图象用待定系数法来求直线l1、l2的函数表达式：设直线l1、l2的解析式分别为y甲=k1x，y乙=k2x+b.由图象可知，直线l2经过点（34，0）和（434，400），代入可得y乙=100x-75.当y乙=300时，x=334.所以直线l1经过点（334，300）.代入得y甲=80x.

通过两种方法的对比，从数与形两方面来理解问题，体会两者之间的联系，有助于学生数与形之间的双向沟通，加深对数形结合思想的理解.

学生反复出错，这引起了我的思考，错误原因如出一辙，怎样才能让学生走出数形“分家”的误区？这里有一个循序渐进的过程，要把学生出错的根本原因搞清楚.我们教学时需要设计不同的问题情境，让学生在解决问题的过程中加深对相关概念的理解，并通过“数”与“形”的对比分析，澄清学生混淆的思维，理清同一问题中多个变量之间的关系，从而帮助学生走出求解析式时的误区.

二、审题不慎，画函数图象的误区

例2 在探究弹簧的长度与拉力的变化关系时，某班同学记录实验得到的相应数据如下表.则y（cm）关于x（g）的函数图象是（ ）.

错解及分析：90%的学生通过表格看出图象要分段，而且前一段的y随x的增大而增大，是一次函数关系，后一段随着x的增大y保持不变.两段函数图象自变量的分界点，学生不加思考就根据表格上的数据确定为300，所以选B.

纠错及思考：我请学生先根据表格来求y与x之间的函数关系式，学生顺利求得y=2+150x，

7.5.再请学生求出函数自变量的取值范围，由2+150x=7.5，得x=7.5.所以y=2+150x（0≤x≤275），

7.5（x>275）.学生很快发现本题应该选D.

出现上述错误，反映了学生在考虑问题时，不能深入到问题的内部，没有抓住问题的关键、核心，而是被问题的表面现象所迷惑，从而出错.因为一次函数的学习是整个初中代数函数学习的第一阶段，学生对函数概念的理解和对函数图象的认识都比较肤浅，我们要通过设置不同的问题，引导学生在考虑问题时要抓住问题的本质，深入问题的内部，要善于透过现象看本质，客观、辩证地看问题.不要被事物的表面现象所迷惑，帮助学生走出画函数图象的误区.

三、认识封闭，对图象理解上的误区

图2例3 如图2是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图象.若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ）.

错解及分析：此题的得分率不到30%，错误答案有选A的，有选C的，有一部分学生选了D答案但也说不清道理，说是猜的.

为何不能确定被选答案呢？是因为对随着x的增加而y保持不变的一段图象的错误理解.学生认为这一段时间内韩老师停止行走了，而四个被选答案中都没有能够显示韩老师停止行走的情况，所以学生就凭感觉选择了A或C.这种错误其实是学生对函数图象的“误解”，是认识上的一种封闭现象.

纠错及思考：结合选择支，我让学生画出A、B、C三种情况下y随x变化的大致图象，并和图2进行对比，学生体会到了原有认识的不足.当时间x在增加，而距离y保持不变，有可能是韩老师在以家为圆心的一个圆周上行走，在这个行走过程中，韩老师离家的距离始终等于圆的半径长，学生终于理解了本题应选D.

总之，从错误的解答过程来看，这些学生已经具备了数学建模的意识，能够抓住问题中的关键词句，利用一次函数的知识来解决实际问题，但是因为对题意理解的偏差，导致解题出错.如何促使学生走出一次函数图象的认识误区，需要我们深思.