数字示波器中插值算法误差的分析

摘要：本文主要介绍了插值算法在数字存储示波器中的应用,通过编程和仿真分析了利用正弦插值对几种不同波形的恢复结果,计算和比较了相关的均方误差。

Abstract: This paper introduces the application of interpolation algorithm to digital oscillograph.According to programming and simulation, the instauration results of sinc interpolation for form of some kinds of waves are compared, and the RMS errors are computed and analysed.

关键词：数字存储示波器；正弦插值；线性插值；均方误差

Key words: digital oscillograph；sinc interpolation；linearity interpolation；RMS errors

中图分类号：TN911.72文献标识码：A文章编号：1006-4311（2010）34-0168-02

0引言

在理论上，对于一个带宽受限信号，只要用高于该信号最高频率2倍的采样频率对其采样，就可以用采样后得到的样本值不失真地恢复原始信号[1]。虽然采样定理中只要满足采样速率大于等于两倍的信号频率就可以恢复被采样信号，但实际采样时，每周期要采到25点，才能较好的恢复被采样信号的波形，所以，在数字示波器的较高扫速档（采样速率较高的档），要将采样数据插值处理后，才送到屏幕显示波形[2]。

1线性插值

线性插值是在两个采样点之间插入一点，用直线将采样点和插值点连接起来[3]。插入点的数据y（t）可用下式进行计算：

y（t）=×y（t）+×y（t）

其中t1、t2为相邻两采样点的时刻。

2正弦插值

Sinx/x插值又称正弦插值，这种插值方法是对数据进行函数运算后用曲线将各个样点连接起来[3]。

设x（t）是数字存储示波器的输入模拟信号，对该信号进行采样，采样周期为T，则得到等间隔采样的样点x（n）=x（nT），n为1，2，N，其中N是示波器记录长度，设x（t）和x（n）的傅里叶变换分别是X（）和X（ejT）。

显然：X（e）=X（），-

内插的目的是得到一个比输入信号采样率高的信号序列，如果采样频率提高D倍，则采样周期降低到T′=T/D，得到的序列为：y（n）=x（nT′）。Y（n）的傅里叶变换为：

Y（ejT′）=X（），-

比较两者频谱可以看出，采用一个滤波器滤除中心频率位于±，±，±，±的不需要的频谱并调整X（e）的增益就可以得到更高采样率的序列。

根据上述原理，为了获得具有更高采样率的序列y（n），首先需对x（n）进行增采样，得到增采样序列v（n），然后对v（n）采用低通滤波实现sin（x）/x内插。

由以上的讨论可知，内插滤波器h（k）必须近似低通滤波器，所以，第0个多相滤波器的冲击响应为一个单位脉冲，这意味着第0个多相的输出等于输入填入L-1个0，而这些值中间的另外L-1个采样值必须通过多相滤波器插值得到。从数字滤波器的讨论看，多相滤波器对于输入信号相当于一个全通滤波器，即它不改变输入信号，仅仅起平滑作用[4]。

图1为利用多相结构实现数字低通滤波器的内插滤波器。

设x（n）为以T为间隔采样得到的已知序列，在两个采样点之间插入M个点，构成长度为M的序列，可推导得：Cm（nT）=∑x（nT）sin（n-k）+m/（M+1）T*Pi/（n-k）+m/（M+1）T*Pi

上式就是正弦插值公式，利用它来插值的方法为正弦插值法。

3误差分析

采用插值算法恢复的波形和原始波形必然有误差，但是对于正弦插值算法来说，算法中的各个参数不同误差也不尽相同。由于方波本身存在上升沿和下降沿，所以一个周期内的采样点数必须足够，以确保在上升沿和下降沿有足够的采样点。

对于方波测量，下表列出了与有限的取样率相关的误差，计算使用前后80点，4倍插值。

每周期两个采样点时，设误差是100％，每周期4个采样点，误差达62％。每周期8个采样点，误差降到14％，而当采样点达到16个时，误差已经只有0.02％了。

由于方波中存在上升时间，必须在上升沿采样足够的点。为精确使用正弦内插，最高谐波不得超过奈奎斯特频率。简言之，为了精确测量上升时间，至少在上升沿有两个取样点。上表中的方波是一个周期为2带上升沿和下降沿的函数，并且它关于y轴对称。上升斜率和下降斜率分别为4和－4。所以要在上升沿有两个采样点，一个周期内至少要采样8个点，测量结果也说明，只有在这种情况下，误差才会有明显的降低。

误差不仅和一个周期的采样点数密切相关，和其他因素也紧密相联，下面作具体误差分析。

3.1 每周期相同采样点数，同时采用相同采样点数计算，而插值倍数不同时的误差比较从表2中可以看出，对应于同样的每周期原始采样点数，同样的计算使用点数，插值倍数越高，误差呈增大的趋势。所以只要能够恢复原始波形，选择合适的插值倍数即可，并不是插值倍数越大越好。

3.2 每周期相同采样点数，同时采用相同插值倍数计算，而用于计算的采样点数不同时的误差比较从表3中可以看出，对应于同样的每周期原始采样点数和插值倍数，计算所用的点数增多，最终的误差呈减小的趋势。这说明计算所用前后点数越多，恢复出的波形越接近原始波形，而所用点数到一定的限度时，误差变化减缓，这说明远处的波形对所要恢复的波形影响不大，所以计算所用前后点数并不要求太多，一方面，波形基本稳定，而另一方面，还有可能使得误差加大。

3.3 采用相同插值倍数计算，并且使用于计算的采样点数相同时而只是改变每周期采样点数的误差比较从表4中可以看出，对应于同样的计算使用点数和插值倍数，原始采样点采集的越多，最终的误差就越小。这和实际分析是完全一致的，本身数据采集得越多，最终的波形也就越接近原始波形。

3.4 每周期采样点数相同，采用相同插值倍数计算，并且使用于计算的采样点数相同时各种波形的误差比较从表5中可以看出，正弦波采用正弦插值后的均方误差最小，这是因为正弦波本身用正弦插值恢复与原波形很接近，而三角波和方波则会有较大的误差。

3.5 采用正弦插值与线性插值时的误差比较简单的对比可以发现当原始波形是正弦波时，利用正弦插值来恢复，其误差比线性插值的效果要好的多；而当原始波形是方波或者三角波时，则利用线性插值恢复的效果要更好一点。

应该指出的是不管采用什么样的数字信号处理方法都不能提高理论上的示波器带宽。但是同样的采样频率，采用不同的处理方法得到的示波效果却可能是不一样的。当信号频率远低于奈奎斯特频率时，一般的线性内插也可以得到较好的效果，而当信号频率接近于奈奎斯特频率时，采用正弦内插方法可以得到更好的效果，并且，内插因子（即插值倍数）越大，内插精度就越高，由此，示波器的带宽性能也得到了改善。

参考文献：

[1]（美）AV奥本海姆，R W谢弗.数字信号处理[M].北京：科学出版社，1980.

[2]刘益成，罗维炳.信号处理与过抽样转换器[M].电子工业大学出版社，1997.

[3]周培德.算法设计与分析[M].北京：机械工业出版社，1992.

[4]林茂六，高速采样信号数字内插理论与正弦内插算法研究，电子学报，2000，（28）12：8-10.