应用柯西不等式解决数学问题的实例

柯西不等式历史悠久、形式完美、结构巧妙，在许多数学领域都有广泛应用。通过学习柯西不等式，提高学生本身的数学探究能力、创新能力、实践能力等，以求进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新思维、激发学生的学习兴趣、提高学生的数学素质。

柯西不等式的内容：设a1,a2,……，an;b1,b2,……,bn为两组实数，并且ai≠0,(i-1,2,……,n)，则

(a1b1+a2b2+……+anbn)2(a21+a22+……+a2n)(b21+b22+……+b2n)

当且仅当b1a1=b2a2=……=bnan时等号成立。

柯西不等式将两列数中各项乘积的和与和的乘积巧妙的结合在一起，准确抓住其数字结构特征、深刻认知其数字结构内在关系、拟形构造其数字结构形式，可以使许多复杂的问题简单化。

一、利用柯西不等式证明有关不等式〖HTSS〗

【例1】已知a、b、c、d为实数，求证：(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2.

分析：显然不等式两边我们可以利用多项式乘以多项式，展开上式的两边然后再比较大小，但计算量比较大。如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，借助柯西不等式去证就非常容易了。

证明：(a4+b4)(a2+b2)=［(a2)2+(b2)2)］(a2+b2)(a2•a+b2•b)2

=(a3+b3)2

评注：既避开繁杂的计算，又解决了问题。可见柯西不等式是一个非常重要的不等式，巧妙的应用它，可以使类似问题迎刃而解.

【例2】已知a、b、c、d为实数，证明不等式：.

a2+b2+c2ab+bc+ac.

分析：常规方法我们可以借助三个基本不等式a1+b22ab，

b2+c22bc，a2+c22ac相加得证，但注意到它形式的特点，我们可以巧用柯西不等式。

证明：(a2+b2+c2)(b2+c2+a2)(ab+bc+ac)2

开方：即a2+b2+c2ab+bc+ac.

评注：构造柯西不等式，简洁明了，一步到位！〖BP）〗

二、利用柯西不等式求最值〖HTSS〗

【例2】已知5x2+6y2=1，求2x+3y的最大值.

分析：欲利用柯西不等式解此题，需要构造已知条件5x2+6y2=1。

解：(2x+3y)2≤［(2〖KF(〗5〖KF)〗)2+3〖KF(〗6〖KF)〗)2］［(〖KF(〗5〖KF)〗x)2+(〖KF(〗6〖KF)〗y)2］〖JP〗

=〖JB((〗45+96〖JB))〗(5x2+6x2)=2310，开方即有2x+3y≤〖KF(〗230〖KF)〗10，所以〖KF(〗230〖KF)〗10为其最大值

评注：不难发现已知的方程是椭圆x215+y216=1的方程，我们可以借助椭圆的参数方程：x=〖KF(〗15〖KF)〗cosα且y=〖KF(〗16〖KF)〗sinα将所求问题转化成三角问题去求解；也可以想到设2x+3y=k，然后借助直线2x+3y=k与椭圆5x2+6y2=1有公共点这一条件去求解，但上述两方法都很麻烦.而利用柯西不等式更简洁，易懂。

本题也可变式为：已知2x+3y=1求5x2+6y2最小值。同样可用柯西不等式求解。

〖BP（〗【例4】求y=5〖KF(〗x-1〖KF)〗+〖KF(〗10-2x〖KF)〗的最大值.

分析：利用题中隐含条件(〖KF(〗x-1〖KF)〗)2+(〖KF(〗5-x〖KF)〗)2=4构造柯西不等式。

解：(5〖KF(〗x-1〖KF)〗+〖KF(〗2〖KF)〗〖KF(〗5-x〖KF)〗)2(52+〖KF(〗2〖KF)〗2)(〖KF(〗x-1〖KF)〗2+〖KF(〗5-x〖KF)〗2)

=27×4=148

y=5〖KF(〗x-1〖KF)〗+〖KF(〗2〖KF)〗〖KF(〗5-x〖KF)〗〖KF(〗148〖KF)〗=6〖KF(〗3〖KF)〗，

当且仅当〖KF(〗2〖KF)〗〖KF(〗x-1〖KF)〗=5〖KF(〗5-x〖KF)〗时等号成立，即x=12727时ymax=6〖KF(〗3〖KF)〗.

评注：在上述运用柯西不等式解决问题的过程中让我们真切地感受到了它的简洁、对称的美感。〖BP）〗

三、利用柯西不等式推导点到直线的距离公式〖HTSS〗

【例3】已知点P1(x0,y0)及直线l:Ax+By+C=0(A2+b2≠0)

设点P(x1,y1)是直线l上的任意一点，则P1,P2两点间的距离就是｜P1P2｜最小值d，

｜P1P2｜=〖KF(〗(x0-x1)2+(y0-y1)2〖KF)〗

又〖KF(〗A2+B2〖KF)〗〖KF(〗(x0-x1)2+(y0-y1)2〖KF)〗｜A(x0-x1)+B(y0-y1)｜

=｜Ax0+By0+C-(Ax1+By1+C｜

Ax1+By1+C=0

〖KF(〗A2+B2〖KF)〗〖KF(〗(x0-x1)2+(y0-y1)2〖KF)〗｜Ax0+By0+C)｜

即｜P1P2｜=｜Ax0+By0+C｜〖KF(〗A2+B2〖KF)〗

d=｜Ax0+By0+C｜〖KF(〗A2+B2〖KF)〗〖BP（〗

四、利用柯西不等式解释样本线性相关系数r〖HTSS〗

在“概率论与数理统计”一节中，在判断两个变量是否具有线性相关关系中，由样本相关系数

r=∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗(xi-x〖TX-〗)(yi-y〖TX-〗)

〖KF(〗∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗(xi-x〖TX-〗)2∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗(yi-y〖TX-〗)2

〖KF)〗

，并指出｜r｜1,且｜r｜越接近于1，相关程度越大，｜r｜越接近于0，则相关程度越小.现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数｜r｜1。

现记ai=xi-x〖TX-〗，bi=y-y〖TX-〗，则由柯西不等式有

(a21+a22+……+a22)(b21+b22……b2n)(a1b1+……anbn)2

〖KF(〗(a21+a22+……a22)(b21+b22……b2n〖KF)〗｜a1b1+……anbn｜

｜a1b1+……anbn｜〖KF(〗(a21+a22+……+a22)(b21+b22……b2n)〖KF)〗1

即｜r｜=｜∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗aibi｜〖KF(〗∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗a2i∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗b2i〖KF)〗1，｜r｜1

当｜r｜=1时，∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗(aibi)2=∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗a2i∑〖DD(〗ni=1〖DD)〗b21此时，yi-y〖TX-〗xi-x〖TX-〗=biai=k，k为常数.

点(xi,yi),i=1,2,3……n均在直线y-y〖TX-〗=k(x-x〖TX-〗)上，且｜r｜越接近于1，相关程度越大，反之｜r｜越接近于0，相关程度越小.〖BP）〗

柯西不等式不仅在数学学科上有广泛应用而且在物理、生物等其他学科上也有重要应用。它的价值和重要性不光在于它的结构造型完美、简洁、流畅，更在于它是我们探索真理和科学奥秘的一把利器。灵活巧妙的应用它，可以使复杂困难问题简单化，它会让我们更深刻地感受到数学的美妙、科学的深奥！