浅谈二次函数解析式的求法

【摘要】生活中经常遇到用二次函数解决有关问题，而解决问题的关键是二次函数解析式的确定。

【关键词】二次函数；解析式；求法

用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最有效的常规方法，常见的有一般式、顶点式、交点式等方法，选用恰当的方法求二次函数解析式，常能简化计算，达到又快又准的效果。

一、用一般式y=ax2+bx+c

已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式：y=ax2+bx+c较方便。

例1：已知二次函数的图象过A（0，1），B（1，2），C（2，-1）三点，求此二次函数的解析式。

解：分析：因为图像过三点，且三个点不属于特殊点。因此，只能采用一般式求解。

设函数解析式为y=ax2+bx+c。

抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1），c=1

a+b+c=2，4a+2b+c=-1，解之得a=-2，b=3，c=1；

函数解析式为y=-2x2+3x+1。

二、用顶点式y=a（x-h）2+k

已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式y=a（x-h）2+k，较方便。

例2：已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

解二次函数当x=4时有最小值-3，顶点坐标为（4，-3），轴为直线x=4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。

抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0），故可设函数解析式为y=a（x-4）2-3，将（1，0）代入得0=a（1-4）2-3，解得a=13，y=13（x-4）2-3，即y=13x2-83x＋73。

点评：解例2如果用一般式列三元方程组去解，则解的过程中容易出错。

在求有关二次函数图像的平移、对称等二次函数解析式，可根据图形的平移、对称等图形变换的特点，利用顶点式，比较容易解决。

1.将二次函数图像平移，其形状和开口方向、大小没有改变，发生变化的是顶点坐标。故可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求的抛物线的解析式。

2.利用对称的特点，通过翻转和旋转等得到二次函数图像的解析式。二次函数图像有关对称图像，其形状和大小没有改变，开口方向相反，根据顶点坐标情况可先将原函数解析式化成顶点形式进行考虑。①关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称（也可以说沿x轴翻折），两个图象的开口方向相反，即a互为相反数。②关于y轴对称的两个图象的顶点关于y轴对称（也可以说沿x轴翻折），两个图象的形状大小不变，即a相同。③关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数。（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图像的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数。④关于原点对称，顶点也关于原点对称，而形状不变，开口方向相反，即二次项系数变为相反数。

三、用交点式（也称两根式）

已知图象与x轴两交点坐标，通常可设函数的解析式y=a（x-x1）（x-x2）求解比较简便，其中x1、x2为抛物线与x轴的交点的横坐标，也是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根。（与x轴只交于一点，即切于点（x0，0）时，两根式变为y=a（x-x0）2）

例3：已知二次函数的图象与x轴交于点（-4，0），（1，0），H

过点（2，6）。求此函数的解析式。

分析：本题可用一般式，得方程组后解之即可，但若已知函数与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0），则用根式y=a（x-x1）（x-x2），再代入第一点把a求出后化为一般式，更为简便。

解：设此函数的解析式为y=a（x-x1）（x-x2），由于抛物线与x轴交于（-4，0），（1，0），得y=a[x-（-4）]（x-1）=a（x+4）（x-1），又函数图象经过（2，6），6=a（2+4）（2-1），a=1，其解析式为y=x2+

3x-4。

有时根据其它条件先求出交点坐标，再用交点式求二次函数解析式。

1.已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x=3。求这个二次函数的解析式。可求出另一交点为（5，0）。

2.已知抛物线y=-x2+6x+c和x的正半轴相交于A、B两点，

AB=4，求抛物线的解析式。由y=-x2+6x+c=-（x-3）2+c-9则对称轴为x=3，再由AB=4求出抛物线y=-x2+6x+c与x轴两交点为（1，0），（5，0）又因为二次项系数为-1，所以可用交点式求出解析式为y=-（x-1）（x-5）=-x2+6x-5。

因为二次函数与一元二次方程有密切的关系，其二次函数图像与横轴的交点就是相应一元二次方程的根，所以常利用一元二次方程根与系数的关系或根的判别式考虑二次函数的解析式。

例4：已知抛物线y=x2-4x+k与x轴有两个不同的交点，且两交点的横坐标的平方和等于20，求抛物线的解析式。

解：设抛物线与x轴交点的横坐标是x1、x2，由根与系数的关系得 x1+x2=4，x1x2=k，x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，42-2k=20k=-2，

故所求抛物线的解析式为y=x2-4x-2。

总之，学次函数必须掌握二次函数的三种表达形式：一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a（x-x1）（x-x2），顶点式y=a（x-h）2+k。在具体问题中要根据问题中条件，结合二次函数的图象与性质及其它综合知识，选择恰当方法，就可能比较容易的解出二次函数的解析式，达到又快又准的效果。