浅谈函数最值的求法

求函数最值在中学数学中占有重要地位,作为一名即将成为中学数学教师的我,有必要将函数最值的种种求法作一归纳和总结,以便自己今后能更好的胜任中学数学教学。

首先,可以用初等数学的方法求函数最值。

1.利用二次函数求最值

利用二次函数求最值是一种应用甚广的基本方法,其基本思路是将将问题转化为某个变量的二次函数,通过配方,利用二次函数性质求出最值。

例1 设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根,(x2-2x2)(x2-2x1)的最大值是什么?

解:因为 =a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2x12+5x1x2-2x22

=-2(x1+x2)2+9x1x2 。

因为x1,x2是方程x2+ax+a=2的两个实数根,

所以x1+x2=-a,x1・x2=a-2代入配方可得:

(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2a2+9a-18 =

根据平方的非负性知:当a= 时,(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为- 。

2.利用换元求最值

一些函数,特别是在函数表达式中含有三角函数的情形,往往可利用三角函数的有关性质来求函数的最值,这就是三角换元求最值;其他的换元就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁为简,从而使问题得解。

(1)三角换元

例2已知x,y均是正数,x2+y2=1,求x+y的最值。

解:令,

则 所以x+y的最大值为√2,最小值为-√2。

(2)其他换元

例3 已知 的最大值。

解: 当且仅当x=y= 时取等号,所以 的最大值为2。

3.利用数形结合求最值

运用数形结合的思想,将函数的最值问题转化成几何图形的性质问题,通过几何的有关知识来解决。这种方法对于最值的解法显得更直观、易懂、简洁,这对于开拓思路,提高和培养分析能力,解决问题的能力有裨益。

例 4 求函数y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13的最小值。

解:因为 y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13

=√x2+(x2-1)2+√(x-2)2+(x2+3)2,

所以y可以看作点P(x,x2)到点A(0,1)及点B(2,3)的距离之和。

已知点P(x,x2)在抛物线y=x2上,又由于y=x2与线段A,B有交点,故当A,P,B在同一直线上时,距离之和最小,最小值为线段AB的长,所以y的最小值为ymin=√(2-0)+(-3-1)2=√20=2√5。

4.利用基本不等式求最值

不等式和最大值与最小值是密切相关的。比如要证明某个参数P的最小a,可先证明P≥a,然后说明P可以取到a,这是利用不等式求最值的基本思路,更为一般的是利用均值不等式,积定求和最小值,和定求积最大值。

例5 求的最小值。

当且仅当 。

此外,还可以用高等数学的方法求函数的最值,如应用导数求最值就是求闭区间上的连续函数f(x)在[a,b]的最值问题,可以通过求其导数,求出所有驻点及不可导点,通过比较这些点处函数值求得最值。