高考平面向量核心考点揭秘

高考对平面向量的考点分为以下两类:（1）考查平面向量的概念、性质和运算，向量概念所含内容较多，如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度、垂直、夹角、判断多边形的形状等问题，此类题一般以客观题形式出现，难度不大；（2）考查平面向量的综合应用．平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强．

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平面向量的线性运算

【考纲要求】 掌握向量加、减法以及向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．

【考纲解读】 向量的线性运算以加法、减法、数乘为主体，其几何意义是对向量的方向、大小的改变，但不改变向量本身的属性．高考中侧重于对三角形法则和平行四边形法则的考查．

【经典例题】 在ABC中，AB=3，AC=1，D为BC的中点，则■·■=________．

命题意图 考查向量的加法、减法、数乘运算．

思路分析 用有向线段表示的向量都可以利用加法的三角形法则转化为由同一顶点作为始点的两个向量的差，本题可将■，■用已知条件中的向量表示，即可求解．

完美解答 ■·■=■（■+■）·（■－■）=■（■2-■2）=■（1－9）= －4．

【经典例题】 已知ABC所在平面内一点P，且满足■=■■+■■，那么（ ）

A． ■+■+■=0

B． ■+■+■=■

C． ■+■+■=■

D． ■+■+■=■

命题意图 本题考查向量的加法、减法、数乘运算．

思路分析 本题可将已知条件中的向量转化为以P为始点的向量，即可求解．

完美解答 因为■=■■+■■，所以－■=■（■－■）+■（■－■），整理可得■=－2■，将其带入各个选项，只有D符合．

【命题预测】 向量的线性运算会继续以选择题或填空题的形式进行考查，且试题可能会配以图形或以上述例题的形式进行考查．

平面向量的数量积

【考纲要求】 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【考纲解读】 高考侧重于考查向量数量积在求解向量夹角问题、投影问题、判断向量垂直关系问题中的应用，同时也越加注重考查平面向量数量积在求解平面几何、解析几何、三角等问题中的工具性的作用．

【经典例题】 点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则■·■的最大值是_________．

命题意图 本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积．

思路分析 建立如图1所示的坐标系，表示出■，■，进而可得■·■，再利用线性规划的方法求出■·■的最大值．

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图1

完美解答 以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则■=（1，-2）．

设M点坐标为（x，y），则■=（x，y），则0≤x≤2，-2≤y≤0．

令z=■·■=x-2y，由题意可得z的最大值在正方形的顶点处取得，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：zA=0，zB=4，zC=6，zD=2，故z=■·■的最大值为6．

【命题趋势】 向量数量积在2012年的高考中还会涉及，且关于向量数量积在求角，判断平行、垂直关系中的应用仍会以选择题或填空题的形式出现． 三角和解析几何中一定还会出现向量数量积的“身影”，但是总体难度不会太大．

向量的应用

【考纲要求】 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

【考纲解读】 向量在解答平面几何问题中往往起到的只是一个“工具”性作用，通过历年试题分析可知，在证明和判断直线的平行、垂直问题时，高考越来越倾向于应用向量求解．

【经典例题】 已知向量a=（1+sin2x，sinx－cosx），b=（1，sinx+cosx），函数f（x）=a·b．

（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；

（2）若f（θ）=■，求cos2■－2θ的值．

命题意图 本题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明的基本能力．

思路分析 很多问题中的向量数量积都是“昙花一现”，其实质作用就是构造三角恒等式，为解题提供三角方程．

完美解答 （1）因为a=（1+sin2x，sinx－cosx），b=（1，sinx+cosx），所以

f（x）=a·b=1+sin2x+sin2x－cos2x=1+sin2x－cos2x=■sin2x－■+1．

因此，当2x－■=2kπ+■，即x=kπ+■（k∈Z）时，f（x）取得最大值■+1．

（2）由f（θ）=1+sin2θ－cos2θ及f（θ）=■得sin2θ－cos2θ=■，两边平方得

1－sin4θ=■，即sin4θ=■．

因此，cos2■－2θ=cos■－4θ=sin4θ=■．

【经典例题】 已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右两焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF1上一点，若■·■=0，■·■=0，■=λ■，其中λ∈■，■，O为坐标原点．

（1）求椭圆C离心率e的最大值;

（2）如果离心率e取（1）中求得的最大值，已知b2=2，点M（－1，0），设Q是椭圆上的一点，过Q，M两点的直线l交y轴于点N，若■=2■，求直线l的方程．

命题意图 本题重在考查向量数量积在判断直线位置关系中的应用和向量的数乘运算的几何意义的应用，也考查了向量相等条件的应用．

思路分析 两个向量的数量积为0，则对应的两条直线互相垂直，沿着这个突破口可应用解析几何的相关知识求解问题． 向量的数乘运算除了能够根据几何意义得到对应线段长度间的比例关系外，还可以利用坐标对应相等的条件来得到方程，为求解坐标问题提供条件．

完美解答 （1）由题意知PF2F1F2，OHPF1，则有F1OH与F1PF2相似，所以■=■=λ． 设F1（－c，0），F2（c，0），P（c，y1），其中c>0，则有■+■=1，解得y■=■，所以PF■=y■=■． 根据椭圆的定义得F1P=2a－PF■=2a－■，所以λ=■，即■=■． 所以e2=■=1－■=■－1． 显然e2=■－1在■，■上是单调减函数，当λ=■时，e2取最大值■，所以椭圆C离心率e的最大值是■．

（2）由（1）知e2=■=1－■=1－■=■，解得a2=4，所以此时椭圆C的方程为■+■=1． 由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k）． 设Q（x1，y1），由于■=2■，所以有（x1，y1－k）=2（－1－x1，－y1）．所以x1=－■，y1=■． 又Q是椭圆C上的一点，则■+■=1，解得k= ±4，所以直线l的方程为4x－y+4=0或4x+y+4=0．

【命题趋势】 在新一年的高考中，向量在解析几何、三角问题中的应用只会有增无减，而且对于解析问题会进一步深化向量法解题的广度和力度． 试题主要以解答题的形式出现．