数学基本活动经验:数学核心素养的“营养基”

【摘要】数学基本活动经验是数学基本活动的“过程”与“对象”的有机统一，是数学思维模式与认知方式的综合习得，数学直觉为其最高表现层次。数学基本活动经验是学生数学核心素养的本原与根基。问题驱动的数学活动教学能有效促进学生获得生动且深刻的数学基本活动经验。

【关键词】经验；数学基本活动；数学基本活动经验；数学核心素养；问题驱动

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）21-0032-03

【作者简介】陆晓林，江苏省海安县实验小学（江苏海安，226600），高级教师，南通市数学学科带头人。

不同学科在学生核心素养的涵育中具有独特且不可替代的功能和价值。郑毓信教授认为，学生数学核心素养的着力点是通过数学学会思维，尤其是创造性思维。创造的心理本质是基于问题解决活动经验基础之上的直觉、灵感与顿悟，因此，基本活动经验成为数学课程的直接目标是课改的必然要求。

一、数学基本活动经验内涵再探：数学基本活动“过程”与“对象”的有机统一

1.什么是经验？

对“经验”一词常见的理解主要有三：一是经历、体验；二是泛指由实践得来的知识、技能或由历史证明了的结论；三是指感性认识。在教育哲学领域，美国教育家杜威认为，经验包括经验的事物和经验的过程，是活动的过程和结果，也是课程与教学的基础构件。

经验不同于知识，知识是经验的结晶，经验是知识的源泉。经验也不同于技能与能力，技能与能力有强弱和不同方面的表现，直接影响活动的效率，通过训练获得，经验更为综合、内隐，是个性化的感悟，难以说明其强弱或有无。从广义上讲，经验是人们在实践中形成的一种过程性知识与活动图式，是行事方式与思维模式的综合、个性化、原生态的内部习得。普遍认为，经验由知识的、技能的、情感的和观念的四种成分构成，如同一个完美的四面体，四种成分是其不同的侧面，相辅相成，相生相融。

2.什么是数学基本活动？

数学活动在历史上有两条不同的路径：一是以中国古代数学为代表的归纳体系，重视经验性算法；二是以古希腊数学为代表的演绎体系，强调形式化证明。美籍匈牙利数学家波利亚曾说：“数学具有两个面……以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去是一种实验性的归纳科学。”最基本、最核心的数学活动是以经验为特征的归纳发现活动和以逻辑为特征的演绎论证活动，数学归纳活动与数学演绎活动应称为“数学基本活动”。

依据新课标提出的“数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀”和十个核心概念，教学实践层面的数学基本活动及经验可以具体化为三类：一是“做数学”的“操作―探究”类活动，获得的是直接的实践经验；二是“想数学”的“思辨―建构”类活动，获得的是间接的思维经验；三是“用数学”的“情境―问题”类活动，获得的是兼顾直接与间接的复合经验。

3.什么是数学基本活动经验？

从哲学的视角看，数学基本活动经验是数学基本活动“过程”（经历活动的所有程序和阶段）与“对象”（在活动过程中形成的感性认识、情绪体验、思维方法、应用意识等）的有机统一，体现了活动过程、情绪体验与思维经历的完整性和自然性。过程是第一性的，是经验的物质所在；对象是第二性的，是经验的精神存在。从数学学习的角度看，数学基本活动经验是学习者参与数学基本活动过程（经历归纳与演绎的完整过程）形成的过程性知识与活动图式，是生成积淀的数学思维模式和认知方式的综合。

完整的数学基本活动始于数学归纳、完善于数学演绎，以直观的操作探究性活动和特例的观察、分析与联想为起始，通过算法化与形式化的过程逐步涵育思维模式，进而形成个性化的数学直觉。即数学基本活动经验可分为三个层次：底层是直观活动和特例观察的经验，中间层是算法化与形式化的经验，最高层是数学直觉。

二、数学基本活动经验价值再思：数学核心素养的“营养基”

1.从“事实性课程”到“实践性课程”的必然选择。

过去，数学课程一味追求知识的系统性、逻辑性、抽象性，注重知识传递，课程即知识，课程即教材，学生缺乏再创造的数学化经验，好奇心、判断力、创造力等被缺席。事实上，数学的产生、发展并不是严格按照逻辑逐步推演出来的，逻辑只是数学生长、发展过程中“体检”“保健”与“治疗”的手段，问题与经验才是数学繁衍、发育、成长的“一日三餐”，在与数学相关的问题中，直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用。数学是可误、可纠正、动态发展的，是学生在活动中“生产”出的若干经验之间的意义、关系与过程。数学基本活动经验成为课程目标，是数学课程由“事实”（数学概念、定理、法则等知识）堆积到“实践”（操作、探究、实验或经历、体验数学化与形式化的过程等数学活动）存在的必然选择。

创新意识与能力是核心素养的构成与表征，数学创造的过程是高度聚焦某个数学问题产生的直觉与顿悟，依赖于长期的基本活动经验积累。数学的实践性决定了基本活动经验是数学核心知识、创造性思维、基本思想方法和积极情感态度形成、发展的基础，可称为数学核心素养的“营养基”。

2.从“以知识为目的”到“以儿童为目的”的本原回归。

静态数学观下的数学是一门纯粹的演绎科学，课程只是预设的学习“跑道”。以知识为目的的数学教育，课程是中心，课中无“人”，轻视个人体验，漠视甚至反对主观知识。新课标把基本活动经验作为学生必须获得的发展基础之一，提倡“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，是对主体经验及经验价值的认可，是课程以儿童为目的的本原回归。要获得数学基本活动经验，必须回到数学发生、发现、发展的初始样态，让学生在再创造的过程中收获“经验的数学”和“数学的经验”。关注基本活动经验，本质是关注儿童生命发展的状态。课程只有聚焦于儿童与儿童经验才有意义，因为只有在经验中，任何理论才具有活力和证实的意义。

三、数学基本活动经验教学策略再寻：问题驱动的数学活动教学

德国数学家希尔伯特说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题的缺乏则预示着这门科学独立发展的衰亡或终止……数学这门科学究竟以什么作为其问题的源泉呢？在每个数学分支中，那些最初、最古老的问题肯定是起源于经验。”苏联数学教育家斯托利亚尔认为：“数学教学是数学活动的教学……提高学生数学活动能力的最有效的方法是‘通过问题’教学。”可见，数学研究、发展与学习以问题为动力和核心，问题来自经验，也是数学活动教学的关键所在。围绕让学生获得生动且深刻的数学基本活动经验与良好的数学基本素养，我们提出了问题驱动的数学活动教学的基本策略。

1.课堂结构板块化：聚焦核心知识整体性经验的生成与结晶。

课堂结构板块化，即课堂数学活动呈现以核心知识（核心知识通常用突出关键内容与知识本质、彰显基本思想与方法、反映主要联系的本原性问题来表征）为中心、板块的组织形态具有开放性、多维性、多向链接性，板块的划分与安排要基本遵循数学知识结构、教材结构、学生认知与能力结构动态统一的原则，其中每个板块又可以根据需要以衍生知识点为次级中心，形成多层次、蛛网式的板块结构。

以苏教版二下《认识角》一课为例。全课围绕“角是什么样的图形”这一本原问题，安排了三个板块（如图1），对核心知识的探究各有指向，让学生从角的外显特征（不封闭）、角的静态描述（从一点引出两条射线）、角的动态刻画（一条射线绕端点旋转而成）三个层面丰富体验、积累经验、深化认知，逐步贴近角的数学本质。板块间也是相互联系与验证的，角的外显特征是由边的特性、数量所决定的，静态意义与动态意义只是研究视角不同，能为学生后续学习、深入研究角的知识储备较完整且贴近本质意义的形式化“前经验”。板块化的教学更整体、更上位，更大的思考与探究空间有利于积淀丰富鲜活、生长力强、聚焦核心知识的活动经验。

2.板块设计活动化：关注“再创造”的数学化经验与基本思想的持续沉积。

课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法，过程与结果、经验生成与思想积淀的有机融合必须依附于数学活动的有效组织与教学。数学活动是一个组织经验领域的活动，学习的过程必须含有直接创造的侧面，用“发生的方法”来教数学，抓住数学实践性的本质，突出再创造的数学化过程，持续渗透归纳、演绎的基本思想。

以苏教版二上《认识厘米》一课的教学为例。一是讨论辨析活动：为什么要有长度单位？创设冲突情境，引导学生体会度量标准统一的必要性。二是体验建构活动：1厘米有多长？引导学生通过观察、比划、试画、寻找1厘米建立概念表象。三是操作探究活动：直尺是怎么创造出来的？引导学生用1厘米小棒首尾相连粘贴成“小棒尺”，复演直尺的创造过程。四是应用实践活动：直尺怎么使用？引导学生用直尺测量和画线段，内化度量的技能。教学着力于复演前人为什么要创造和怎样创造直尺的活动，学生能直观地“看见”并“做出”数学本身，教学的过程与结果真正实现了统一。

3.活动教学问题化：涵育积极的问题意识与求

知态度。

以问题引导学习应当成为数学教学的一条基本原则。问题既能反映数学知识的组织结构，也能引领、驱动学生开展数学学习活动。问题从何而来？一是学生提出的触及内容本质的本原性问题；二是教师预设的反映课程内容的关键性问题。教师应注重培养学生的发问意识和质疑能力，以学生问题为起点，以教师问题为引导，以学科本原性问题为目标，在这样的教学中，学生兴趣度高，探究主动性强，体验会更深刻，生成积淀更丰富，创造性也最活跃。

以苏教版五下《圆的认识》一课的教学为例。在学生提出想要探究的问题后，师生共同梳理，明确本课的本原性问题：圆有什么基本特征？带着这一问题，学生思考三个不同的问题并动手操作：怎样才能画出圆？怎样画更大的圆？利用有弹性的橡皮筋能画出圆吗？先让学生学会画圆技能，种植直接经验；再使学生明白“半径决定大小”，生长间接经验；最后直抵知识的本质，发现“一中同长”是圆的本质特征。

综上所述，板块化的设计更显数学活动的简约，问题驱动的策略、再创造的数学学习方式能使学生生成的经验更加丰富、生动且深刻。教师应坚持把核心知识、创造性思维、基本思想方法、积极的问题意识和求知态度根植于数学基本活动经验，如此，学生数学素养的生长与发展将会更加枝繁叶茂。

【参考文献】

[1]G・波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等，译.上海：上海教育出版社，1995.

[3]约翰・杜威.民主主义与教育[M].王承旭，译.北京：人民教育出版社，2001.

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[5]A.A.斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔，等，译.北京：人民教育出版社，1984.

[6]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.