数学解题过程中的合情推理

一

培养学生数学解题的能力，是高中数学教育的目标之一。解题能力的培养只有在有效的思维训练中才能实现，运用科学推理探索解题思路，观察、联想、类比等方法一直贯穿始终。学生通过感知、发现、再创造等的活动，体验到了解题的全过程。

在数学解题的整个过程当中，对于解题方法的探索是关键所在，原因在于它是一种由已知向未知转化的过程。数学解题的分析过程中，就是对题目提供的信息进行整合，也是一种数学猜想的过程：根据既有的条件和已有的数学知识对未知值及其相关关系所作出的一种推理。

一般来讲，解题方法的探索过程可以概括为三个步骤：一是回忆，在大脑里搜索是否存在与当前问题相关的定义、公理和法则等；二是联想，联想与当前问题类似或接近的题目及其解决方法和结论；三是猜想，以已有的认识结构为基点，通过各种深层次的思考，猜想解题的方法并预测解题的结论。显然，合情推理在寻求数学的解题的方法的过程中是不可或缺的。运用合情推理探索解题可以概括为三个步骤：

1.知识准备。这里不仅是准备与问题有关的公式、定理或者法则，还应归纳、类比、联想与当前问题类似或接近的题目及其解决方法和结论。这样“一线串珠”可以让学生将所学知识进行概括整理，最大化的做好解题准备。

2.整合题设条件。题目所提供的条件有的很少，有的很多，有的直接指向结论，有的看似与结论毫不相干，所以对条件的进一步理解，整合非常重要。

首先，对条件进行归纳分析。归纳是一种从特殊到一般，从个体到全体的整合过程，这之间有一定逻辑关系，又不一定完全基于逻辑，这使得它有很大的创造性，适用于条件较少时从简单条件出发挖掘出深层次的信息。

其次，对条件进行类比分析。很多题目中的条件之间有类似的地方，类比这些条件之间的区别和联系，就可达到条件的迁移，使学生进一步理解条件，获取到新知。

再次，对条件进行联想分析。这通常适用于题设条件无指向，无从下手时，可通过条件的某一特征联系到相关知识点或相关结论，这是在自身有了一定程度的相关方面的积累才能得到结论的过程，同时也是发现新问题，解决疑难问题的手法之一。

3.探究解题方法。数学解题中，合情推理思维是通过一定步骤进行的猜想，是以已有的认识结构为基点，通过各种思考，猜想解题的方法并预测解题的结论。合情推理在寻求数学的解题的方法的过程中是不可或缺的。合情推理的过程存在于解决数学题目的始终，看到条件尝试推断结论，用什么数学方法解决题目，这些都是类比、联想、归纳、猜测、检测等合情推理手段的运用。

二

1.用归纳推理探索解题思路的具体案例

例：已知函数f(x)=■，f1(x)=f(x)，当n≥2时，fn(x)=f(fn-1(x))，试求fn(x)的解析式，并证明。

【分析】本题很明显应先归纳猜想后加以数学归纳法的证明。

解：f2(x)=f(f1(x))=f(■)=■=■

f3(x)=f(f2(x))=f(■)=■=■

f4(x)=f(f3(x))=f(■)=■=■

由此归纳猜想fn(x)=■

【证明】略。

归纳推理在解题中有发现思路，发现结论的作用，它的思维过程是由特殊到一般，从观察、试验、对比、辨析到归纳、推理。但在具体解题中不能直接作为解题过程，应对猜想结论给予证明。

2.用类比推理探索解题思路的具体案例

例：类比是引路者，等差数列和等比数列有许多相似的性质，根据等差数列的结论，类似的得到等比数列的结论：

■

【分析】等差数列、等比数列是常见考察类比的知识点，它们在形式上有一些常见的类比对应：

■

由类比对应可知：bn=bmqn-m

Bn=■

在高中数学的诸多知识点中运用类比推理时，相应的变换是有规律可循的。在具体的问题情境中应注意归纳和总结，并应注意到：类比推理的结果并不一定正确，从不同的角度去推理也会推理出不同的结果；但在具体解题中，答案应该是唯一且准确的，所以必要时可加以证明来保证答案的正确。