有效利用教材 构建知识网络

摘 要：以人教版《平面向量》这一章节为例，从平面向量的运算、平面向量的几何意义、平面向量基本定理这三个方面入手，详细阐述在新课改中如何有效利用教材，构建知识网络，使教师的教和学生的学都做到有的放矢.

关键词：教材;知识网络;向量运算;几何意义;平面向量基本定理

新一轮课改高考命题原则是：立足基础，切合教材，贴近生活，背景公平，控制难度.构成原则的五个词组，几乎每个词组都与课本有关.这种回归课本的导向作用，有利于命题的稳定，有利于中学数学教学的稳定.理清教材知识脉络，将数学各知识点串成线，联成网.下面就人教A版《平面向量》谈谈有效利用教材，构建知识网络.

一、向量运算，作为主线贯穿始终

在章节文字说明中有这样两段话：“如果没有运算，向量只是一个路标，因为有了运算，向量的力量无限”“向量概念引入后，全等和平行（平移），相似，垂直，勾股定理就可转化为向量的加（减）法，数乘向量，数量积运算（运算律），从而图形的基本性质转化为向量的运算体系”.这给整个平面向量的教学定下了基调：向量运算.

例1 ？摇（课本例题）平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图1.■=■+■，■=■-■，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

分析：不妨设■= ■，■=■，则■=■+■，■=■-■，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算|■|■与|■|■.

解：|■|■=■・■=（■+■）・（■+■）=|■|■+2■・■+|■|■.①

同理|■|■=|■|■-2■・■+|■|■.②

观察①②两式的特点，我们发现①+②得

|■|■+|■|■=2（|■|■+|■|■）=2（|■|■+|■|■）.

即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.若用此结论，则例2可以快速解决.

例2 （2014浙江理）记max{x，y}=x，x≥y，

y，x

x，x

（A）min{|■|+|■|，|■|-|■|}≤min{|■|，|■|}

（B）min{|■|+|■|，|■|-|■|}≥min{|■|，|■|}

（C）max{|■+■|■，|■-■|■}≤|■|■+|■|■

（D）max{|■+■|■，|■-■|■}≥|■|■+|■|■

分析：本题四个选项考查向量的运算，主要找图1中所有要素■=■，■=■，？摇■=■+■，■=■-■之间的关系.

解：显然（A）（B）是错误的，由例1的结论可知：

min{|■+■|■，|■-■|■}≤|■|■+|■|■=■（|■+■|■+|■-■|■）≤max{|■+■|■，|■-

■|■}，故选（D）.

其实观察①②两式的特点，我们还能发现①-②得■・■=■・■=■（■■+■■），即■・■=■[（■+■）■+（■-■）■].此结论把向量的加法、减法、数量积等运算联系在一起，在高考题中能见到它的影子.

例3 ？摇（2013浙江理）设ABC，P■是边AB上一定点，满足P■B=■AB，且对于边AB上任一点P，恒有■・■≥■・■，则（ ）

（A）∠ABC=90° （B）∠BAC=90°

（C）AB=AC （D）AC=BC

分析：有以上结论可知■・■=■[（■+■）■+（■-■）■]，■・■=■[（■+■）■+（■-■）■]，而■-■=■-■=■，所以我们比较（■+■）■与（■+■）■的大小.

解：取BC的中点E，如图2.由■・■≥■・■得■[（■+■）■+（■-■）■]≥

■[（■+■）■+（■-■）■]，即（■+■）■≥（■+■）■]，所以有|■|≥■，转化为几何问题为点E到边AB上所有点的距离的最小值为P■E，所以P■EAB，即AC=BC，故选（D）.

平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素;然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系;最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.

二、几何意义，体现向量的核心价值

课本中的小标题有“向量加法运算及其几何意义”“向量减法运

算及其几何意义”“向量数乘运算及其几何意义”“平面向量数量积的物理背景及其含义”等，这些都指向同一个关键词：几何意义.

1.向量加法，减法和数乘运算的几何意义

例4 ？摇（2005年浙江省理科）已知向量■≠■，|■|=1，对任意的

t∈R，恒有|■-t■|≥|■-■|，则（ ）

（A）■■

（B）■（■-■）

（C）■（■-■）

（D）（■+■）（■-■）

分析：本题考查向量减法和数乘运算的几何意义.弄清|■-t■|和|■-■|的几何意义是解决本题的关键.

解：设■=■，■=■，则■=t■=t■，■=■-■=■-■，■=■-■=■-t■，如图3.因为对任意的t∈R，恒有|■-t■|≥|■-■|，所以恒有|■|≥|■|，所以OAAB.故选（C）.

2？郾向量数量积的几何意义

例5 已知ABC，O为其外心，■・■=8，■・■=18，■・■=■，则ABC的面积为 .

解：■・■=|■|・（|■|cos<■，■>）=|■|・|■|=■|■|■=8，得|■|=4.■・■=|■|・（|■|cos<■，■>）=|■|・|■|=■|■|■=18，得|■|=6.■・■=|■|・|■|cos<■，■>=4×6×cos<■，■>=■，如图4.所以cos<■，■>=■，sin<■，■>=■，所以

S■=■.

“向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具”，向量是沟通代数、

几何与三角函数的一种工具，有着极其

丰富的实际背景，在数学中具有广泛的

应用.

三、平面向量基本定理，让向量丰富多彩

平面向量基本定理 如果■，■是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量■，有且只有一对实数λ■，λ■，使■=λ■■+λ■■ .

例6 在OAB中，■=■■，■=■■，AD与BC交于点M，如图5.设■=■，■=■，以■、■为基底表示■，则■= .

分析：利用平面向量基本定理来解决该题.

解：A，M，D三点共线，存在λ∈R，使得

■=（1-λ）■+λ■=（1-λ）■+■■=（1-λ）■+■■

又B，M，C三点共线，存在μ∈R，使得

■=（1-μ）■+μ■=（1-μ）■+■■=（1-μ）■+■■，

由平面向量基本定理可知■=1-λ1-μ=■，得λ=■μ=■，所以■=■■+■■.

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量■，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得■=x■■+y■.这样，平面内的任一向量■都可以由x，y唯一确定，我们把有序实数对（x，y）叫做向量的坐标，记做■=（x，y），即为向量的坐标表示，是平面向量基本定理的一种特殊情况（单位正交基底）.通过坐标运算可以解决向量的长度、夹角、平行、垂直等问题，降低了思维难度，易于把握，体现了向量在解题中的巨大作用.

例7 在梯形ABCD中，DA=AB=BC=■CD=1，点P在三角形BDC区域（含边界）中运动，则■・■的取值范围是 .

解：以A为坐标原点，有向线段AB为x轴建立平面直角坐标系，如图6.

则A（0，0），B（1，0），C■，■，D-■，■，P（x，y），

所以■=（x，y），■=-■，■，

■・■=-■x+■y，即y=■x+■■・■，

可知点P（x，y）在直线上，因为点P（x，y）在三角形BDC区域内（含边界），由线性规划可知■・■的取值范围是-■，■.

著名数学家华罗庚提道：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的诀窍.”这里“最原始的而不失重要性的地方”就是教材的知识体系、教材的概念、定理等，只要抓住了这一点，我们的课堂难点复习一定会是成功的和有效的.

参考文献：

俞永锋.函数y=Asin（ωx+φ）的性质何必复合说[J].中学数学教学参考，2011（12）.

Use Teaching Materials Effectively Construct the Knowledge Network

Xu Bojun

Abstract： This article takes the chapter plane vector in PEP for instances，beginning with the computation，geometric meaning and fundamental theorem of plane vector，to expound the argument about how to use teaching materials effectively and construct the knowledge network. Thus，both teachers and students can be to the point.

Key words： teaching materials;knowledge network;vector computation;geometric meaning;fundamental theorem of plane vector