初中数学应用题的妙解

数学是一门基础科学，更是一门解决相关学科问题的工具。在科学技术飞跃发展、素质教育全面推进的今天，应用数学的地位显得格外重要。我们知道，学习数学的目的，就是解决实际生活中的问题，比如现代社会中小到日常的家庭理财，大到国家的航空航天，无论哪一件事情、哪一个行业，可以说都和应用数学密不可分。如何学好应用数学，掌握初中数学应用题的解答是基础，更是关键。下面，我就十几年的数学教学经验略谈几点有关方程应用题的求解。

一、仔细审题，准确会意

应用题是用文字加数字（已知数字与未知数字）来表达所提问题的题目。要想解答出答案，首先就要对文字、数字的表述进行仔细阅读，抓住题目中的关键字词，找出数量，并一一列出所有的这些量，再通过阅读理解题目，找到这些量之间的关系。然后在心里确定哪些是已知量，哪些是未知量，已知量和未知量之间如何建立等式（列方程）等。要是题目阅读完了，心里对各量之间有什么关系还没掌握，那说明仔细审题、准确会意这一步还没达到，就要进一步仔细审题。

例题1 有一个水池，有甲乙丙三个水管，甲乙是进水管，丙是出水管，单独开放甲管16分钟可将水池注满，单独开放乙管10分钟可将水池注满，单开丙管20分钟可将全池的水放完，现在先开甲乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问又经过几分钟才能将水池注满？

分析：此题为工程问题。题目中涉及到的量有甲进水量，乙进水量，丙出水量。还有一个量那就是水池的容积量（隐含量）。这四个量中，前三个量都是很容易掌握的，但是对于水池的容量没有注意或者掌握，可能会对下一步的列方程会有障碍，此题为工程因此隐含量看作是1。水注满水池，意味着流进的水量减去流出的水量等于水池的容积。

流进的水量-流出水量=全池水量（1），进一步分析，流进的水量等于甲乙两管进水量的和，而流出的只有丙管水量。对于（1）式可改写为：甲管进水量+乙管进水量-丙管出水量=全池水量（2），水量又与水管大小和开闸的时间有关，全池水量看作是1，知道时间，但不知道每个管的单位时间的进出水量，所以要根据四个量求出每个管单位时间里的进出水量。

由于单独开放甲管16分钟可将水池注满，可得：单位时间甲管进水量×16=1，单位时间甲管进水量=。同理可得：乙管单位时间进水量×10=1，乙管单位时间进水量=；丙管单位时间出水量×20=1，丙管单位时间出水量=。

第一步是解答应用题重点中的关键，有了这一步，下面几部就容易了，也很简单。

二、设置未知数，建立方程

结合第一步，我们设出未知量，写出方程。一般情况下，应用题中不知道的量就设为未知量（x），说简单一点，就是求什么，我们设什么。什么量未知，什么就是x。例1中，由于未知的量是时间，所以就设又经过x分钟水池将注满水。这样，解答就进入了第二步。

解：设又经过x分钟水池注满水，根据题意（第一步）有（+）×4+×x-×x=1。

有些题目中未知量不止一个，也有可能是两个、三个（初中很少有这样的应用题），从中找到未知量与未知量之间的关系，就可以用一个未知数（x）设出两个或三个以上的所有未知量。要是不能，那我们就必须设两个或三个以上的未知数（x、y、z……），但必须要能根据题意列出相应未知量个数的方程来，否则审题就不准确。这样，列出方程，解二元一次或三元一次方程组，就可解答出未知量来。

例2 某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其中A商品进价是每件1200元，售价是每件1380元，B商品进价是每件1000元，售价是每件1200元，问该商场购进A、B两种商品各多少件？

分析：由于所求的是A、B两种商品各多少件，也就是有两个未知量，要是设A的件数是x，B的件数不好求出来，所以，还需要设B的件数为y。经过审题，掌握各量之间的关系，可建立两个等量关系：1200x+1000y=360000 ①，180x+200y=60000②。由①、②联立方程组可解答出x与y的值。

三、正确解方程，取其有意义的解

有关二元一次不等式中取整数解的题目中，要根据题意，取舍所解，写出有意义或者符合题意的解。

例3 某种电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑感染几台电脑？

分析：假设每一轮感染中1台电脑会感染x台电脑，那两轮后有81台电脑感染，从而可得（1+x）2=81，解得x=8或x=-10。

由于x是电脑台数，实际生活中，物品的数量不能为负，因此，x=-10是不符合题意的，是不能作为正确的解，所以我们要舍去，取有意义的8为本题的解。

取舍所解，主要还是审题，在审题时，应弄清楚未知量能不能取负数，能不能取分数。其实就是看未知量的单位，如单位是分钟（表示时间），那可以取分数，但不能取负数。单位如果是个，就不能取负数，也不能取分数。总的来看，就是看表示单位的数字可不可以连续，比如时间长度都可以是连续的数值，比如书本、课桌就不可能为分数。当然了，具体问题中具体分析，有些也不是绝对的。

四、答要准确，带有单位

此环节较简单，也最容易，但是，答的过程是一道应用题中解答中不可少的部分，只有答清楚，老师在评阅中才能一目了然。综合上述，解答例1

解：设又经过x分钟水池注满水，根据题意有（+）×4+×x-×x=1，解此方程可得x=7。

答：又经过7分钟才能把水池注满。

此时，我们才发现，解答应用题的过程书写很简单。因此，能让学生正确解答一道应用题，主要还是前面三步：仔细审题，深入思考；找到各量之间的关系，建立等式（不等式）；准确求解，取其符合题意的解。这才是解答应用题的关键所在！