参数方程的应用

在数学解题方法中，参数法是给人印象最深的一种，对参数方程中参数的几何意义和物理意义的了解，是正确选取参数的前提。正确选取参数，往往能使得一些看似复杂的问题变得简单。

一、利用参数方程求点的坐标

例1：已知直线l经过点P（1，2），且倾斜角为■，求直线l上到点P的距离为■的点的坐标。

分析：写出l的参数方程之后，要求点的坐标，关键在于对参数t的几何意义的了解。

解：直线l的参数方程为

x=1+tcos■ x=1+■t （t为参数）

y=2+tstin■ 即y=2+■t

在直线l上到点P的距离为■的点所对应的参数t满足|t|=■即t=±■，代入l的参数方程，得x=3y=4或x=-1y=0。

所以，所求点的坐标为（3，4）和（-1，0）。

二、利用参数方程求长度

例2：已知椭圆■+■=1，和点P（2，1），过P作椭圆的弦，使P是弦的中点，求弦长。

解：设弦所在的直线方程为：x=2+tcosθy=1+tsinθ（t为参数）

代入椭圆方程，得(2+tcosθ)2+4(1+tsinθ)2=16

化简：得(cos2θ+4sin2θ)2+4(cosθ+2sinθ)-8=0

P为中点，弦长=|t1-t2|=■=■

=■=■

=■=2■

三、利用参数方程求最值

例3：已知椭圆方程为■+■=1，求它的内接矩形的面积的最大值。

解：椭圆参数方程为x=acosθy=btcosθ(θ为参数)

设椭圆内接矩形的一个顶点为(acosθ,bsinθ)(θ为锐角)

则矩形面积S=4acosθ・bsinθ=2absin2θ≤2ab

Smax=2ab

四、利用参数方程求轨迹

例4：已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程。

分析：设点P的坐标为(x，y)，点B的坐标为（x0+y0），由于AP：BP=2：1，得x=■，y=■

即x0=■，y0=■

由于B(x0，y0)的抛物线y2=x+1上，或y20=x0+1

将②代入③，得(■)2=■+1

化简得3y2-2x-2y+1=0

即x=■y2-y+■

即x=y2，此轨迹为抛物线。

例5:∠MON=60°，边长为a的正三角形APB在∠MON内滑动，使得A始终在OM上，且O、P两点在AB两侧，求P点的轨迹方程。

解：如图建立直角坐标系，设P（x，y），∠PBN=θ，θ为参数，且0≤θ≤■

∠AOB=∠ABP=■

∠OAB=∠PBN=θ

在OBA中，

■=■，

OB=■

x=OB+acosθ=■asinθ+acosθy=asinθ

消去θ得（x-■y）2+y2=a2

即3x2-4■xy+7y2-3a2=0

而x=■sin(θ+arctan■)(其中0≤θ≤■)

则arctan■≤θ+arctan■≤■+arctan■

■≤sin(θ+arctan■)≤1 ■≤x≤■a

所求轨迹方程为3x-4xy+7y2-3a2=0，其中x∈[■，■a]

以上几例说明，利用参数方程求解，只要参数选取恰当，就能起到事半功倍之效，因此，应重视参数方程的应用。