直线参数方程的应用

摘要：众所周知，在数学学科的解题过程中，直线参数方程应用最为广泛。因此，在高中数学教材的改革中，将直线参数方程的应用再次纳入教学内容中。

关键词：直线参数方程;应用

前言：

直线参数方程在圆锥曲线的切线方程、解与线段长有关的问题、解与线段的中点有关的问题、证明某些几何命题、解决有关极值的一些问题等方面发挥重要的作用。文章主要分析在直线参数方程中参数t的几何意义以及其常用的性质，并重点研究直线参数方程在数学学科中的实际应用。

1.参数t的几何意义及常用性质

设过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线l参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数）。其中，参数方程中的参数t具有四个常用的性质：

第一，若t>0，点M位于M0的上方，相反，位于M0的下方，而当t=0的时候，点M和M0是重合的[1]。

第二，直线参数方程中的参数t可以代表直线l上M0到任意点M（x，y）有向线段M0M的数量，用公式表示为t=M0M。

第三，若直线l上的M1点与M2点对应的参数为t1与t2，那么，M1M2=t1-t2，并且满足M0M1M0M2=t1t2的关系。如果M0点在M1与M2之间，则满足t1t2<0的关系，如果M0点在M1与M2之外，则t1t2>0。

第四，若点M为M1M2中点，而点M对应的参数为t，那么t=t1+t22。

2.直线参数方程的应用

2.1求圆锥曲线的切线方程

直线参数方程在圆锥曲线切线方程中的实际应用中，最重要的就是将切线的方程转化成直线参数方程，然后将其代入到原有的圆锥曲线方程中，进而获得有关参数t的二次方程。若存在已知的切线上点的坐标，就可以通过判别式，即=0来求解tanα，也就是圆锥曲线切线的斜率[2]。求解出切线斜率以后可以利用点斜式求解目标其切线方程。而如果切线斜率已知，也可以利用判别式，即=0求解出切线上某点的具体坐标关系，即x0与y0的关系，并将其转换成x与y，进而获得目标切线方程。以过定点的切线为例，求解椭圆的切线方程，具体方法如下：

题目内容为，椭圆方程为9x2+y2=25，求过定点（-1，4）的切线方程。

解题思路如下，因为定点在椭圆之上，所以，可以将椭圆方程转换成含有t的切线方程，即x=-1+tcosα

y=4+tsinα（t为参数），然后将其带入到9x2+y2=25公式中，进而获取方程为9（-1+tcosα）+（4+tsinα）2=25，经过相应的整理可以得出方程，即（9cos2+sin2α）t2-（18cosα-8sinα）t=0，同时，目标直线与椭圆的位置关系是相切，所以可以形成关系式，即=（18cosα-8sinα）2=0，所以得出tanα=94，因此，y-4=94×（x+1），经整理可得出切线的方程，即9x-4y+25=0。

2.2解与线段长有关的问题

在求解与线段长相关的数学问题时，同样可以应用直线参数方程，这种方法不仅可以有效地避免求解交点的坐标，而且还无需应用两点之间的距离公式，一定程度上规避了繁琐的数学运算，可以有效地简化数学运算。下面以具体数学例题为例进行分析：

已知抛物线的方程为y2=4x，其焦点坐标F为（1，0），求解过此焦点且倾斜角是3π4的直线AB长。首先可以将抛物线方程转换成参数方程，为x=1+tcos3π4

y=tsin3π4（t为参数），经整理可得，x=1-22t

y=22t（t为参数），然后将所得公式代入到抛物线方程y2=4x中，可得t2+42t-8=0，再通过根和系数之间的关系可以得出方程t1+t2=-42t，t1t2=-8，进而得出直线AB的长度为8。

2.3解与线段的中点有关的问题

在求解线段中点的相关问题中可以引进直线的参数方程，若线段MN的中点为M1，并且具体的坐标是（x0，y0），将M，N的参数分别假定为t1与t2，那么t1+t2=0。通过运用上述关系式，可以求解线段所在直线的斜率，或者是始终变化中点（x0，y0）坐标间的具体关系[3]。

以双曲线的数学运算为例进行分析，双曲线的方程为x24-y23=1，其中存在一弦AB是由定点（4，1）平分，求解直线AB的方程。

可以将直线AB的方程转换成参数方程，即x=4+tcosα

y=1=tsinα（t为参数）然后将参数方程代入到原有的双曲线方程中，获得方程，3（4+tcosα）2-4（1+tsinα）2=12，经整理可以得出（3cos2α-tsin2α）t2-8（sinα-3cosα）t+32=0。同时，AB弦被（4，1）点平分，所以可以得出t1+t2=0，也就是sinα-3cosα=0，得出tanα=3。因此，直线AB方程可以表示成y-1=3（x-4），经整理得出3x-y-11=0。

2.4解决有关极值的一些问题

在数学问题中有关极值的问题也可以使用直线参数方程来解决，因为题目中的条件比较隐蔽，所以，需要引进参数的几何意义，以及与一元二次方程相关的根与系数之间的关系来解决此类问题。

下面以具体例题为例进行分析，已知直线经过定点P，其坐标为（1，1），并且其倾斜角为α，同时直线与椭圆相交与M、N两点，椭圆的方程为x24+y2=1，则当α为何值时，可以使|MP|・|NP|取得最值，并求解最值。

具体的解题过程如下，可以将直线方程转换成参数方程，因为直线过定点（1，1），并且倾斜角为α，则直线的参数方程为{x=1+tcosα

y=1+tsinα（t为参数），并将参数方程代入到椭圆方程中，进而得到方程（1+tcosα）24+（1+tsinα）2=1，经整理可得（1+3sin2α）t2+（2cosα+8sinα）t+1=0。所以可以得出t1t2=11+3sin2α，所以，|MP|・|NP|=|t1||t2|=11+3sin2α。因此，在α=0的情况下，|MP|・|NP|可以取得最大值，为1。而当α=π2的时候，|MP|・|NP|可以取得最小值，为14。

结束语：

综上所述，在数学学科的问题解决过程中，适当地使用参数方程可以使数学求解过程更简便。在学习直线参数方程的过程中，最重要的就是正确理解参数t的几何意义以及常用的性质，并且在实际的数学运算过程中，通过正确地使用参数t来解决文章所阐述的数学问题。高中阶段的数学学习，其中参数方程的学习与应用占据重要地位，主要包括在直线、圆与椭圆数学问题中的应用，文章针对上述三点都进行了详细地分析，所以，在实际的学习与应用的过程中，应仔细品味参数实际意义，并在数学相关问题的解决中发挥其真正的作用。（作者单位：云南师范大学）

参考文献：

[1]苗学良.直线参数方程中参数的几何意义及应用[J].聊城大学学报（自然科学版），2013，26（1）：86-89.

[2]刘义.直线参数方程的应用[J].青海教育，2014（12）：36-36.

[3]章玉龙，杜今芳.例谈直线参数方程及其应用[J].中学数学月刊，2010（3）：37-38.