浅谈中学函数最值的求法

1. 运用函数判别是法求最值

我们知道在求形如y= 这类型函数的最值时,我们常常都会想到用配方法,然后根据自变量的取值范围求出y的最值,但是往往会看到有些不能进行配方,而对于这样的函数则把y当成一个常数或者说一个常量进行求解其最值,在以前求解一元二次方程的根的时候,我们会用到Δ来看该方程是否有解,而在Δ=b2-4ac里,所有变量都是该一元二次方程中各项的系数.故我们也可以把y=化成一个一元二次方程.即有（a1y-a2）x2+（b1y-b2）x+（c1y-c2）=0而当a1y-a2≠0时,由于x,y均为实数必有Δ=（b1y-b2）2-4（a1y-a2）（c1y-c2）?叟0,故可以求出y的范围,因此我们就有:

若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0

在a（y）≠0时.由于x、y为实数，必须有Δ=[b（y）]2-4a（y）c（y）?叟0 由此求出y所在在的范围确定函数最值。

比如有下面的一个例题：

例: 已知函数y=,求其最值?

分析: 从整体函数看,其自变量为x是二次函数通过整理得x2-yx+y=x2-x即（y-1）x2+（1-y）x+y=0 又x∈R然后运用到Δ求y的取值,从而达到解题的目的

解 由y=得（y-1）x2+（1-y）x+y=0 y≠1时, x无解. 必须使得Δ= （1-y）2- 4y（y-1）?叟0, -?燮y?燮1. 又 y≠1, y最小值等于- .

从上面我们可以知道,判别式法一般适用一些分式或配方法不易求解的函数的最值,一般的形如y=.我们把y看成一个常量进行化简成为一个一元二次方程.然后利用判别式求其最值,而在求最值的过程中,一定要考虑二次项系数为零的情况(为零则x无解).故,一定要在最后求的y的范围内除去二次项系数为零的点。

2. 配方法.

我们知道在求一个简单的二次函数的最值y=f（x）=ax2+bx+c（a≠0）利用配方法可以得出:f（x）=ax2+bx+c=ax+2+

我们根据二次函数的图象的性质可以知道:该函数的图象是开口向上或向下的抛物线,其顶点坐标是-,由于a的取值不同则该抛物线的开口方向不同,由于自变量的取值和对称轴的不同也会导致该函数的最值不同,则我们分情况分别加以讨论:

2.1当自变量在全体实数范围内变化时,二次函数的最值为:

a＞0 a＜0

ymin=fmin= ymax=fmax=

2.2当自变量的取值范围为有限区间[p,q]时,其最值在f（p），f（q），f-三者中取得,最值情况如下表 图2-2

[注]: 对于2.2中图表所表示的情况则可以表述为:轴在中间,顶点远点;轴在两边,近点远点.即:若轴在所给区间之内,其最值为顶点和离x轴最远的点;若轴不在所给区间之内,则最值为离x轴最近或最远点的函数值,比如以下的例题:

例2.1 已知x1,x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0(k为实数)的两个实数根,x21+x22的最大值是:

(A)19 (B)18 (C) (D)不存在

解: 有韦达定理得x1+x2=k-2 x1x2=k2+3k+5

故则有:x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2

=（k-2）2-2（k2+3k+5）

=-k2-10k-6

=-（k+5）2+19

如果由此得k=-5时，（x21+x22）max=19。选（A）那就错了。为什么？已只x1，x2是方程的两个“实数”根，即方程必须有实数根才行，而此方程的判别式Δ?叟0即：Δ=（k-2）2-4（k2+3k+5）=-3k2-16k-16?叟0.------------------- （1） 解(1)得:-4≤k≤-.k=-5∈[-4,-],设f（k）-（k+5）2+19则f（-4）=18，f-=＜18. 当k=-4时， x21+x22max=18 选(B)

综上可以知:在利用配方法求二次函数的最值时,必须首先考虑函数的定义域,否则审题不慎,忽略题中的自变量所给的范围,就会掉进题目设置的“陷阱”中去了,如上面的例,如果忽略“实数”二字就会使其最值,错解.

3.运用不等式法

运用不等式求解函数的最值可以系统的归纳为是利用均值定理求解其最值,则可以分为以下两种情况:

3.1简单型

所谓简单型即是：当函数的解析式y=f（x）中含有A+B，（A?叟0,B?叟0）的形式时，可利用基本不等式的性质A+B?叟2（A?叟0,B?叟0）当且仅当A=B时取等号,把函数进行放大缩小,这类型题目简单,结构明显.但必须满足“一正、二定、三相等”着三个必要条件,因此在解题时,若条件不满足时,应考虑通过恰当的恒等变形使条件得以满足。

例3.1 设x，y∈R,且+=1则x+y的最小值

分析 次处把1用+代换,使式子较易凑出了积分为定值的式子.

解 +=1 .

x+y=（x+y）+

=117++（x，y∈R）

?叟117+2*

= 117+14 .

当且仅当+ 时,x+y 有最小值117+14

3.2 复杂型＜含参型＞

前面的简单型－均值定理是求函数最值的重要方法，但需“正、定、等”条件，当这些条件不完全具备时不能直接使用，常需对函数式作“添、裂、配、凑”等恒等变形使其完全满足条件后方可用之，对变形能力的要求高，然而有些题由于解吸式自然，形态根本凑不出定值，或虽凑出定值而等号不能成立，对这样的题目学生往往会觉得很难用甚至不能用均值定理而感到棘手．但此时若用含参型均值定理就比较简单．如：