如何在教学中渗透数形结合思想

【摘 要】“数”、“形”是数学中的两大基本问题，数学的所有问题几乎都围绕这两个方向展开。数形结合思想的目标是掌握知识、解决问题、领悟思想的统一；教师在教学的过程中应当目标明确，突出重点地来引导学生对数形结合的认识，理解和把握，达到让学生能够学以致用的目标。

【关 键 词】数形结合；几何与代数；数学思想；不等关系

中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1005-5843（2013）06-0165-03

我国新一轮课程改革提出要使学生获得基础知识与基本技能的过程，同时学会学习。[1]随着课程改革的不断深入，教师不仅注重数学基础知识的传授，还越来越多地注重思想方法的教学。那么，数形结合作为中学生必须要掌握的思想方法之一，也被教师们十分看重。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性，数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”；第二种情形是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”。[2]然而，在现实的教学过程中，很多教师往往为了结合而结合，并没有达到“以形助数”或“以数解形”的目的，使得学生并不能够真正掌握、运用数形结合的思想。一个渗透了数形结合思想的教学案例能够使我们更好地认识数形结合，为我们运用数形结合思想提供方向。江苏省特级教师樊亚东老师执教的“不等关系”就是这样的一堂课。

一、教学实录

“不等关系”是苏教版高中教材必修5的一节内容，教材中对于这一节并没有太多的展开，只有3个实际问题及其解答过程来帮助学生理解不等关系。一般的教法都是跳过这节内容，部分会花半节课的时间来解答教材上的3个问题。但是，樊亚东教师采取了不同的教法，并且取得了成功。在“不等关系”这节课中，教师多次运用了数形结合思想，让学生更好地认识和解决问题。我在此选取的只是课堂的2个片段，实际上，数形结合思想贯穿了课堂始终。

【片段1】

师：比如说y=x+1，这是一个一次函数，我们对一次函数的研究主要从数形结合的角度展开的，如下图。

师：在图像y=x+1中，如果令y=0，就转化为一个一元方程x+1=0，解这个方程也就是要找图像与x轴的交点。这个交点是（-1，0），-1又叫方程的一个解。我们已经知道了方程和相应的一个函数之间的联系。那么，怎样来研究x+1

生：x+1

师：体现在图像上是怎样呢？

生：x

师：这些点对应的x就是使得这个不等式成立的那些x。把它们一个不漏集中起来就成了不等式的解集。

【片段2】

师：如果我们碰到新的不等式如x2+2

师：那么如何研究不等式x2-1

生：x2-1

师：那么x2-1

二、课例研析

“不等关系”的教学为什么能取得成功？关键在于教师在教学的过程中将思想方法有效地渗透在教学中。樊亚东教师在学生已经学习过的函数图像的相关知识基础上进行了数形结合思想的教学，并且和学生一起进行对函数图像更加深入的研究，达到对不等式的一个更加具体的认识，在分析的过程中渗透了数形结合的思想。

1. 有效渗透数形结合思想的目的：掌握知识、解决问题、领悟思想。学习的过程不应当忽视基本知识和技能。[3]教师在教学过程中运用新思想方法的目的首先是为了促进学生对新知识的理解。例如，樊亚东老师在教学过程中运用了函数图像来帮助学生理解不等式的涵义。刚开始学生学习不等式的时候，可能无法理解不等式的内涵而单纯地把不等式看做一个代数式。但是他在课堂中利用了已经学过的y=x+1的图像帮助学生了解不等式x+1

数学最重要的是解问题。[4]学习新知识的目的是为了解决新问题。同样地，学习新思想方法的目的也是为了解决新的问题，掌握解决新问题的方法。因此无论是学习新知识还是新思想方法都是为了解题而服务的。但是想要正确地进行解题，就必须要对知识和思想有深入的了解，把握它们的内涵，并将之融入到自己的知识体系中，这样才帮助学生习得解决问题的新技能。

教学的最终目标是让学生领会到课堂中所体现的思想。当学生学习到的仅是知识和技能时，学生只能够解决相应知识的相关的问题。但当学生能够领悟思想方法时，学生就能够进行知识和方法的迁移，这才是有效的教学，才是课堂教学的目标。[5]

就“不等关系”的教学而言，樊亚东教师先是用y=x+1的图像促进学生对不等式x+1

2. 有效渗透数形结合思想的方法：目标明确、围绕重点。教学的过程必须要有一个明确的目标，它对教师的教学起着指导作用，能够保证教学内容的顺利实现。[6]教学目标对整节课的组织和进行都有着重要的领导、统率的作用。因此，教师需要明确一节课的目标，并且对目标进行不同层次的剖析，在教学过程中也要围绕这个目标来展开教学帮助学生逐渐实现不同层次的目标。在樊亚东教师的教学中，他先是运用函数图象来帮助学生理解不等式的涵义，帮助学生达成了掌握新知识的目标。接着，他又提出了x2-1

教学重点也是教师在教学中应当重点表现出来的，教学重点是教师对教学目标的更深层次的把握。如果教师的教学没有重点，教师就无法合理组织一节课的教学内容，教学内容就会显得零散。学生就更加无法把握一节课的重点，就会对教学内容产生模糊不清的感觉，那么这节课的学习效果也就会低于预期，这不仅会影响学生当前的学习，对学生以后学习类似内容也会产生影响。因此，教师在进行教学活动之前，就应当对教学目标进行深入的剖析，找出教学的重点之后再进行教学内容的选取。在内容的组织和语言的表述方面也应当要注意对教学重点的强调，那么学生就能够在教学的众多内容中抓住重点，进行对数形结合思想的深入探讨，认真领会在教学过程中要掌握的思想内容。在樊亚东教师的教学中，他一直反复强调函数图像和不等式之间的关系，那么学生就能够从教师的教学语言中体会出要掌握的重点是图像和不等式之间的关系。在这基础上，学生才能够去了解和领会数形结合思想。

因此，想要在教学过程中渗透数形结合思想，就需要将这种思想作为教学的主体，围绕这个思想丰富教学内容，开展教学活动。在教学的过程中，也要目标明确，突出重点，引导学生对数形结合思想的认识、理解和掌握。

3. 有效渗透数形结合思想的结果：学以致用、知识迁移。在“不等关系“的教学中，刚开始是由教师运用y=x+1的图像帮助学生了解不等式x+1

有效渗透数形结合思想的另一个表现是学生能够把学习到的知识、思想由一个问题迁移到另一个问题，由一个情境迁移到另一个情境。学生原有的知识结构是实现学习迁移的“最关键因素”。[7]因此，教师首先要合理安排教学，将所要传递的思想方法合理地传达出来，使学生能将之内化到自己的知识结构中，这样才能帮助学生形成知识的迁移。例如，在课堂的最后，教师布置了三个思考题，其中第三个题目是：先作函数z=1-（x+y）的图像，再用阴影表示不等式1 x+y的解集。其实，这个内容对于学生来讲还是陌生的，但是在课后，很多学生都能够正确地解答这个问题。这就是因为通过教师的教学，学生已经真正地领会到数形结合思想的内涵，能将数形结合思想内化到自己的知识结构中，形成知识的迁移。

因此，在教学过程中渗透数形结合思想，帮助了学生基础知识、基本技能、思想方法的共同发展，提升了学生的认知水平。更重要的是，由教师在教学过程中引导学生进行对数形结合思想的认识和理解，让学生真正地掌握了数形结合思想，并把学习到的思想运用到解题中，学以致用。

参考文献：

[1]教育部.基础教育课程改革纲要（试行）[N].中国教育报，2011-7-27，第2版.

[2]陈玉娟.数形结合思想贵在“结合”―一类问题错解引发的思考[J].数学通报，2012（10）.

[3]郑毓信.从课程改革看数学教育理论研究[J].数学教育学报，2007，16（1）.

[4]阿蒂亚.数学的统一性[M].袁向东，译.辽宁：大连理工大学出版社，2009：52.

[5]涂荣豹.数学学习与数学迁移[J].数学教育学报，2006，15（4）.

[6]王本陆.课程与教学论[M].北京：高等教育出版社，2009：154-156.

[7]李梅.教育心理学[M].江苏：江苏教育出版社，2008：132.

[8]吴晓红，宋磊，张冬梅，束艳.什么是有效的合作学习――基于“米的认识”的解读[J].课程・教材・教法，2012，32（8）.