参数方程与普通方程的互化

数学中的互化包含很多类型：数与形的互化，文字语言与符号语言的互化，利用充要条件进行的互化，借助所谓的“桥梁”进行的互化等等.其实日常生活中也存在着这样的关系，从陌生人变成朋友可以借助特殊的“桥梁”：朋友，网络，比赛交流等等，而数学中也有借助“桥梁”进行“交流”的，参数方程和普通方程之间的互化就是比较典型的例子.

参数方程最初起源于力学及物理学，例如运动方程大都采用参数方程，其中参数t往往表示时间这一变量.高中数学中解析几何的核心思想是“用代数的方法研究几何问题”.在具体的问题解决中，“方程”的地位十分重要，运用代数方法通常是以“方程”为载体，“方程”架起了“代数”与“几何”之间的桥梁，从而使得解析几何变得如此丰富多彩.同学们在学习解析几何时，一定要认真理解每个曲线不同形式的方程，这是研究它们几何性质的基础.在直角坐标系下，曲线方程通常分为两大类：参数方程与普通方程.参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同的表达方式，它们在形式上、用途上、方法上各具特点又互相补充，研究它们之间的关系、实现它们之间的互化，有利于发挥它们彼此的长处，从而简化问题解决的过程.本文拟从互化的视角，以具体问题为例，介绍常见曲线的参数方程与普通方程的互化及其运用.

一、 两类方程互化的必然性及其策略

对于具体问题，有时我们要选择将一种曲线方程化为另一种曲线方程，简称“互化”.例如当点在曲线上任意运动时，我们常选择将普通方程化为参数方程来解决，这也是我们学习参数方程的主要目的，下文将重点阐述.而实际生活很多问题提炼的数学模型往往是参数方程的形式，例如物理学中的平抛运动，我们得到的是水平方向的位移、竖直方向的位移用时间表示的参数方程，如果要进一步研究其曲线时，我们就要将之化为普通方程.也有一些数学问题是由参数方程给出的，直接解决比较繁琐，必须将之转化为普通方程解决.例如：由参数方程x=cos θ+3,

y=sin θ(θ为参数）给出的曲线，很难发现其表示的曲线类型，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单.由参数方程可得：cos θ=x－3,

sin θ=y.因为sin2θ+cos2θ=1，所以x－32+y2=1，即表示的曲线是圆心（3，0），半径为1的圆.

将“参数方程”化为“普通方程”的过程本质上是“消参”，常见方法有三种：1．代入消参法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；2．三角消参法：利用三角恒等式消去参数；3．整体消参法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数.特别强调的是：“消参”仅仅是对代数式进行了简化，没有涉及到所消参数的范围，而两类方程中的变量x,y的范围必须相同，所以消参的同时一定要关注消参引起的“范围”变化.

例1

将下列参数方程化为普通方程：

（1）

x=t+1,

y=1－2t(t为参数）；（2）x=sin θ+cos θ,

y=1+sin 2θ(θ为参数）.

思

考通过两个例子，我们能体会到参数方程化为普通方程的注意点是哪些吗？

解

析

（1）因为x=t+1≥1，所以化为普通方程是y=－2x+3(x≥1).

这是以（1,1）为端点的一条射线（包括端点）.

（2）因为x=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)，所以x∈［－2,2］.

化为普通方程是x2=y,x∈［－2,2］.

评

注

上述例题我们很容易在转化过程中忽略变量的范围，如（1）中x=t+1≥1，(2)中x∈［－2,2］，因此在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.

例2

选择适当的参数，将下列普通方程化为参数方程：

（1）xy=9；（2）y2=x.

思

考选取的参数不同，同样的曲线方程写出来的参数方程是否一样呢？

解

析

（1）x=t,

y=9tt为参数;（2）x=t2,

y=tt为参数.

评

注

对于（1）的参数方程也可写成x=9t,

y=tt为参数，因此同一曲线的参数方程的形式可以不同，但（2）如果写成x=t,

y=tt为参数，则和原来的不等价，因为y≥0，只是y2=x的一部分.

因此，关于参数有几点说明：

① 参数是联系变数x,y的“桥梁”；

② 参数方程中参数可以是有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义；

③ 同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样；

④ 在实际问题中要确定参数的取值范围.

二、 参数方程的具体运用

1． 椭圆参数方程运用

若椭圆标准方程是x2a2+y2b2=1，其参数方程可设为：x=acos θ,

y=bsin θ(θ为参数），其中参数θ称为离心角.当点在椭圆上运动时，设点的坐标为(acos θ,bsin θ)，可以用一个变量θ表示点的两个坐标，体现了使用参数方程的优越性.

例3

已知A,B是椭圆x29+y24=1与坐标轴正半轴的两个交点，在椭圆第一象限的部分求一点P，使四边形OAPB的面积最大.

图1

解

析

设点P(3cos α,2sin α)，SAOB面积一定，只需求SABP的最大值即可，即求点P到直线AB的距离最大值.

d=|6cos α+6sin α－6|22+32

=6132sin(π4+α)-1.

当α=π4时，d有最大值，此时面积最大，P坐标为(322,2).

评

注

如果不设参数方程，则必须设P点坐标，再利用点到直线的距离公式，这样处理比较困难.可以看出，关于点到直线距离的最值问题，借助椭圆参数方程，将椭圆上任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决，比用普通方程解决要方便一些.

2. 圆参数方程的运用

若圆的方程是x－a2+y－b2=r2，则其参数方程通常设为：x=a+rcos θ,

y=b+rsin θ(θ为参数），利用参数方程处理动点轨迹问题往往比较简单.

例4

如图2，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12,0），当点P在圆上运动时，线段PA中点M的轨迹是什么？

图2

解

析

设M(x,y)，圆x2+y2=16的参数方程为x=4cos θ,

y=4sin θ.

所以可设P(4cos θ,4sin θ)，由中点公式得M点轨迹方程为x=6+2cos θ,

y=2sin θ,再转化为普通方程得到：点M轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.

评

注

也可利用普通方程解答：设M(x,y)，则P(2x－12,2y)，因为点P在圆x2+y2=16上，所以2x－122+2y2=16，即点M的轨迹方程为x－62+y2=4.

所以M的轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.求轨迹方程时，参数方程也能展现出它的优越性，只需把动点的坐标分别用第三个量来表示即可.当然，如果想知道具体是怎样的曲线，还需化为普通方程来观察.

例5

已知点px,y是圆x2+y2－6x－4y+12=0上的点，求x+y的最值.

解

析

对于此题，我们可以通过两种方法的解答加以对比，从而体会参数方程的运用.

圆x2+y2－6x－4y+12=0，即x－32+y－22=1.

方法一：圆参数方程为x=3+cos θ,

y=2+sin θ,由于P点在圆上，可设P3+cos θ,2+cos θ.

x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+2sinθ+π4，所以x+y最大值为5+2，最小值为5－2.

方法二：令x+y=z，因为圆x－32+y－22=1与直线x+y－z=0相切时，1=5－z2，所以z=5±2. 所以zmax=5+2 ，zmin=5－2.

故x+y最大值为5+2，最小值为5－2.

评

注

相比较而言，有关圆的问题，既可用参数方程，也可用普通方程解决，但对于椭圆，用参数方程解决要比较简单一点.

3. 直线参数方程的应用

如果直线经过点M0x0,y0，倾斜角为α的直线l的参数方程为 x=x0+tcos α,

y=y0+tsin α（t为参数），直线的参数方程中，它的形式、变量、常量要分清楚.

例如：x=3+tsin 20°,

y=tcos 20°（t为参数）倾斜角为70°.

又如：直线x+y－1=0的一个参数方程为x=1－22t,

y=22t（t为参数）.

直线的普通方程可以有若干个参数方程.

例6

已知直线l：x+y－1=0与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M－1,2到A，B的两点的距离之和.

思

考在学习直线的参数方程之前，我们会如何解决上述问题？

解

析

因直线l过点M－1,2,l的倾斜角为3π4，

所以它的参数方程为

x=－1+tcos3π4,

y=2+tsin3π4（t为参数），即x=－1－22t,

y=2+22t（t为参数） ①=1\*GB3.

把①=1\*GB3代入抛物线方程y=x2得t2+2t－2=0， 解得t1=－2+102，t2=－2－102.

由参数t的几何意义可得：AB=t1－t2=10， MA・MB=t1t2=2.

评

注

在学习直线的参数方程之前，我们会用如下方法解答：

由x+y－1=0,

y=x2得x2+x－1=0，解得x1=－1+52,

y1=3－52或x2=－1－52,

y2=3+52.