《坐标系与参数方程》高考全解

在江苏新高考中，坐标系与参数方程出现在附加题的选做题中，由于此题难度不大，往往成为考生们的首选.有关这一内容在高考中出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定.

一、要点回顾

1.极坐标

平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则有x=ρcosθ

y=ρsinθ和ρ2=x2+y2

tanθ=yx这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系，我们可以来去自由.注意在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.当ρ

2.参数方程

参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x，y）；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程.求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标，当参数的关系比较明显时关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t做参数，与旋转有关的问题选取角θ做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等.

参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数.三角法：利用三角恒等式消去参数.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为F（x，y）=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围.

常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义.在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.

二、题型探究

1.求曲线的极坐标方程或点的极坐标

例1（1）求在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程.

（2）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2），求曲线C1与C2交点的极坐标.

分析：（1）把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程.（2）直接解方程组.

解：（1）由题意可知圆的标准方程为（x-3）2+y2=9，圆心是（3，0），

所求直线标准方程x=3，则坐标方程为ρcosθ=3.

（2）联立解方程组ρcosθ=3

ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2）解得ρ=23

θ=π6，即两曲线的交点为（23，π6）.

评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解.当然也可以转化为普通方程解答.

2.由极坐标求最值

例2在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值.

分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出.也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答.

解法一：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，在圆x2+y2=9上任取一点A（3cosα，3sinα），则点A到直线的距离为d=|3cosα+33sinα-2|2=|6sin（α+30°）-2|2，它的最大值为4.

解法二：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4.

评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想.

3.用参数方程研究两曲线的位置关系

例3求直线x=1+2t

y=1-2t，（t为参数）被圆x=3cosα

y=3sinα，（α为参数）截得的弦长.

分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长.

解：把直线方程x=1+2t，

y=1-2t，化为普通方程为x+y=2.将圆x=3cosα，

y=3sinα，化为普通方程为x2+y2=9.圆心O到直线的距离d=22=2，弦长L=2R2-d2=29-2=27.

所以直线x=1+2t，

y=1-2t，被圆x=3cosα，

y=3sinα，截得的弦长为27.

评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参.