巧用圆的参数方程

圆的参数方程的应用比较广泛，它是解析几何中十分重要的内容，也是高中数学的一个难点.本文将以三个具体的例子阐述参数方程的巧用.

一、求二元方程最值

【例1】 已知点P（x，y）是圆x2+y2=2x上的动点.

（1）求x+2y的取值范围；

（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：因为点P（x，y）在圆x2+y2=2x上运动，根据所给的式子，把圆的方程化为参数方程，然后用参数表示两个式子，再根据三角函数的有界性，解决相关问题.

解：把圆的方程化为标准方程(x-1)2+y2=1，故它的参数方程可设为x=cosθ+1，y=sinθ（θ是参数）.

（1）x+2y=cosθ+1+2sinθ=5sin(θ+φ)+1（其中tanφ=12），

1-5≤x+y≤1+5，

即x+2y的取值范围是［1-5,1+5］.

（2）x+y+a≥0恒成立，即a≥-(x+y)恒成立，

即a要大于或等于-(x+y)的最大值，

x+y=cosθ+sinθ+1=2sin(θ+π4)+1，

x+y≥1-2，-(x+y)≤2-1，

a≥2-1，即a的取值范围是［2-1,+∞）.

评注：本题也可以根据所给式子的几何意义解题，利用线性规划解决，但比此法要麻烦，参数方程把待求式化为关于参数θ的函数，求解十分方便，这正是参数方程的优势.

二、求参数的值（范围）

【例2】 抛物线y=x2+t与圆x2+y2=1有公共点，求实数t的取值范围.

分析：把圆化为参数方程，代入抛物线的普通方程，用α的三角函数表示出t，进而求其取值范围.

解：令x=cosα，y=sinα，代入y=x2+t，

得t=sinα-cos2α=sin2α+sinα-1=(sinα+12)2-54.

当sinα=-12时，t取得最小值－54；

当cosα=1时，t取得最大值1.

所以实数t的取值范围是［－54，1］.

评注：本题应用圆的参数方程，采用代入法把求实数t的取值范围问题转化为求函数的值域问题，使问题迅速获解，可谓转化巧妙.

三、求与圆有关的最值

【例3】 已知圆C的参数方程为x=cosx，y=sinθ（θ为参数），则圆C上的点到点P（2，2）的最远距离是 ；圆C上的点到直线x－y＋2=0的最近距离是 .

分析：根据参数方程得出圆上的任意一点的坐标，然后用相应的距离公式表示出两个距离，再利用函数知识，求它们的最值.

解：设M（cosθ,sinθ）是圆C上的任意一点，则

|MP|=(cosθ-2)2+(sinθ-2)2=9-4(sinθ+cosθ)

=9-42sin(θ+π4)≤9-42=22-1.

即圆C上的点到点P（2，2）的最远距离是22-1，点M到直线x－y＋2=0的距离

d=|cosθ-sinθ+2|2≥|2sin(π4-θ)+2|2≥2-1，

即圆C上的点到直线x－y＋2=0的最近距离是2-1.

评注：上述两个最值都可以把圆的方程化为普通方程后，利用圆中最值的有关结论来求解.

在求解多元坐标的几何或代数最值有困难时，我们不妨采用参数进行转化，化为求三角函数的最值来处理，这样能简捷地解决有关动点与实点的距离等有关问题.