浅谈椭圆的参数方程

椭圆的参数方程与其他圆锥曲线的参数方程比较，显得非常重要。因为它形式简单、方法易懂，而且利用它可以使有些难解的问题简单化，达到很好的学习效率。下面就浅谈一下椭圆的参数方程。

一、椭圆参数方程

如图1，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANox，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程。

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解：设∠xOA=φ,M(x,y), 则A(acosφ,asinφ),B(bcosφ,bsinφ),由已知:{x=acosφy=bsinφ （φ是参数），即为点M的轨迹参数方程.消去参数得:x2a2+y2b2=1，即为点M的轨迹普通方程.(如图2)注意：1.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长且a>b>0,φ称为离心角,规定参数φ取值范围为［0,2π)2.焦点在x轴上，参数方程为{x=acosφy=bsinφ（φ是参数）焦点在y轴上，参数方程为{x=bcosφy=asinφ（φ是参数）

二、椭圆参数方程的应用

1. 利用参数方程求最值例1.过点A(0,－2)作椭圆x24+y22=1的弦AM，则|AM|的最大值为

A. 2

B. 3

C. 22

D. 23分析:此题比较简单，只要注意A点在椭圆上，设出点M的参数方程即可解决。解：设M（2cosθ,2sinθ），则|AM|=(2cosθ)2+(2sinθ+2)2化简得|AM|=－2(sinθ－1)2+8所以当sinθ=1时取最大值，且最大值为22。所以选C点评：椭圆的参数方程是求解最值问题的最有力工具，所以在解决此类问题时，首先应该想到参数方程求解。例2.设点P（x，y）在椭圆x24+y27=1上，试求点P到直线3x－2y－21=0的距离d的最小值。分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程x24+y27=1，然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以顺利解决此问题。解：点P（x，y）在椭圆x24+y27=1上，设点P（2cosθ,7sinθ）（θ是参数且θ∈［0,2π)） 则d=|6cosθ－27sinθ－21|32+22=|8sin(θ－φ)+21|13(其中tanφ=377)。当sin(θ－φ)=－1时，距离d有最小值13点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度例3.已知椭圆x2a2+y2b2=1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽，但很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。解：设A(acosθ,bsinθ)，则|AD|=|2acosθ|,|AB|=|2bsinθ|所以S=|2a×2bsinθcosθ|=2ab|sin2θ|即矩形ABCD的最大面积为2ab点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。

二、参数方程在求与离心率有关问题上的应用

例4.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2，若这个椭圆上存在点P，使得F1PF2P。求该椭圆的离心率e的取值范围。分析：如果按常规设p(x,y), |F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。解：设P(acosα,bsinα)，因为F1(－c,0),F2(c,0)kPF1=bsinαacosα+c,kPF2=bsinαacosα－c,因为F1PF2P所以kPF1?kPF2=－1即bsinαacosα+c?bsinαacosα－c=－1,化简得cos2α=c2－b2a2－b2因为0≤cos2α≤1，所以0≤c2－b2a2－b2≤1解得b2≤c2，所以e=c2a2=c2b2+c2≥c22c2=12即22≤eb>0）与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OPAP。求该椭圆的离心率e的取值范围。 分析：此题可仿照上题解法轻松解决，在此不在详解。答案:(22,1) 

三、参数方程在证明问题上的应用

例5.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心求证：直线AB的斜率与直线OP的斜率乘积是定值分析：此题也可设A、B两点坐标，P点用A、B两点坐标表示，然后用斜率公式求解。但太过麻烦，用参数方程可减少计算量。证明：设两点的坐标为A(acosθ,bsinθ)，B(acosφ,bsinφ)P是AB的中点x=a2(cosθ+cosφ)y=b2(sinθ+sinφ)kAB=b(sinθ－sinφ)a(cosθ－cosφ)kOP=b(sinθ+sinφ)a(cosθ+cosφ)kAB?kOP=b2(sin2θ－sin2φ)a2(cos2θ－cos2φ)

sin2θ－sin2φ=1－cos2θ－(1－cos2φ)=－(cos2θ－cos2φ)kAB?kOP=－b2a2点评：巧妙结合中点坐标公式和三角关系式，利用参数方程解决事半功倍。总结：参数虽说是一个辅助量，但它却有很强的生机和活力。从近几年高考命题来看，试题含参的成分越来越大。如何把握参数，是重中之重。要在众多变量中，寻找基本量，消除非基本量，从而使问题明确化，简单化和标准化。但在参数的选取上，要有明确的目标性。