时间：2023-03-08 23:40:45
参数方程最初起源于力学及物理学，例如运动方程大都采用参数方程，其中参数t往往表示时间这一变量.高中数学中解析几何的核心思想是“用代数的方法研究几何问题”.在具体的问题解决中，“方程”的地位十分重要，运用代数方法通常是以“方程”为载体，“方程”架起了“代数”与“几何”之间的桥梁，从而使得解析几何变得如此丰富多彩.同学们在学习解析几何时，一定要认真理解每个曲线不同形式的方程，这是研究它们几何性质的基础.在直角坐标系下，曲线方程通常分为两大类：参数方程与普通方程.参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同的表达方式，它们在形式上、用途上、方法上各具特点又互相补充，研究它们之间的关系、实现它们之间的互化，有利于发挥它们彼此的长处，从而简化问题解决的过程.本文拟从互化的视角，以具体问题为例，介绍常见曲线的参数方程与普通方程的互化及其运用.
一、 两类方程互化的必然性及其策略
对于具体问题，有时我们要选择将一种曲线方程化为另一种曲线方程，简称“互化”.例如当点在曲线上任意运动时，我们常选择将普通方程化为参数方程来解决，这也是我们学习参数方程的主要目的，下文将重点阐述.而实际生活很多问题提炼的数学模型往往是参数方程的形式，例如物理学中的平抛运动，我们得到的是水平方向的位移、竖直方向的位移用时间表示的参数方程，如果要进一步研究其曲线时，我们就要将之化为普通方程.也有一些数学问题是由参数方程给出的，直接解决比较繁琐，必须将之转化为普通方程解决.例如：由参数方程x=cos θ+3,
y=sin θ(θ为参数）给出的曲线，很难发现其表示的曲线类型，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单.由参数方程可得：cos θ=x－3,
sin θ=y.因为sin2θ+cos2θ=1，所以x－32+y2=1，即表示的曲线是圆心（3，0），半径为1的圆.
将“参数方程”化为“普通方程”的过程本质上是“消参”，常见方法有三种：1．代入消参法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；2．三角消参法：利用三角恒等式消去参数；3．整体消参法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数.特别强调的是：“消参”仅仅是对代数式进行了简化，没有涉及到所消参数的范围，而两类方程中的变量x,y的范围必须相同，所以消参的同时一定要关注消参引起的“范围”变化.
例1
将下列参数方程化为普通方程：
（1）
x=t+1,
y=1－2t(t为参数）；（2）x=sin θ+cos θ,
y=1+sin 2θ(θ为参数）.
思
考通过两个例子，我们能体会到参数方程化为普通方程的注意点是哪些吗？
解
析
（1）因为x=t+1≥1，所以化为普通方程是y=－2x+3(x≥1).
这是以（1,1）为端点的一条射线（包括端点）.
（2）因为x=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)，所以x∈［－2,2］.
化为普通方程是x2=y,x∈［－2,2］.
评
注
上述例题我们很容易在转化过程中忽略变量的范围，如（1）中x=t+1≥1，(2)中x∈［－2,2］，因此在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
例2
选择适当的参数，将下列普通方程化为参数方程：
（1）xy=9；（2）y2=x.
思
考选取的参数不同，同样的曲线方程写出来的参数方程是否一样呢？
解
析
（1）x=t,
y=9tt为参数;（2）x=t2,
y=tt为参数.
评
注
对于（1）的参数方程也可写成x=9t,
y=tt为参数，因此同一曲线的参数方程的形式可以不同，但（2）如果写成x=t,
y=tt为参数，则和原来的不等价，因为y≥0，只是y2=x的一部分.
因此，关于参数有几点说明：
① 参数是联系变数x,y的“桥梁”；
② 参数方程中参数可以是有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义；
③ 同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样；
④ 在实际问题中要确定参数的取值范围.
二、 参数方程的具体运用
1． 椭圆参数方程运用
若椭圆标准方程是x2a2+y2b2=1，其参数方程可设为：x=acos θ,
y=bsin θ(θ为参数），其中参数θ称为离心角.当点在椭圆上运动时，设点的坐标为(acos θ,bsin θ)，可以用一个变量θ表示点的两个坐标，体现了使用参数方程的优越性.
例3
已知A,B是椭圆x29+y24=1与坐标轴正半轴的两个交点，在椭圆第一象限的部分求一点P，使四边形OAPB的面积最大.
图1
解
析
设点P(3cos α,2sin α)，SAOB面积一定，只需求SABP的最大值即可，即求点P到直线AB的距离最大值.
d=|6cos α+6sin α－6|22+32
=6132sin(π4+α)-1.
当α=π4时，d有最大值，此时面积最大，P坐标为(322,2).
评
注
如果不设参数方程，则必须设P点坐标，再利用点到直线的距离公式，这样处理比较困难.可以看出，关于点到直线距离的最值问题，借助椭圆参数方程，将椭圆上任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决，比用普通方程解决要方便一些.
2. 圆参数方程的运用
若圆的方程是x－a2+y－b2=r2，则其参数方程通常设为：x=a+rcos θ,
y=b+rsin θ(θ为参数），利用参数方程处理动点轨迹问题往往比较简单.
例4
如图2，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12,0），当点P在圆上运动时，线段PA中点M的轨迹是什么？
图2
解
析
设M(x,y)，圆x2+y2=16的参数方程为x=4cos θ,
y=4sin θ.
所以可设P(4cos θ,4sin θ)，由中点公式得M点轨迹方程为x=6+2cos θ,
y=2sin θ,再转化为普通方程得到：点M轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.
评
注
也可利用普通方程解答：设M(x,y)，则P(2x－12,2y)，因为点P在圆x2+y2=16上，所以2x－122+2y2=16，即点M的轨迹方程为x－62+y2=4.
所以M的轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.求轨迹方程时，参数方程也能展现出它的优越性，只需把动点的坐标分别用第三个量来表示即可.当然，如果想知道具体是怎样的曲线，还需化为普通方程来观察.
例5
已知点px,y是圆x2+y2－6x－4y+12=0上的点，求x+y的最值.
解
析
对于此题，我们可以通过两种方法的解答加以对比，从而体会参数方程的运用.
圆x2+y2－6x－4y+12=0，即x－32+y－22=1.
方法一：圆参数方程为x=3+cos θ,
y=2+sin θ,由于P点在圆上，可设P3+cos θ,2+cos θ.
x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+2sinθ+π4，所以x+y最大值为5+2，最小值为5－2.
方法二：令x+y=z，因为圆x－32+y－22=1与直线x+y－z=0相切时，1=5－z2，所以z=5±2. 所以zmax=5+2 ，zmin=5－2.
故x+y最大值为5+2，最小值为5－2.
评
注
相比较而言，有关圆的问题，既可用参数方程，也可用普通方程解决，但对于椭圆，用参数方程解决要比较简单一点.
3. 直线参数方程的应用
如果直线经过点M0x0,y0，倾斜角为α的直线l的参数方程为 x=x0+tcos α,
y=y0+tsin α（t为参数），直线的参数方程中，它的形式、变量、常量要分清楚.
例如：x=3+tsin 20°,
y=tcos 20°（t为参数）倾斜角为70°.
又如：直线x+y－1=0的一个参数方程为x=1－22t,
y=22t（t为参数）.
直线的普通方程可以有若干个参数方程.
例6
已知直线l：x+y－1=0与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M－1,2到A，B的两点的距离之和.
思
考在学习直线的参数方程之前，我们会如何解决上述问题？
解
析
因直线l过点M－1,2,l的倾斜角为3π4，
所以它的参数方程为
x=－1+tcos3π4,
y=2+tsin3π4（t为参数），即x=－1－22t,
y=2+22t（t为参数） ①=1\*GB3.
把①=1\*GB3代入抛物线方程y=x2得t2+2t－2=0， 解得t1=－2+102，t2=－2－102.
由参数t的几何意义可得：AB=t1－t2=10， MA・MB=t1t2=2.
评
注
在学习直线的参数方程之前，我们会用如下方法解答：
由x+y－1=0,
y=x2得x2+x－1=0，解得x1=－1+52,
y1=3－52或x2=－1－52,
一、椭圆参数方程
如图1，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANox，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程。
解：设∠xOA=φ,M(x,y), 则A(acosφ,asinφ),B(bcosφ,bsinφ),由已知:{x=acosφy=bsinφ （φ是参数），即为点M的轨迹参数方程.消去参数得:x2a2+y2b2=1，即为点M的轨迹普通方程.(如图2)注意：1.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长且a>b>0,φ称为离心角,规定参数φ取值范围为［0,2π)2.焦点在x轴上，参数方程为{x=acosφy=bsinφ（φ是参数）焦点在y轴上，参数方程为{x=bcosφy=asinφ（φ是参数）
二、椭圆参数方程的应用
1. 利用参数方程求最值例1.过点A(0,－2)作椭圆x24+y22=1的弦AM，则|AM|的最大值为
A. 2
B. 3
C. 22
D. 23分析:此题比较简单，只要注意A点在椭圆上，设出点M的参数方程即可解决。解：设M（2cosθ,2sinθ），则|AM|=(2cosθ)2+(2sinθ+2)2化简得|AM|=－2(sinθ－1)2+8所以当sinθ=1时取最大值，且最大值为22。所以选C点评：椭圆的参数方程是求解最值问题的最有力工具，所以在解决此类问题时，首先应该想到参数方程求解。例2.设点P（x，y）在椭圆x24+y27=1上，试求点P到直线3x－2y－21=0的距离d的最小值。分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程x24+y27=1，然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以顺利解决此问题。解：点P（x，y）在椭圆x24+y27=1上，设点P（2cosθ,7sinθ）（θ是参数且θ∈［0,2π)） 则d=|6cosθ－27sinθ－21|32+22=|8sin(θ－φ)+21|13(其中tanφ=377)。当sin(θ－φ)=－1时，距离d有最小值13点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度例3.已知椭圆x2a2+y2b2=1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽，但很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。解：设A(acosθ,bsinθ)，则|AD|=|2acosθ|,|AB|=|2bsinθ|所以S=|2a×2bsinθcosθ|=2ab|sin2θ|即矩形ABCD的最大面积为2ab点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。
二、参数方程在求与离心率有关问题上的应用
例4.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2，若这个椭圆上存在点P，使得F1PF2P。求该椭圆的离心率e的取值范围。分析：如果按常规设p(x,y), |F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。解：设P(acosα,bsinα)，因为F1(－c,0),F2(c,0)kPF1=bsinαacosα+c,kPF2=bsinαacosα－c,因为F1PF2P所以kPF1?kPF2=－1即bsinαacosα+c?bsinαacosα－c=－1,化简得cos2α=c2－b2a2－b2因为0≤cos2α≤1，所以0≤c2－b2a2－b2≤1解得b2≤c2，所以e=c2a2=c2b2+c2≥c22c2=12即22≤eb>0）与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OPAP。求该椭圆的离心率e的取值范围。 分析：此题可仿照上题解法轻松解决，在此不在详解。答案:(22,1)
三、参数方程在证明问题上的应用
例5.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心求证：直线AB的斜率与直线OP的斜率乘积是定值分析：此题也可设A、B两点坐标，P点用A、B两点坐标表示，然后用斜率公式求解。但太过麻烦，用参数方程可减少计算量。证明：设两点的坐标为A(acosθ,bsinθ)，B(acosφ,bsinφ)P是AB的中点x=a2(cosθ+cosφ)y=b2(sinθ+sinφ)kAB=b(sinθ－sinφ)a(cosθ－cosφ)kOP=b(sinθ+sinφ)a(cosθ+cosφ)kAB?kOP=b2(sin2θ－sin2φ)a2(cos2θ－cos2φ)
问题1：经过点M（x，y）的直线有多少条？
问题2：再加一个什么条件就可以确定一条直线？
教师：请同学们说出经过点M（x，y），倾斜角为θ的直线的方程。
学生：根据点斜式，斜率k=tanθ，所以直线方程为y-y=tanθ（x-x）。
2.新课讲解
教师：能否引进一个参数，使得直线上任何一点M（x，y）都能用这个参数来表示？
学生：利用|MM|，就是利用M到M的距离。
教师：如果利用距离的话，一个参数就会对应两个点了，如何解决这个问题呢？
学生：根据方向来区分，向上是正的，向下是负的。
教师：很好，那跟方向有关的话，我们能想到什么？
学生：向量。
教师：不错，那我们能否找到一个单位向量和直线是平行的？如果可以的话，那p的坐标是什么？并给出提示：op要满足什么条件就会和直线是平行的？
学生：可以，根据斜率相同就可以了，所以p（cosθ，sinθ），记==（cosθ，sinθ）。
教师：因为和是共线的，所以就可以用表示出来，即=t，那么，M的坐标如何用参数来表示呢？
学生：根据向量相等，就能得出直线的参数方程x=x+tcosθy=y+tsinθ。
教师：这个参数方程跟哪种曲线的参数方程是很像的，有什么区别？
学生：跟圆的参数方程很像，区别在于，在直线的参数方程中t是参数，在圆的参数方程中θ是参数。
教师：参数t的几何意义是什么呢？
学生：因为=|t|=|t|，所以|t|就是M到M的距离。
教师：什么时候是正的，什么时候是负的？
学生：根据向量的数乘可知，如果与同向，则t是正的，反之t是负的。
教师：很好，那我们看一下的方向有什么特点？
学生：根据倾斜角θ的范围，可以知道的方向总是向上的。
教师：所以我们直接看的方向就可以了，如果的方向是向上的，则t是正的，反之t是负的。
教师：那M所对应的参数是多少？
学生：根据参数的几何意义可知，M所对应的参数是0。
3.例题讲解
例1：已知直线l∶x+y-1=0与抛物线y=x交于A、B两点，求线条AB的长和点M（-1，2）到A，B两点的距离之积。
学生：思考，互相交流。
教师：直线l的参数方程是什么？
学生：因为M（-1，2）在直线l上，θ=，所以直线l的参数方程是x=-1-ty=2+t。
教师：能否利用参数，线段AB的长就是什么？
学生：根据参数的几何意义可以得出，|AB|=|t|+|t|。
教师：那如何解出t，t呢？
学生：因为t，t是A，B两点所对应的参数，而A，B两点是直线与抛物线的交点，所以将直线的参数方程代入抛物线方程，得到2+t=（-1-t），化简得t+t-2=0，所以t，t就是上述方程的两个解。
教师：那|MA||MB|=？
学生：根据韦达定理|MA||MB|=|t||t|=|tt|=2。
教师：求|AB|能不能也根据韦达定理，不解方程来做？引导学生从向量的角度来考虑，因为=-=t-t=（t-t），所以|AB|=|t-t|，那如何用韦达定理呢？
学生：|AB|=|t-t|==。
教师：说明一下|AB|=|t-t|是通用的，其中t，t是A，B所对应的两个参数。
那A，B的中点P所对应的参数等于多少呢？
学生：猜测中点P所对应的参数为。
教师：通过画图来解释，或者根据向量=+。
例2：经过点M（2，1）作直线l，交椭圆+=1于A，B两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程。
分析：首先写出直线的参数方程x=2+tcosθy=1+tsinθ，因为M是A，B的中点，所以M所对应的参数是=0。
一、求二元方程最值
【例1】 已知点P（x，y）是圆x2+y2=2x上的动点.
（1）求x+2y的取值范围；
（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围.
分析：因为点P（x，y）在圆x2+y2=2x上运动，根据所给的式子，把圆的方程化为参数方程，然后用参数表示两个式子，再根据三角函数的有界性，解决相关问题.
解：把圆的方程化为标准方程(x-1)2+y2=1，故它的参数方程可设为x=cosθ+1，y=sinθ（θ是参数）.
（1）x+2y=cosθ+1+2sinθ=5sin(θ+φ)+1（其中tanφ=12），
1-5≤x+y≤1+5，
即x+2y的取值范围是［1-5,1+5］.
（2）x+y+a≥0恒成立，即a≥-(x+y)恒成立，
即a要大于或等于-(x+y)的最大值，
x+y=cosθ+sinθ+1=2sin(θ+π4)+1，
x+y≥1-2，-(x+y)≤2-1，
a≥2-1，即a的取值范围是［2-1,+∞）.
评注：本题也可以根据所给式子的几何意义解题，利用线性规划解决，但比此法要麻烦，参数方程把待求式化为关于参数θ的函数，求解十分方便，这正是参数方程的优势.
二、求参数的值（范围）
【例2】 抛物线y=x2+t与圆x2+y2=1有公共点，求实数t的取值范围.
分析：把圆化为参数方程，代入抛物线的普通方程，用α的三角函数表示出t，进而求其取值范围.
解：令x=cosα，y=sinα，代入y=x2+t，
得t=sinα-cos2α=sin2α+sinα-1=(sinα+12)2-54.
当sinα=-12时，t取得最小值－54；
当cosα=1时，t取得最大值1.
所以实数t的取值范围是［－54，1］.
评注：本题应用圆的参数方程，采用代入法把求实数t的取值范围问题转化为求函数的值域问题，使问题迅速获解，可谓转化巧妙.
三、求与圆有关的最值
【例3】 已知圆C的参数方程为x=cosx，y=sinθ（θ为参数），则圆C上的点到点P（2，2）的最远距离是 ；圆C上的点到直线x－y＋2=0的最近距离是 .
分析：根据参数方程得出圆上的任意一点的坐标，然后用相应的距离公式表示出两个距离，再利用函数知识，求它们的最值.
解：设M（cosθ,sinθ）是圆C上的任意一点，则
|MP|=(cosθ-2)2+(sinθ-2)2=9-4(sinθ+cosθ)
=9-42sin(θ+π4)≤9-42=22-1.
即圆C上的点到点P（2，2）的最远距离是22-1，点M到直线x－y＋2=0的距离
d=|cosθ-sinθ+2|2≥|2sin(π4-θ)+2|2≥2-1，
即圆C上的点到直线x－y＋2=0的最近距离是2-1.
评注：上述两个最值都可以把圆的方程化为普通方程后，利用圆中最值的有关结论来求解.
关键词：极坐标方程；参数方程；运动；变化
哲学的唯物辩证法告诉我们，世界上的一切事物都处在普遍联系之中，没有孤立存在的事物，整个世界就是一个普遍联系的统一整体.要求我们坚持用联系的观点看问题，具体地分析事物之间的联系.根据事物的固有联系，改变事物的状态，改变条件，创造条件，建立新的具体联系.数学和哲学是有联系的，运用哲学思想、方法论可以很快地解决数学问题.下面用唯物辩证法思想、方法论帮助我们分析问题、解决问题，进而简单、快捷地求出曲线的极坐标方程及参数方程.
一、运用唯物辩证法思想、方法解决求曲线极坐标方程问题
1.一般的，求曲线极坐标方程步骤是：
①建立适当的极坐标系；
②在曲线上任取一点M（ρ，θ）；
③根据曲线上点所满足的条件写出等式；
④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；
⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程.
在具体求曲线极坐标过程中，步骤③：根据曲线上点所满足的条件写出ρ，θ的等式是个难点.这就需要运用哲学上的唯物辩证法思想，利用联系发展的观点，观察、看待、解决这个问题.
2.为求曲线上任一点M（ρ，θ）满足的关系式，我们细分三个步骤：
①运用联系的观点：联系点M的极坐标ρ，θ的几何特征，即ρ为点M到极点O的距离，θ为OM与极径OA所成的角；
②运用运动变化的观点观察问题：为求曲线上任一点M（ρ，θ）满足的关系式，让点M在曲线上运动起来.然后观察点M在运动的过程中哪些量是变化的，如，ρ，θ变化；哪些量是不变化的，其中不变的量实际上是曲线的固有特征；
③再运用联系发展的观点解决问题：将②中变化的量与不变化的量建立新的具体联系，进而得到ρ，θ等式.
3.下面看几个具体例子：
例1.如图1，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为C（a，0）（a>0），求此圆的极坐标方程.
分析：（）取M（ρ，θ）是圆上除O、A以外的任意一点（联系点M的极坐标ρ，θ的几何特征）
二、运用唯物辩证法思想、方法解决求曲线参数方程问题
一般的，求曲线参数方程步骤是：
①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标（x，y）；
②写出适合条件的点M的集合；
③用坐标表示集合，列出方程；
④化简方程为最简形式；
⑤证明所得的方程是曲线的参数方程.
求曲线参数方程的难点是“引入参数”.运用我们前面提到的哲学思想世界上的一切事物都处在普遍联系之中，没有孤立存在的事物，整个世界就是一个普遍联系的统一整体.用变化、发展、联系的角度看待问题，“引入参数”这个难点很容易突破.
例4.如图4所示，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，求圆的参数方程.
分析：（）设M（x，y）是圆上任意一点
（）让点M在圆上动起来，观察，当点M在直线上运动时，哪些量是变化的？哪些量是不变化的？（如图）
点M坐标，∠MOX=θ是变化的；OM=r是不变的.
（）建立变化量与不变量间的关系.即
求解过程略.
例5.已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程.
分析：（运用运动变化的观点观察问题）
如图，（）设C（x，y）为轨迹上任一点.
（）观察：当点A，B在y轴和x轴非负轴上运动的过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变化的？
变化的量：∠ABO的大小，∠CBD的大小，C点的坐标
不变化的量：线段AB，BC的长度，∠ABC的大小
（）建立变化量与不变量间关系.过点C作x轴垂线即可.
因此，方程（1）为顶点C轨迹的参数方程.
通过上面五个例题展示，我们可以体会到，运用联系、变化、发展的观点分析问题，任何求曲线轨迹方程的问题都可以迎刃而解，而且思路变得简单，统一；运用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学，就可以使我们在高中数学学习中避免或减少失误，少走弯路；以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演绎的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神.
参考文献：
贾庆军.世纪金榜：高中新课程全程学习方略：数学・选修.陕西出版集团未来出版社，2011.
一、已知分式方程无解求参数的值
类型一分式方程化为整式方程后未知数的系数不含参数
点评：对于含有参数的分式方程无解问题，首先应将分式方程化为整式方程.对于化去分母的整式方程，如果未知数的系数不含参数，可先求出整式方程的解，接着再令分式方程的最简公分母等于零，求出原分式方程的增根，然后令整式方程的解等于原分式方程的增根，这样会得到一个关于参数的一元一次方程，最后解这个一元一次方程，即可求出参数的值.
类型二分式方程化为整式方程后未知数的系数含有参数
a的值是1或2.
点评：对于含有参数的分式方程无解问题，将分式方程化成最简整式方程ax=b后，如果未知数的系数a含有参数，在求这个整式方程的解时，需要对这个整式方程的系数进行讨论.当a=0，b≠0时，最简整式方程ax=b无解，此时原分式方程也无解；当a≠0时，可先求出最简整式方程的解，然后再仿照未知数的系数不含参数的情形求解.
从上面也可以看出，分式方程无解一般有两种情况：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.
点评：解答“已知分式方程的解的范围求参数的范围”问题的步骤：（1）将分式方程化为整式方程，求出满足整式方程的解的参数的取值范围；（2）令分式方程的分母为零，求出分式方程的增根，然后将增根代入整式方程，求出参数的值；（3）从满足整式方程的解的参数的取值范围中剔除使分式方程的分母为零的参数的值即为满足题意的参数的取值范围.
中图分类号：O123 文献标识码：A
Find Locus Equation by Trajectory and Parametric Method
XIE Fengmu
(Lengshuijiang Industrial College, Lengshuijiang, Hu'nan 417505)
AbstractMethods for finding the trajectory equation is the integrated use of knowledge, analytic geometry, and its methods there are many. Parameter is an important problem in mathematics bridge and tools for solving the trajectory problem can play an important role. This article first images from the track the difference between equations and functions starting from the requirements of many ways to trace equations, using parameters of Method focuses on the fixed point locus equation approach, reveal the law.
Key wordsfunction Image; locus equation; parameter method
动点的轨迹方程是中学平面解析几何的基本问题之一，在高中阶段，无论“教”与“学”，都颇感困难。本文讨论函数图象与轨迹的异同，以求对轨迹的深入理解，重点阐述轨迹方程中参数法的应用。
1 通过对比，抓住轨迹的本质，揭示其规律
函数和轨迹方程是中学数学的两个重要概念。一般先接触函数，再学习轨迹方程。学生在最初学习轨迹方程这个概念时，由于只有函数图象的基础知识，对圆锥曲线理解不深，感性知识并不丰富；尔后学习圆锥曲线时，又把主要精力放在掌握圆锥曲线的性质上。因此，学生对轨迹方程的求法，往往抓不住要领。针对这种情况，对于轨迹方程和函数表达式，先应该明确以下两点：
（1）在代数中，求函数表达式，要设出自变量x和因变量y，列出显式y = f (x)，一般有无数组对应的值，把每一组对应的值作为点的坐标，就形成函数的图象。而求轨迹方程是在给定的坐标系下，先设动点坐标为（x,y），求出一个包含动点坐标的不定方程f (x,y) = 0，一般来说，它也有无数组解，把每组解作为点的坐标，就形成动点的轨迹。但必须注意的是：对于函数f(x)，自变量x中任意确定的值，因变量y中都有唯一确定的值与之对应，即不能出现一对多的情况，而轨迹方程允许出现此情况。例如：x2 + y2 =1，是轨迹方程，但不是函数表达式。由此可见，函数表达式y = f (x)是轨迹方程和一种形态。
（2）求函数表达式的关键在于找等量关系。显然寻找等量关系的途径不同，但是一般都要借助一些确定的基本数量关系（比如数学、物理、化学中的公式）。但对轨迹方程而言，由于它是研究动点的运动，而动点之所以能运动，必须有一个引起运动的“源泉”。因此，求轨迹方程时，必须依据题设中的几何关系和动点运动的规律，通过分析，找出引起动点运动的根源，然后再确定制约动点运动的条件等式。由此可见，求轨迹方程实际上是方程和函数的联合应用。
2 求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的方法有很多。如果题中的条件有明显的等量关系或者可以利用平面几何的知识推出等量关系，则可利用直接法；如果动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），则可利用定义法；如果轨迹上的点p(x,y)的运动依赖于另一动点Q（x,y）的运动，则可利用代入法；如果动点p(x,y)之间关系不易直接找到，可以考虑将x和y都用一个中间变量来表示，叫做参数法，等等。因为参数的寻找具有一定的隐蔽性，所以有一定难度。本文将重点讨论参数法求轨迹方程的一些基本思路。
3 参数法求轨迹方程
在一些轨迹方程的求解过程中，可设法引进一个中间变量t（参数），用它分别表示动点的坐标x和y，得到参数方程x = f(t)和y = f(t)，联立得方程组，消去t ，便得到动点的轨迹方程。参数是数学中的“活泼”元素，选择得当，它能化简为繁，“溶解”难点。选择参数有许多原则，下面的两条是最基本的：（1）参数的变化必须直接影响动点的变化，即参变数与动点坐标x和y之间是一个函数关系式。（2）参数要与题设的已知量保持联系。参数的选取要因题而异，机动灵活。从纷繁的变量中找到最合适的参数，是学生学习求轨迹方程的“拦路虎”，如何扫除这个“拦路虎”呢？我们先看以下的实例：
例1：在等腰RtABC中，A为直角，腰长为a，点A和点C分别在x正半轴和y正半轴上滑动，求另一顶点B的轨迹方程。
分析：如图所示，定线段AC沿坐标轴滑动，导致B点运动，这是B点运动的根源。但是要找出动点B的坐标x和y与动直线AC之间的等量关系，却比较困难。我们发现，AC滑动，会直接导致∠CAO的变化。现在思考：B点的坐标x与y的变化与∠CAO之间有某种函数关系式吗？
设∠CAO =,在RtAOC中，|AO|=acos
在RtABD中，|AD|=acos（ - ）= asin,
|BD|= asin（ - ）=acos
故x = |AO| + |AD|= acos + asin
y = |BD| = acos
至此，写出了x和y关于参数的函数表达式。下面消参得到：x2 - 2xy + 2y2-a2 = 0(x＞0,y＞0)，即得B点的轨迹方程。
归纳：该题巧妙地寻找到了角度为中间变量，列出x和y关于的关系式，消去即得轨迹方程。当然，本题也可以线段OC或OA和长度作参数，但计算量会有较大差别。
例2：倾斜角为的直线交椭圆 + y2 =1于A、B两点，试求线段AB中点M的轨迹方程。
分析：由题可知，M点的运动依赖于直线的运动，利用直接法、定义法等思路难于求解。由于直线斜率已确定，则直线的运动会引起直线截距的变化，因此，可以考虑将直线的截距作为参数求之。
设A（x1,y1），B（x2,y2），M（x,y），直线方程为y = x+b，与椭圆+y2 = 1联立，消去y得到：x2 + 2bx + b2-1= 0
上式利用韦达定理可知：x1+x2= -b，所以，x= -b，代入y = x + b，得到y =b
消去参数b得到：x + 4y = 0
因为直线与椭圆相交，所以方程x2+2bx+b2-1= 0有两个不相等的实根，即= b2-4ac = 4b2-5(b2-1)＞0，
解之得：-＜b＜，所以 - ＜ -b ＜ -
即：- ＜ x ＜-
故线段AB中点M的轨迹方程为：
x + 4y = 0(-＜ x ＜ - )
归纳：本题以直线的纵截距为参数求解较易。但是，务必注意参数b的取值范围，以保证曲线方程的纯粹性与完备性。
例3：抛物线y = x2上异于坐标原点O的两个不同动点A、B满足AOBO，求AOB的重心G的轨迹方程。
分析：AOB的重心的位置取决于AOB的形状和位置，而AOB完全取决于线段AO（即：线段AO一旦确定，AOB也唯一确定，其重心当然随之确定）。基于此，可以考虑将直线AO的斜率K作为参数。
设直线AO的方程为y = kx，由AOBO可知，直线BO的方程为y= -x。
联立方程y = kx和y = x2解得，A点坐标为（k，k2）
联立方程y= -x和y = x2解得，B点坐标为（-，1/k2）
设AOB重心坐标G（x,y），由重心公式可知：
x = - (k-)，y = (k2 +1/k2)
消去参数k得到G点的轨迹方程为：y = 3x2 +
归纳：本题的解法是以斜率k为参数，分析发现，亦可以线段长、角度等变量作为参数。
通过上面的实例分析，我们不难看出：利用参数法求动点轨迹方程时，首先必须分析是什么变量在左右动点的运动，只有这样的变量，才能考虑作为参数。同一问题中，如果这样的变量不止一个，要酌情选取其中一个。其次，具体选择什么量作为参数，虽然没有固定的公式可循，但可以给学生总结一些“相对性”的经验。比如：（1）已知有定长且有动直线与定直线相交时，可选角度为参数。（2）已知通过某一定点的动直线，为便于应用点斜式表示动直线，可选其斜率为参数。（3）斜率为已知的一组平行动直线，可选其在y轴上的截距为参数。（4）已知动点的运动依赖于已知轨迹上的点的运动时，可选已知轨迹上的点的坐标为参数。（5）有时直接采用直线和圆锥曲线的参数方程中的参数作为问题的参数，等等。
参考文献
[1]祥.初等几何研究.北京:高等教育出版社,1997.
[2]马德高.全线突破.北京:中国社会出版社,2005.
一、要点回顾
1.极坐标
平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则有x=ρcosθ
y=ρsinθ和ρ2=x2+y2
tanθ=yx这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系，我们可以来去自由.注意在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.当ρ
2.参数方程
参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x，y）；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程.求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标，当参数的关系比较明显时关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t做参数，与旋转有关的问题选取角θ做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等.
参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数.三角法：利用三角恒等式消去参数.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为F（x，y）=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围.
常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义.在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.
二、题型探究
1.求曲线的极坐标方程或点的极坐标
例1（1）求在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程.
（2）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2），求曲线C1与C2交点的极坐标.
分析：（1）把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程.（2）直接解方程组.
解：（1）由题意可知圆的标准方程为（x-3）2+y2=9，圆心是（3，0），
所求直线标准方程x=3，则坐标方程为ρcosθ=3.
（2）联立解方程组ρcosθ=3
ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2）解得ρ=23
θ=π6，即两曲线的交点为（23，π6）.
评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解.当然也可以转化为普通方程解答.
2.由极坐标求最值
例2在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值.
分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出.也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答.
解法一：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，在圆x2+y2=9上任取一点A（3cosα，3sinα），则点A到直线的距离为d=|3cosα+33sinα-2|2=|6sin（α+30°）-2|2，它的最大值为4.
解法二：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4.
评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想.
3.用参数方程研究两曲线的位置关系
例3求直线x=1+2t
y=1-2t，（t为参数）被圆x=3cosα
y=3sinα，（α为参数）截得的弦长.
分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长.
解：把直线方程x=1+2t，
y=1-2t，化为普通方程为x+y=2.将圆x=3cosα，
y=3sinα，化为普通方程为x2+y2=9.圆心O到直线的距离d=22=2，弦长L=2R2-d2=29-2=27.
所以直线x=1+2t，
y=1-2t，被圆x=3cosα，
y=3sinα，截得的弦长为27.
【关键词】直线参数方程；解题；应用
一、参数t的几何意义及常用性质
设过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线l参数方程为x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（t为参数）。其中，参数方程中的参数t具有四个常用的性质：
第一，若t>0，点M位于M0的上方，相反，位于M0的下方，而当t=0的时候，点M和M0是重合的[1]。
第二，直线参数方程中的参数t可以代表直线l上M0到任意点M（x，y）有向线段M0M的数量，用公式表示为t=M0M。
第三，若直线l上的M1点与M2点对应的参数为t1与t2，那么，M1M2=t1-t2，并且满足M0M1M0M2=t1t2的关系。如果M0点在M1与M2之间，则满足t1t20。
第四，若点M为M1M2中点，而点M对应的参数为t，那么t=t1+t22。
二、利用直线参数方程解题
1.利用直线参数方程求圆锥曲线的切线方程
直线参数方程在圆锥曲线切线方程中的实际应用中，最重要的就是将切线的方程转化成直线参数方程，然后将其代入到原有的圆锥曲线方程中，进而获得有关参数t的二次方程。下面以过定点的切线为例，求解椭圆的切线方程，具体方法如下：
题目内容为，椭圆方程为9x2+y2=25，求过定点（-1，4）的切线方程。
解题思路如下，因为定点在椭圆之上，所以，可以将椭圆方程转换成含有t的切线方程，即x=-1+tcosα
y=4+tsinα（t为参数），然后将其带入到9x2+y2=25公式中，进而获取方程为9（-1+tcosα）+（4+tsinα）2=25，经过相应的整理可以得出方程，即（9cos2+sin2α）t2-（18cosα-8sinα）t=0，同时，目标直线与椭圆的位置关系是相切，所以可以形成关系式，即=（18cosα-8sinα）2=0，所以得出tanα=94，因此，y-4=94×（x+1），经整理可得出切线的方程，即9x-4y+25=0。
2.利用直线参数方程解与线段的中点有关的问题
在求解线段中点的相关问题中可以引进直线的参数方程，若线段MN的中点为M1，并且具体的坐标是（x0，y0），将M，N的参数分别假定为t1与t2，那么t1+t2=0。通过运用上述关系式，可以求解线段所在直线的斜率，或者是始终变化中点（x0，y0）坐标间的具体关系[3]。
以双曲线的数学运算为例进行分析，双曲线的方程为x24-y23=1，其中存在一弦AB是由定点（4，1）平分，求解直线AB的方程。
可以将直线AB的方程转换成参数方程，即x=4+tcosα
y=1=tsinα（t为参数）然后将参数方程代入到原有的双曲线方程中，获得方程，3（4+tcosα）2-4（1+tsinα）2=12，经整理可以得出（3cos2α-tsin2α）t2-8（sinα-3cosα）t+32=0。同时，AB弦被（4，1）点平分，所以可以得出t1+t2=0，也就是sinα-3cosα=0，得出tanα=3。因此，直线AB方程可以表示成y-1=3（x-4），经整理得出3x-y-11=0。
3.利用直线参数方程解与线段长有关的问题
应用直线参数方程来求解与线段长相关的数学问题时，既可以避免求解交点的坐标，还无需应用两点之间的距离公式。下面以具体数学例题为例进行分析：
已知抛物线的方程为y2=4x，其焦点坐标F为（1，0），求解过此焦点且倾斜角是3π4的直线AB长。首先可以将抛物线方程转换成参数方程，为x=1+tcos3π4
y=tsin3π4（t为参数），经整理可得，x=1-22t
y=22t（t为参数），然后将所得公式代入到抛物线方程y2=4x中，可得t2+42t-8=0，再通过根和系数之间的关系可以得出方程t1+t2=-42t，t1t2=-8，进而得出直线AB的长度为8。
4.利用直线参数方程解决有关极值的一些问题
在数学问题中有关极值的问题也可以使用直线参数方程来解决，下面以具体例题为例进行分析。
已知直线经过定点P，其坐标为（1，1），并且其倾斜角为α，同时直线与椭圆相交与M、N两点，椭圆的方程为x24+y2=1，则当α为何值时，可以使|MP|・|NP|取得最值，并求解最值。
具体的解题过程如下，可以将直线方程转换成参数方程，因为直线过定点（1，1），并且倾斜角为α，则直线的参数方程为{x=1+tcosα
y=1+tsinα（t为参数），并将参数方程代入到椭圆方程中，进而得到方程（1+tcosα）24+（1+tsinα）2=1，经整理可得（1+3sin2α）t2+（2cosα+8sinα）t+1=0。所以可以得出t1t2=11+3sin2α，所以，|MP|・|NP|=|t1||t2|=11+3sin2α。因此，在α=0的情况下，|MP|・|NP|可以取得最大值，为1。而当α=π2的时候，|MP|・|NP|可以取得最小值，为14。
三、结语：
在数学学科的问题解决过程中，适当地使用参数方程可以使数学求解过程更简便。在学习直线参数方程的过程中，最重要的就是正确理解参数t的几何意义以及常用的性质，并且通过正确地使用参数t来解决文章所阐述的数学问题。在实际的学习与应用的过程中，应仔细品味参数实际意义，并在数学相关问题的解决中发挥其真正的作用。
参考文献：
[1]牛锡东.直线参数方程中参数的几何意义及应用[J].聊城大学学报，2013
[2]朱梦瑶.直线参数方程的应用[J].青海教育，2014
关键词：高考；极坐标；参数方程
2009年高考是辽宁省进行新课改后迎来的第一个高考，至今已经历时四年。由于新课程改革，教材增加了部分新内容，所以高考题型也增加了22（平面几何初步），23（极坐标与参数方程），24（不等式选讲）三道选做题，考生要从中三选一。因此，部分高中选择主讲《4-4极坐标与参数方程》。坐标系是解析几何的基础，为了便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系就是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更加简单。参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表现形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更灵活。参数方程可以帮助学生用更灵活的办法解决问题。那么，近几年高考中有关“极坐标与参数方程”的问题都考查了那些知识点？以那些形式出现的呢？
一、极坐标系与直角坐标系的互化
在求解有关极坐标问题时，可以转化为相对熟悉的直角坐标方程进行求解。若最终结果要用极坐标表示，可以将直角坐标再次化为极坐标。例1：（2009年辽宁省高考理科23题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ-π3=1，点M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.（1）写出C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；（2）设MN的中点为点P，求直线OP的极坐标方程.解：（1）由ρcosθ-π3=1得ρ（12cosθ+32sinθ）=1。从而C的直角坐标方程为12x+32y=1，即x+3y=2。θ=0时，ρ=2，所以M坐标为（2，0），θ=π2时，ρ=233，所以N坐标为（0，233）。（2）M的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为（0，233），所以中点P的直角坐标为（1，33），则点P的极坐标为（233，π6）所以直线OP的极坐标方程θ=π6，ρ∈（-∞，+∞）。点评：本题考查点是极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.例2：在极坐标系中，已知点O（0，0），P（32，π4），求以OP为直径的圆的极坐标方程。解： 设点Q（ρ，θ）为以OP为直径的圆上任意一点， 在RtΔOQP中，ρ=32cos（θ-π4）， 故所求圆的极坐标方程为ρ=32cos（θ-π4）。可以看到，利用极坐标系解决本题非常简洁。可是，我校学生的学习基础和理解程度，大部分学生不能想到或是理解这种方法。那么，我们看看下面的这种解法。解法二：点O的直角坐标是（0，0），点P的直角坐标是（3，3），所以线段OP的中点C的直角坐标是（32，32），线段OC=（32）2+（32）2=322。故以OP为直径的圆的直角坐标方程是（x-32）2+（y-32）2=（322）2，即x2+y2-3x-3y=0，化为极坐标方程是ρ=3cosθ+3sinθ，即所求圆的极坐标方程为ρ=32cos（θ-π4）。通过解法的对比，学生可以比较出两种解题方法哪个更为优化，哪个更好理解，从而选择适当的方法进行解题。
二、参数方程与普通方程的互化及简单应用
将参数方程中的参数消去后可以得到普通方程。消去参数常用的方法有代入法，有时也利用代数或三角函数中的恒等式消去参数。需要注意的是，在消去参数的过程的等价性，即坐标的变化范围不能扩大或缩小。例3：（2010年辽宁省高考理科23题）已知P为半圆C：x=cosθy=sinθ ， （θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程.解：（1）由已知，点M的极角为π3，且M的极径为π3，故点M的极坐标（π3，π3）。（2）点M的直角坐标为（π6，3π6）， A（1，0）故直线AM的参数方程为x=1+（π6-1）ty=3π6t （t为参数）点评：本题考查点是极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。例4：（2011年辽宁省高考理科23题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosφy=sinφ （φ为参数），曲线C2的参数方程为x=acosφy=bsinφ （a>b>0，φ为参数）。在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1、C2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合.（1）分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当α=π4时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1；当α=-π4时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积.解：（1）曲线C1的普通方程为x2+y2=1，故曲线C1是圆心在原点，半径为1的圆；曲线C2的普通方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），故曲线C2是焦点在x轴的椭圆；由题意知a=3，b=1。（2）当α=π4时，A1（22，22）、B1（255，255）；同理，当α=-π4时，A2（22，-22）、B2（255，-255）；故等腰梯形A1A2B2B1的面积为310。点评：本题考查点是参数方程和普通方程的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。例5：（2012年辽宁省高考理科23题）在直角坐标系xOy中，圆C1： x2+y2=4，圆C2：（x-2）2+y2=4（1）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1、C2的极坐标方程，并求出圆C1、C2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程.点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，及学生的计算能力。
三、利用参数方程（或者极坐标）解决直线与圆（椭圆、双曲线）的位置关系问题
（一）对于圆、椭圆及双曲线，它们的参数方程与三角函数有关，通常用来研究对应曲线上与点有关的最值问题。这也是参数方程的主要应用之一。例6：（2011年福建高考21题（2））在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x=3cosαy=sinα （α为参数）.（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，π2），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解：（1）把极坐标系下的点P（4，π2）化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x-y+4=0，所以点P在直线l上。（2）因为点Q在曲线C上，故可以设点Q的坐标为（3cosα，sinα）， 从而点Q到直线l的距离为 d=3cosα-sinα+42=2cos（α+π6）+42=2cos（α+π6）+22 因此，当cos（α+π6）=-1时，d取最小值，最小值为2。点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化，椭圆的参数方程等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化的思想。（二）直线参数方程t的几何意义例8：（2010年福建高考21题（2））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3-22ty=5+22t （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=25sinθ。（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B。若点P的坐标为（3，5），求|PA|+|PB|。解：（1）由ρ=25sinθ得x2+y2-25y=0，即x2+（y-5）2=5.（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3-22t）2+（22t）2=5，即t2-32t+4=0，由于Δ=（32）2-4×4=2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=32t1t2=4 ，又直线l过点P（3，5），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32。点评：本小题主要考查直线的参数方程及参数t的几何意义（极大化简了计算过程）、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。本题也可以化为直线的普通方程，然后求出点A、B，继而求出|PA|+|PB|，但计算量较大。四、在高考中经常涉及的考点
考点1：理解参数方程是以参变题量为中介表示曲线上的点的坐标的方程是同一曲线在同一坐标系下的又一种表现形式，掌握参数方程和普通的互化。考点2：理解极坐标方程是以极径、极角为变题量的方程，掌握极点在原点，极轴在x轴正半轴上时，极坐标方程和直角坐标方程可以互化。考点3：掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程分别化为普通方程和直角坐标方程，从而判断曲线类型的方法.考点4：掌握根据曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标的方法.考点5：掌握过定点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα （t为参数），此时t有几何意义，即t=MM0.虽然在选做题的三道题中，极坐标与参数方程相对简单，但随着选择此题的考生逐渐增多，此考题难度也逐年增加。但是只要明确考纲，理解并掌握以上知识点，就可以以不变应万变，成功地求解该题。
参考文献：
[1]2009年各省高考数学理科试题
[2]2010年各省高考数学理科试题
[3]2011年各省高考数学理科试题