浅谈函数的最值的几种求法

摘要:函数的最值是数学中最常见的基本问题,也是较难的问题,为此我谈一谈自己初浅的看法。

关键词:单调性;不等式;最值

中图分类号:G630文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)10-0091-01

一、 利用函数的单调性求函数的最值

1、已知s=a4+b4,a+b=1,且a、b为非负实数,求证:≤s≤1

分析、由a+b=1条件可设a=-t b=+t 不妨设a≤b则0≤t≤又s=a4+b4=(-t )2+(+t)2=2t4+3t2+=2(t2+)2-1 所以≤s≤1

又如2、若对于任意实数a∈[-1,1]、函数f(x)=x2+(a-4)x-2a+4的值恒大于或等于0,求x取值范围。

转化为g(x)=(x-2)a+x2-4x+4≥0在a∈[-1,1]时恒成立,利用一次函数的单调性即可求出。

二、 利用基本不等式求函数的最值

1、 设x>2,求函数y=x+的最小值。

分析:利用基本不等式求之,注意等号成立性

2、 已知a>b>0,求a2+的最小值。

分析:a2+=(a-b+b)2+≥4(a-b)b+≥16

注意:a-b=b且4(a-b)b=取最小值16。

三、利用基本不等式求多元函数的最值

1、设x>y>z,求证:++≥0

证:(+)(x-y+y-z)=5+4+≥9当且仅当2x+z=2y时取最小值。

2、 已知x>0,y>0,+≤4.求+的最小值。

四、 利用数形结合求多元函数的最值

实数x、y满足x2+y2≤1,求的最小值。

分析:由实数x、y满足x2+y2≤1得(x,y)在单位圆内的任意一点,k=为(x,y)与(-2,1)点连线的直线斜率,所以由切线的斜率可得-≤k≤0。所以的最小值为-。

五、造法求函数的最值或证明

1、构造函数

设a、b、c∈(0,+∞)且a+b>c求证:+>

分析:利用函数y=在(0,+∞)是增函数。因为+>+=>

2、 构造方程求多元函数的最值

已知:x3+y3=2,x、y∈R,求证:x+y≤2

分析:设x+y=t则(x+y)(x2+y2-xy)=2所以xy=t2- 构造方程a2-ta+t2-=0则x、y为此方程的两个实数根,所以Δ=t2-4(t2-)≥0解得t≤2所以x+y≤2

3、 构造复数

已知:|a2-b2|+|2ab|=1,求证:|a|+|b|≤

分析:设z=a+bi则Z2=a2―b2+2abi由条件得|Rez2|+|Imz2|=1所以任意复数z,有

||Rez|+|Imz||≤|z|≤|Rez|+|Imz|所以|z|2=|z2|≤|Rez2|+|Imz2|=1即|z|≤1

所以|a|+|b|=|Rez|+|Imz|≤|z|≤

六、 求抽象函数的最值

1、 设函数f(x)对一切实数x、a都有f(x+a)-f(x)=(2x+a+1)a成立,并且f(1)=0求f(x)≤0时x的取值范围。

分析:由f(1)=0令x=1有f(a+1)-f(1)=(3+a)a令a+1=t有a=t-1得f(t)=t2+t-2因为

f(x)≤0所以-2≤x≤1

2、 已知函数y=f(x)为定义域(0,+∞)上的增函数。满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(2)=1解不等式f(x(x-2))+f(x-2)≤3求x的最大值。

分析:由条件可得f(x(x-2))+f(x-2)≤3=f(8)所以有x>0且x-2>0且x(x-2)≤8解之得2

以上几点拙见仅供大家参考。