直线的参数方程

1.引入

问题1：经过点M（x，y）的直线有多少条？

问题2：再加一个什么条件就可以确定一条直线？

教师：请同学们说出经过点M（x，y），倾斜角为θ的直线的方程。

学生：根据点斜式，斜率k=tanθ，所以直线方程为y-y=tanθ（x-x）。

2.新课讲解

教师：能否引进一个参数，使得直线上任何一点M（x，y）都能用这个参数来表示？

学生：利用|MM|，就是利用M到M的距离。

教师：如果利用距离的话，一个参数就会对应两个点了，如何解决这个问题呢？

学生：根据方向来区分，向上是正的，向下是负的。

教师：很好，那跟方向有关的话，我们能想到什么？

学生：向量。

教师：不错，那我们能否找到一个单位向量和直线是平行的？如果可以的话，那p的坐标是什么？并给出提示：op要满足什么条件就会和直线是平行的？

学生：可以，根据斜率相同就可以了，所以p（cosθ，sinθ），记==（cosθ，sinθ）。

教师：因为和是共线的，所以就可以用表示出来，即=t，那么，M的坐标如何用参数来表示呢？

学生：根据向量相等，就能得出直线的参数方程x=x+tcosθy=y+tsinθ。

教师：这个参数方程跟哪种曲线的参数方程是很像的，有什么区别？

学生：跟圆的参数方程很像，区别在于，在直线的参数方程中t是参数，在圆的参数方程中θ是参数。

教师：参数t的几何意义是什么呢？

学生：因为=|t|=|t|，所以|t|就是M到M的距离。

教师：什么时候是正的，什么时候是负的？

学生：根据向量的数乘可知，如果与同向，则t是正的，反之t是负的。

教师：很好，那我们看一下的方向有什么特点？

学生：根据倾斜角θ的范围，可以知道的方向总是向上的。

教师：所以我们直接看的方向就可以了，如果的方向是向上的，则t是正的，反之t是负的。

教师：那M所对应的参数是多少？

学生：根据参数的几何意义可知，M所对应的参数是0。

3.例题讲解

例1：已知直线l∶x+y-1=0与抛物线y=x交于A、B两点，求线条AB的长和点M（-1，2）到A，B两点的距离之积。

学生：思考，互相交流。

教师：直线l的参数方程是什么？

学生：因为M（-1，2）在直线l上，θ=，所以直线l的参数方程是x=-1-ty=2+t。

教师：能否利用参数，线段AB的长就是什么？

学生：根据参数的几何意义可以得出，|AB|=|t|+|t|。

教师：那如何解出t，t呢？

学生：因为t，t是A，B两点所对应的参数，而A，B两点是直线与抛物线的交点，所以将直线的参数方程代入抛物线方程，得到2+t=（-1-t），化简得t+t-2=0，所以t，t就是上述方程的两个解。

教师：那|MA||MB|=？

学生：根据韦达定理|MA||MB|=|t||t|=|tt|=2。

教师：求|AB|能不能也根据韦达定理，不解方程来做？引导学生从向量的角度来考虑，因为=-=t-t=（t-t），所以|AB|=|t-t|，那如何用韦达定理呢？

学生：|AB|=|t-t|==。

教师：说明一下|AB|=|t-t|是通用的，其中t，t是A，B所对应的两个参数。

那A，B的中点P所对应的参数等于多少呢？

学生：猜测中点P所对应的参数为。

教师：通过画图来解释，或者根据向量=+。

例2：经过点M（2，1）作直线l，交椭圆+=1于A，B两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程。

分析：首先写出直线的参数方程x=2+tcosθy=1+tsinθ，因为M是A，B的中点，所以M所对应的参数是=0。

教师小结：对于直线与曲线相交的问题，交点所对应的参数，就是把直线的参数方程代入曲线方程得到的关于参数的方程的解。直线的参数方程可应用于直线与曲线相交的有关距离和中点的问题。