浅谈函数值域的求法

时间:2022-01-25 09:12:19

浅谈函数值域的求法

对于步入高一,刚学过函数的概念、定义域、值域的学生来说,遇到解函数值域问题时,方法经常会乱套.下面我就对这类学生阐述几种常见的求函数值域的方法.

题目 求函数y=1[]x2+x+1的值域.

问题转化成:求函数y=x2+x+1的值域.

1.图像法

分析 这是一个一元二次函数,要求它的值域,可以先画出它的图像,根据图像写出它的值域,这也是求值域的一种方法,称图像法.

2.配方法

同时,要画一元二次函数的图像,一般要找对称轴,当然也就要对函数表达式进行配方,这里表达式y=x2+x+1可以配成x+1[]22+3[]4,从而直接可以看出y≥3[]4,直接得到原函数的值域.这种通过配方求得函数值域的方法,我们称为配方法.

所以,函数y=x2+x+1的值域为yy≥3[]4.

注 在用配方法求函数值域的时候一定要注意等号成立的条件.例如:对于y=x2+1[]x2的配方,它既可以配成x-1[]x2+2,也可以配成x+1[]x2-2,但答案只有一个.

得到了函数y=x2+x+1的值域,并没有解决我们例1的问题,还要进一步的去计算,去求倒数.

3.不等式法

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利用不等式去求y的范围,从而得到函数的值域,这样的方法也就称为不等式法.

以上是通过先求我们熟悉的一元二次函数的值域,再求原函数的值域,那么,我们能不能直接去求该函数的值域呢?

4.判别式法

从函数本身出发,这是一个分式表达式,并且该函数的定义域是一切实数,也就是说,对于任意的x,此表达式都有意义.如果我们把x看成是自变量,y看成参数,并把分式等式化成我们熟悉的整式方程,则会得到一个关于x的方程yx2+yx+(y-1)=0,并且方程有根.

解 由y=1[]x2+x+1可化成yx2+yx+(y-1)=0,

由于函数的定义域为R,所以

注 此方法使用的前提条件比较苛刻,有一定的局限性,原函数的定义域必须是一切实数,否则该方法就不可用.所以一般情况下,我们不提倡用此方法.

求函数y=x-1[]x+2的值域.

分析 这函数仍然是一个分式的形式,但和例1又有所区别,它的分子分母都含有x,都是变化的,那么能不能化成和例1形式接近的表达式呢?

5.分离常数法,又名中间变量求值域法

解 将分式的分子变成常数:

所以所求函数的值域为{y|y≠1}.

如果没有例1的提示,仅仅看这个分式,从表达式上看,可以把y看成是x的函数,表达式有意义的x的集合就是函数的定义域;我们也可以把x看成是y的函数,则使表达式有意义的y的集合就是函数x=g(y)的定义域,也就是函数y=f(x)的值域.从而有求y范围的另一种方法:

6.反表示法

注 ①在本题中未提及函数的定义域,所以函数的定义域为使得表达式有意义的x的集合.若对题中的x加上范围,如x≥-4,则只要解不等式2y+1[]1-y≥-4即可.

②有些时候要从原表达式中解出x比较困难,并且还要解关于y的不等式,计算量会比较大,容易出错,需要我们有足够的耐心.

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