不等式与等式的互化

互化，是通过联系数学中的一些相似或相对立的概念，或联系数学中同一个量的不同表示来处理数学问题的方法，通过互化，可以将数学问题化深奥为浅显、化抽象为具体、化模糊为直观，从而更加有效地解决数学问题．等式和不等式是相对的两个概念，但它们之间又存在着密切的联系，不等式问题的解决常常受等式的限制（如基本不等式中“等号”成立的条件），等式也可以随时放缩成不等式（只要把等式的一边略去一些项，等式也可以认为是最强的不等式），而在一些数学问题中，如果能够巧妙地把等式与不等式进行互化，就可以找到问题解决的方法，优化解题过程．

一、 由等式化得不等式

古时还没有数的时候，放羊的人晚上收羊时为了看羊的数目有没有少，就在放羊时

出去一头羊，放一块石块，晚上收羊时，回来一只羊就拿走一块石块，这是一一对应的原理，在这个过程中其实就产生了等式和不等式，如果没有丢羊，那石块数等于羊数，如果丢羊了，那石块数就大于羊数．而这一过程也生动地反映了等式如何转化为不等式的――即把等式的一边适当地减少部分恒大于等于（或恒小于等于）0的式子．这种互化在高中数学中也有体现，比如设a, b为任意实数，由恒等式a2－2ab+b2=a－b2及右端完全平方式的非负性，即可转化为基本不等式a2+b2≥2ab．又如，证明“不等式1+xn>1+nx(n∈N,n>1)对任意的x>0恒成立”，这个不等式可以用数学归纳法证明，但也可以通过等式、不等式互化的思想证明．观察二项式定理中的恒等式1+xn=C0n+C1nx+C2nx2+・・・+Cnnxn，由

其中在用两点间距离公式计算MA和MB时比较繁琐.

此外，对于直线和曲线相交问题，两个交点的中点相应参数t=t1+t22，运用参数方程中的t的几何意义，可以快速解决一些计算繁琐的问题.

通过上述例子的对比，我们发现参数方程和普通方程在解题中应该相辅相成，我们应该根据具体题目选择相应的方法，快速准确地解决问题.

于组合数恒大于零，且x>0，所以可以舍去等式右边的第三项以后的所有项，等式就转化成了我们要证的目标不等式，这个不等式就是著名的贝努力不等式．二项式定理的另一个应用――估算也包含了上述的等式、不等式互化的思想，比如计算1.045（精确到0.01），利用二项式定理展开得1+0.045=1+C15・0.04+C25・0.042+…．舍去从第4项开始的项，得到不等式1.045>1.22，因为舍去的项数值很小，对精确度没有影响，因此在精确度为0.01的情况下不等式可以化为等式即1.045=1.22．这种思想在高考中也有不少应用．

例1

设函数f(x,y)=1+myx(m>0,y>0)．

（1）当m=3时，求f(6,y)的展开式中二项式系数最大的项；

（2）若f(4,y)=a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4且a3=32，求∑4i=0ai；

（3）设n是正整数，t为正实数，实数t满足f(n,1)=mnf(n,t)，求证：

f(2010,1000t)>7f(－2010,t)．

这种方法也称之为不等式估计，当变量的个数多于方程的个数时，方程的解会有无数个，但如果对变量加以限制（如本题中正整数m,n(1

通过以上两个方面，我们发现等式与不等式虽然在形式上是对立的，但是在本质上其实是统一的，有些时候等式需借助其中蕴含的不等式，来寻找新的条件达到求解的目的，而有些时候不等式也需要从其特殊的状态“等式”出发，来寻求等号成立的本质，进而达到证明的目的，所以等式与不等式不能孤立地来看，它们相辅相成，通过相互转化可以将许多数学问题化腐朽为神奇，从中探索出解决问题的最优化方法，这也是我们研究等式与不等式互化的最终目的．